سرفصل:حسابان

From Wikiversity

حسابان – معادلات و نامعادلات نکاتی در مورد معادلات: جایگذاري شوند معادله برابر صفر x یعنی به دست آوردن عدد یا اعدادي که اگر به جاي f ( x) = به طور کلی منظور از حل معادله ي 0 می نامند. f می شود این اعداد را ریشه هاي ها. x با محور f یعنی محل برخورد منحنی f ( x) = توجه: از نظر هندسی ریشه معادله ي 0 . f1 ( x) = f2( x) یعنی ریشه معادله ي f 2 , f باشد، محل تلاقی دو نمودار 1 f1 ( x) = f2( x) توجه: اگر معادله ي به صورت چند ریشه ي حقیقی دارد؟ x 2 + sin x = مثال: معادله ي 1 قرار می دهیم : حل ïî ïí ì = = - y x y x 2 sin 1 1 2 را در یک دستگاه رسم می کنیم: y2 , y و 1 با توجه به شکل دو ریشه دارد. چند ریشه حقیقی دارد؟ x10 - x - 2 = مثال: معادله 0 قرار می دهیم ïî ïí ì = = + 10 2 1 2 y x y x . دو ریشه مثال: معادله 7 0 چند ریشه ي حقیقی دارد؟ x - sin x = قرار می دهیم ïî ïí ì =

=

y x y x 2 sin 1 . سه ریشه 7 ا لف) معادلات رادیکالی با فرجه ي زوج: 1. دامنه یا حوزه ي تعریف معادله فاصله اي است که هم عبارات داخل رادیکال صفر یا مثبت باشد و هم عبارت مقابل رادیکال صفر یا مثبت باشد. 2. دامنه ي تعریف رادیکال ها نباید تهی باشد. 3. همه ي رادیکال هاي فرجه زوج صفر یا مثبت هستند. K K K K K K 1- x2 sin x x + 2 x10 x 7 sin x چند ریشه حقیقی دارد؟ x2 - 9 x + 8 + 4 x5 - 5x + 4 = مثال: معادله ي 0 حل: تساوي وقتی برقرار است که داخل هر رادیکال مساوي صفر باشد، سپس جواب مشترك جواب معادله است. î í ì =

=

- + = Þ 8 2 9 8 0 1 x x x x در رادیکال دوم صدق می کند. پس معادله تنها یک ریشه دارد. x =1 4. جواب به دست آمده باید در دامنه عبارت صدق کند. چند ریشه ي حقیقی متمایز دارد؟ x - 3 = x :- مثال معادله ي 1 حل ( 1): ابتدا دامنه ي تعریف را مشخص می کنیم که عبارت است از 1 0 3 3 0Þ ³ î í ì - ³ - ³ x x x سپس معادله را حل می کنیم: . D : î í ì =

