Àlgebra i geometria II

Aquesta secció tracta l'àlgebra des del punt de vista geomètric amb problemes elementals per introduir mètodes algebraics.

Geometria

La geometria descriu totes les figures geomètriques que puguin existir, figures enteses com determinades per elements bàsics que és combinen fins a obtenir-les.

Elements

Detallem cadascun dels elements que la geometria ha trobat.

El punt

Definició Un punt es l'element sense parts que de la que es compon totes les figures geomètriques conegudes.

La recta

Definició Una recta és una figura geomètrica determinada per una successió de punts que s'estén i no s'aparta d'una mateixa direcció.

La semirecta

Definició Una semirecta és una figura geomètrica determinada com a una part d'una recta que s'estén a un mateix canto d'un punt, situat sobre la recta, anomenat extrem de la semirecta.

El segment

Definició Un segment és la Figura geomètrica determinada com a una porció de recta delimitada per dos punts, situats sobre la recta, anomenats extrems del segment.

L'angle

Normalment no se sol definir tan acuradament o específicament, per tant es pot pensar com una dada de curiositat.

Definició Un angle és la figura geomètrica determinada per dos semirectes que comparteixen el seu extrem anomenat vèrtex.

La mesura d'un angle és el valor de la seva obertura o espai que determina mesurat amb unes unitats longitudinals repartides equiespaiadament sobre una circumferència entorn el vèrtex comú. A la pràctica l'angle queda determinat per tres punts determinats.

Definició Un vèrtex és la figura geomètrica entesa com el punt d'unió dels extrems de dues figures geomètriques.

El triangle

Definició Un triangle és la figura geomètrica determinada per tres punts units amb segments.

És habitual determinar un ordre horari, en sentit de les agulles d'un rellotge, entre els punts d'un triangle, però a la pràctica és poc didàctic.

Semblança

Dos triangles són semblants si es pot garantir que tenen els mateixos angles encara que siguin de diferent mida. La idea és reproduir objectes amb diferents mides però mantenint les proporcions desitjades entre els seus costats.

Definició Dos triangles són semblants si tots els angles són iguals sense importar l'ordre.

Proposició Dos triangles abc i a'b'c' són semblants si i només si ${\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=\alpha ,$ on $\alpha$ és la raó entre els dos triangles.

Així per trobar si dos triangles són semblants només cal anar dividint costats fins a trobar que un ordre en que les divisions són igual, sinó vol dir que no són semblants.

Exercici:

1) Quantes possibles divisions podem trobar a l'hora de veure si dos triangles són semblants?.

2) Saps algun mètode per comparar-les amb només tres divisions?

Teorema de Tales

Tales de Milet descriu la relació entre rectes paral·leles i les seves secants per l'any 600 a.C.

Proposició Dos o tres rectes són paral·leles si i només si una recta secant r determina segments que són proporcionals als segments respectius determinats per un altra recta secant s .

Teorema de Pitàgores

Pitàgores va treballar les relacions de proporcionalitat de triangles pel 400 a.C.

El conegut com a teorema de Pitàgores és una relació entre els costats petits d'un triangle rectangle anomenats catets i el costat oposat a l'angle recte anomenat hipotenusa. Cal remarcar que aquesta relació requereix quadrats, té tres incògnites i s'ha de resoldre amb arrels

$Catet_{1}^{2}+Catet_{2}^{2}=Hipotenusa^{2}$

Ajustat al dibuix seria

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

D'on es pot deduir algebraicament que amb dos costats es pot calcular el tercer:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Un cop tenim els valors podem aplicar una d'aquestes resolucions o també directament de la equació general, s'ha de saber escollir l'adequat.

Exercicis

1) Dibuixa i calcula la hipotenusa d'un triangle de 2,5 cm i 6 cm els dos catets.

2) Fes el croquis i calcula el catet desconegut d'un triangle de 5 m de hipotenusa i un catet de 4 m.

Teorema de la altura

Donat el triangle rectangle següent

Tenim que $h^{2}=m\cdot n$

Teorema del catet

onat el triangle rectangle següent

Tenim que $c^{2}=n\cdot a$

Àlgebra

Regles per aïllar o moure valors per a sumes i restes.

$x+a=y$ $x=y-a$	$x-a=y$ $x=y+a$
$a+x=y$ $x=-a+y$	$-a+x=y$ $x=+a+y$

Regles per aïllar o moure valors per a multiplicacions i divisions.

$x\cdot a=y$ $x={\frac {y}{a}}$	${\frac {x}{a}}=y$ $x=y\cdot a$
$a\cdot x=y$ $x={\frac {y}{a}}$	${\frac {x}{a}}=y$ $x=a\cdot y$

Nota: aquest moviments de multiplicació o divisió no canvien mai el signe.

Exercicis d'abstracció

Numerals multiplicatius
	Català		Castellà
$2\cdot$	Doble	Duplicar	Doble	Duplicar
$3\cdot$	Triple	Triplicar	Triple	Triplicar
$4\cdot$	Quàdruple	Quadruplicar	cuádruple	cuadruplicar
$5\cdot$	Quíntuple	Quintuplicar	Quíntuple	Quintuplicar
$6\cdot$	Sèxtuple	Sextuplicar	Séxtuple	Sextuplicar
$7\cdot$	Sèptuple	Septuplicar	Séptuple	Septuplicar
$8\cdot$	Òctuple	Octuplicar	Óctuple	Octuplicar
$9\cdot$	nònuple	nonuplicar	nónuple	nonuplicar
$10\cdot$	Dècuple	Decuplicar	Décuple	Decuplicar
$100\cdot$	Cèntuple	Centuplicar	Céntuplo	Centuplicar

Si hi ha dificultats en escriure fraccions en fraccions I hi ha la llista principal.