=

Þ - = - Þ - + = - Þ - + = Þ 5 3 2 1 2 2 6 9 1 2 7 10 0 2 x x (x ) ( x ) x x x x x 1 2 3 1 1 2 K1 1 2 2 2 3 4 K1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 طول محمد جواد صادقیان آموزشگاه علمی آزاد دخترانه شریعت www.KonkuR.in ٢ حل ( 2): از طریق ترسیم 5. در بعضی از معادلات رادیکالی به کمک ابتدا یا انتهاي دامنه ي تعریف می توان تعداد ریشه هاي حقیقی را پیدا کرد. 8 چند ریشه ي حقیقی دارد؟ x3 + 10x2 + x - 2 = مثال: معادله ي 104 که 2 ابتداي دامنه است و در معادله نیز صدق می کن د. D : x ³ حل: دامنه عبارت است از 2 8 داریم: 10 2 104 x > از طرفی اگر 2 2 0 10 40 8 64 2 3 2 3 Þ + + - > ïî ïïí ì - > > > x x x x x x یعنی تساوي نمی تواند برقر اد باشد. پس تنها ریشه ي معادله 2 است. ب) معادلاتداراي قدر مطلق: قبل از توضیح معادلات داراي قدر مطلق ترسیم توابع داراي قدر مطلق را توضیح می دهیم. x - 3 x -1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 ها قرار دارد به صورت قرینه به بالاي x الف) به طور کلی وقتی تابعی درون قدر مطلق قرار می گیرد قسمتی از نمودار تابع که پایین محور ها ترسیم می شود. x محور یک زاویه ي قائمه است که نقطه ي 0 y = x - a ب) نمودار توابع به فرم a راس زاویه می باشد. A یک زاویه است با راس y = ax - b ج) نمودار توابع به فرم 0 a b و: A زاویه حاده است. a > 1. اگر 1 زاویه منفرجه است. a < 2. اگر 1 می باشد. [ b - a ,+¥) آن 2 x a b + = b a b - a ïþ ïý ü یک پاره خط و دو نیم خط است و خط y = x - a + x - b د) نمودار توابع به فرم 2 x a b + محور تقارن آن است. برد = یک پاره خط و دو نیم خط است. نقطه ي مرکز تقارن است. برد آن y = x - a - x - b , a < b ر. نمودار توابع به فرم است. [ a - b,b - a] y = a - b y = b - a a b O¢ 0 2 a b O + ¢ www.KonkuR.in ٣ یک پاره خط و دو نیم خط است. نقطه ي y = x - a - x - b , a > b ز. نمودار توابع به فرم 0 2 a b O + مرکز تقارن است. برد آن ¢ است. [a - b,b - a] y = b - a y = a - b b O¢ a b یک مربع با مرکز x - a + y - b = k > د. نمودار روابط به شکل 0 a y = ±(x - a) + b, x = b, x = a است. و خطوط O¢ 2k 2 و مساحتش 2 k معادلات محورهاي تقارن است. طول قطر مربع یک لوزي است. ax - b + cy - d = k >0 ,a ¹0, c ¹ 0,a ¹ c ذ. نمودار روابط به شکل دو زاویه قائمه است در امتداد اضلاع مربع (د) x - a - y - b = k > س. نمودار روابط به شکل 0 دو زاویه قائمه است در امتداد اضلاع مربع (د) y - b - x - a = k > ش. نمودار روابط به شکل 0 حل معادلات داراي قدر مطلق: y = b x = a و چند قدر مطلق داشته باشیم و بخواهیم حاصل آن چند قدر مطلق را پیدا کنیم، عددي را در فاصله ي x 1. هر گاه یک شرط براي انتخاب می کنیم و آن را داخل قدر مطلق ها قرار می دهیم تا علامت آن ها معلوم شود، سپس بنا به مطالب گفته شده، حاصل آن ، x شرط قدر مطلق ها را پیدا می کنیم. P = 2x - 5 + x - 3 - 10- 3x . آن گاه حاصل عبارت رو به رو را بیابید ، x < مثال: اگر 2 حل: عدد 0 در شرط عبارت صدق می کند و به ازاي آن داریم

ïî ïí ì - = - - = - + - = - + = Þ x x x x x x x 10 3 10 3 3 3 2 5 2 5 0 P = 2x - 5 + x - 3 - 10- 3x = -2x + 5 - x + 3 -10+ 3x = -2 2. در معادلاتی که قدر مطلق وجود دارد، جواب هاي به دست آمده باید با شرط اولیه سازگار باشد. چند جواب دارد؟ x2 + x2 - 3 = (تست): معادله 3 1) دو 2) چهار 3) بی شمار 4) صفر الف ) x ³ 3 or x £ - 3 Þ x2 + x2 - 3 = 3Þ x2 = 3Þ x = ± 3 ( حل: گزینه ( 3 (ب - 3 < x < 3 Þ x2 - x2 + 3 = 3Þ 3 = ) جواب می باشد. 3 - کل فاصله ( 3,3 . x Î Z چند ریشه ي حقیقی دارد اگر x2 + x2 -1 = (تست): معادله ي 1 1) دو 2) سه 3) بی شمار 4) صفر (الف -1£ x £1Þ x2 - x2 +1=1Þ1=1Þ x = -1 , 0 ( حل: گزینه ي ( 2 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 , Þ + - = Þ = Þ = ± î í ì < - > x x x x x x or (ب x - a + x - b = k , k > 0 , a > b 3. حل معادلات شامل دو قدر مطلق به صورت دارد. x1 < a , x2 > b معادله دو ریشه ي حقیقی به صورت k > b - a الف) اگر دارد. [a,b] معادله بی شمار ریشه در فاصله ي k = b - a ب) اگر معادله ریشه ندارد. k < b - a ج) اگر ۴ توجه: بهتر است با تعیین علامت یا ترسیم معادلات این چنین راه حل کنیم. چند ریشه دارد؟ x -1 + x - 4 = مثال: معادله 4 حل( 1). معادله دو جواب دارد . b a k b a a b k - = Þ > -

=[edit]

3 1 , 4 , 4 حل( 2

(

2 9 3 4 1 4 4 2 1 4 1 4 4 3 4 2 1 1 1 4 4 1 £ Þ - + - = Þ = £ < Þ - - + = Þ ¹ < Þ - + - + = Þ = x x x x x x x x x x x ) ) ) حل( 3): با ر س م دو تابع ïî ïí ì = = - + - 4 1 4 2 1 y y x x تعداد نقاط برخورد دو منحنی تعداد ریشه ها می باشد. x -1 + x - 4 توجه: در روش اول فقط می توان تعداد ریشه ها را مشخص کرد. در روش دوم علاوه بر تعداد خود ریشه ها نیز به دست می آیند. در روش سوم محل تقریبی ریشه ها را می توان مشخص کرد. x - a - x - b = k , k >0 , a < b 4. حل معادلات شامل دو قدر مطلق به صورت دارد. (a,b) معادله یک ریشه ي در فاصله a - b < k < b - a الف) اگر دارد. (-¥,a] معادله بی شمار ریشه در فاصله ي k = a - b ب) اگر دارد. [b,+¥) معادله بی شمار ریشه در فاصله ي k = b - a ج) اگر معادله ریشه ندارد. k < a - b یا k > b - a د) اگر 4 نکاتی در مورد معادلات درجه دوم به بالا: ریشه ي متمایز دارد. n حداکثر ، n 1. هر معادله ي درجه ي داراي ریشه است. (a,b) در بازه ي f آن گاه f (a) f (b) < 2. اگر 0 ۵ ریشه داریم: n با ax n + bx n-1 + cx n-2 + ... + k = مانند 0 n . در هر معادله ي ( ) ï ï î ï ï ï ï ï ï í ì = - = -

=

= - å å å =

=

= a x x x k a x x x d a x x c a x b n n n i i k i j k n i i i j n i i 1 2 1 1 1 1 ... ... , , , ï ï ï 3 0 4 7 11 در معادله ي : مثال = - + x x مطلوبست محاسبه ي å = 11 1 11 i . xi حل: داریم : 7 11 4 0 44 7 44 7 4 0 7 4 0 7 4 0 11 1 11 1 0 11 1 0 11 1 11 1 11 11 1 11 1 11 1111 11 121 2 111 1 Þ + - ´ = Þ = - = - = Þ = ï ï ï ï î ïï ï ï í ì + - = + - = + - = å å å å å å

= = = = i[edit]