Recomanacions:

• Les frases s'han de traduir directament i ordenadament amb l'esperit de facilitar la traducció i visibilitat.

• S'ha introduït el temps passat dels verbs perquè s'utilitzi parèntesis.

• S'ha de recordar que en fer fraccions d'alguna cosa vol dir que la fracció multiplica, així cada "de" a continuació d'una fracció sempre serà una multiplicació, és la forma en que les fraccions s'apliquen a quelcom.

Exemples:

i)	El sèptuple de tres cinquens d'una quantitat és igual a vint-i-un.
Traducció Per estalviar errors les multiplicacions les indiquem amb punts: $7\cdot \;\;{\frac {3}{5}}\cdot \;\;x\;\;=\;\;21$ Resolució El 7 que multiplica passa a l'altre cantó a dividir, el 3 que multiplica passa a l'altre cantó a dividir i el 5 que divideix passa a l'altre cantó a multiplicar. $x={\frac {21\cdot 5}{3\cdot 7}}$ que simplificant o operant directament s'obté $x=5.$

ii)	El triple d'una quantitat desconeguda a la que havíem restat 6 és el doble d'aquesta mateixa quantitat desconeguda a la que havíem sumat 1.
Traducció $3(x-6)=2(x+1).$ Resolució Només cal aplicar propietat distributiva i s'obté $3x-3\cdot 6=2x+2\cdot 1$ operant $3x-18=2x+2$ ara sí com sempre $3x-2x=2+18$ i per tant $x=20$

Nivell 1r ESO.

1) Copia l'enunciat, escriu de forma algebraica cada enunciat i resol quan es pugui seguint els exemples:

a) Un nombre que multiplicat per 2 menys 5 és igual a aquest nombre.

b) Un nombre dividit per 3 és igual a 10.

c) Un nombre més 8 és tres vegades aquest nombre.

d) El triple d'un nombre és el doble d'aquest més 10.

e) Un nombre més el quíntuple de 10 és seixanta.

f) Tres cinquens d'un nombre és nou quarts.

g) El triple de dos nombres més 10 menys el quíntuple del nombre és menys 60.

h) Dos setens d'un nombre és tres setens.

i) Quatre cinquens d'un nombre és deu quinzens.

j) Dos terceres parts d'un nombre més 5 és nou.

k) El sèptuple d'un nombre menys 10 és igual al sèxtuple del mateix nombre.

l) Un nombre menys el quíntuple d'aquest és quaranta quatre.

m) El triple d'un nombre més l'òctuple del mateix és el nònuple del nombre més quatre-cents.

n) Dos vegades la tercera part d'un valor és el triple d'aquest menys nou.

o) La meitat d'una quantitat més la cinquena part d'aquest mateix nombre és setanta.

p) La multiplicació d'una quantitat i la mateixa quantitat dona la quantitat de nou.

q) En prendre el quàdruple d'un nombre al que li havien restat sis dona seixanta.

r) Dos cinques de quinze quarts d'una quantitat és dos dècims de trenta mitjos.

Nivell 2n ESO.

2) Copia l'enunciat i escriu de forma abstracta cada enunciat i resol quan es pugui:

a) La cinquena part d'un valor al que l'havien restat vuit dona el valor original més tres.

b) El sèptuple d'un valor al que l'han restat vuit és igual a u.

c) La quarta part del doble d'un valor havent-li restat sis és la quarta part el valor inicial.

d) El òctuple d'un valor que se li va restar 4 és el doble que la mateixa quantitat quan se li va restar 3.

e) Cinc sisenes parts d'un valor menys la sisena part del mateix que se li va sumar u dona zero.

f) Dues terceres parts d'un nombre que se li va restar tres dona el mateix que tres quartes parts d'aquest valors quan se li va restar dos.

Exercicis de resolució

Nivell 1rESO:

1) Resol les equacions d'addició i sostracció de termes amb x i sense x.

a) $2x+3-x+4=3$

b) $1-3x-2+4x=0$

c) $-x-2+2x+5=10$

d) $4x-1+x-7-x+1-3x=0$

e) $1+x+1+x+1=1+x+1$

f) $-1-x-1-x-1-x-1-x-1=-1-x-1-x-1-x-1$

g) $-5+5x-3+3x=2+4x-1+3x-2$

h) $2x+3-x-5=1-3x+8+3x$

i) $10x-7=7+5x-10+4x$

2) Resol les equacions de productes i divisions de constants.

a) ${\frac {2x}{3}}={\frac {6}{9}}$

b) ${\frac {3}{5}}\cdot x={\frac {4}{10}}$

c) ${\frac {2x}{9}}={\frac {5}{3}}$

d) ${\frac {5}{6}}{\frac {2}{15}}x=1$

Nivell 2n ESO:

3) Resol reduint primer els denominadors:

a) ${\frac {x-3}{2}}={\frac {4-x}{2}}$

b) ${\frac {x+1-3x}{3}}={\frac {2-x}{3}}$

c) ${\frac {1-3x}{2}}-{\frac {2-4x}{3}}=0$

d) ${\frac {x-3+2x}{3}}-{\frac {4-x}{2}}=0$

e) ${\frac {x}{2}}={\frac {x}{3}}-{\frac {2-x}{2}}$

e) ${\frac {x-1}{5}}={\frac {x+1}{2}}-{\frac {4-x-3}{5}}$

4) Resol les equacions incompletes de segon grau:

a) $x(x-1)+x=4$

b) $x(2-3x)=2x$

c) $x^{2}+3(x-3)=3x$

d) $x(x-1)=0$

e) $x^{2}+4x=0$