i i i i i i i i i i i x a x x x x x b x x x x x x ( ) ... ... 123 جمع ضرایب برابر 0 شود آن گاه 1 ریشه ي معادله است. n 4. اگر در معادله ي درجه ي 5. اگر جمع ضرایب جملات با توان زوج برابر جمع ضرایب جملات با توان فرد باشد 1- ریشه ي معادله است. بقیه ریشه در صورت وجود به دست می آید. ( x - a) باشد با تقسیم معادله بر a . هر گاه یکی از ریشه هاي معادله برابر را به دست آورید. x3 - 2x - 5x + 6 = مثال: ریشه هاي معادله ي 0 داریم: ( x - 1 پس 1 ریشه ي معادله است. با تقسیم چند جمله اي بر ( 1 - 2 - 5 + 6 = حل: چون 0 x3 - 2x - 5x + 6 = ( x -1)( x2 - x - 6) = ( x -1)( x + 2)( x - 3) پس سایر ریشه ها 3 و 2- می باشد. 6 بر هر یک از ریشه بخش k باشند، عدد ثابت معادله یعنی Z عضو ax n + bx n-1 + cx n-2 + ... + k = . اگر ریشه هاي معادله ي 0 پذیر است. 1 . می بینیم که عدد ثابت یعنی 30 بر همه ي آن ,-2,5,- عبارت اند از: 3 x4 - x 3 -19x2 -11x + 30= مثال: ریشه هاي معادله ي 0 ها بخش پذیر است. 7 q با ضرایب صحیح داراي ریشه ي گویا مانند ax n + bx n-1 + cx n-2 + ... + k = مانند 0 n . اگر معادله ي درجه ي p باشد آن بخش پذیر است. q بر a و p بر k گاه 2 ریشه ي گویا دارد؟ x 3 - x2 - 4x + 2 = مثال: آیا معادله ي 0 q حل: اگر معادله ریشه ي گویا مانند p بخش پذیر است. q بر ( x و 2 (ضریب 3 p داشته باشد آن گاه 2 (جمله ي ثابت) بر 2حالت هاي ممکن براي ریشه ي گویا 1 2 1 1 1 1 2 1 2 Þ = - - þ ý ü = ± ± = ± ± , , , { , } { , } q p q p با جایگذاري در معادله مشخص می گردد که معادله 2یک ریشه ي گویا دارد و آن 1 است. 8 نیز ریشه a - b c ، باشد p(x) = ریشه ي 0 a + b c خالی از مربع باشد و c با ضرایب صحیح باشد و عدد p(x) . اگر است. p(x) = ي 0 9 a an ao . اگر n i i , , å =0 p x a x a x a x n ao در n n n n = n + + + + - - - ( ) - 2 ... 2 1 ریشه ي گویا p(x) = 1 فرد باشند معادله ي 0 ندارد و همه ي ریشه هاي آن گنگ می باشد. 10 5 ریشه ي گویا ندارد. زیرا 5 7 2 3 13 5 3 x 3 + 7x2 - 2x + 3 = مثال: معادله ي 0 4 0 , , å =

+ - +[edit]

i فرد هستند. ai p x x a x a x n ao . اگر n n n = n + + - + + - - ( ) - 2 ... 2 1 i 1 و i n m a 0£ £ -1 باشد آن گاه p(x) = یک ریشه ي 0 a و = max a < 1+ m 11 p x a x a x a x n ao ریشه هاي xn ,..., x2, x . اگر 1 n n n n = n + + + + - - - ( ) - 2 ... 2 1 1 باشند آن گاه: n n n n n n n n n k n a a a a R a a a a r a a a a x a a a a 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 - - - - - ÷ ÷ ø ö ç çè æ = - ÷ ÷ ø ö ç çè æ = - ÷ ÷ ø ö ç çè æ < < - ÷ ÷ ø ö ç çè æ , , o o 12 p x a x a x a x n ao تعداد تغییر علامات ضرایب S . اگر n n n n = n + + + + - - - ( ) - 2 ... 2 1 تعداد ریشه هاي T 1 و زوج است. T - S و S £ T ، باشد در این صورت p(x) = مثبت 0 13 U -V و V £ U باشد، در این صورت p(x) = تعداد ریشه هاي منفی 0 V و p(- x) تعداد تغییر علامات در ضرایب U . فرض زوج است. 14 ۶ 3 بحث کنید. x4 + 2x 3 - 4x2 + x -1= مثال: در مورد نوع ریشه هاي 0 زوج T - S پس معادله 1 یا 3 ریشه مثبت دارد. (زیرا معادله ممکن است حداکثر 4 ریشه داشته باشد و از طرفی چون باید S = حل: 3 و لذا معادله یک ریشه منفی U = پس 1 p(- x) = 3x4 - 2x 3 - 4x2 - x - باشد) لذا حداقل یک ریشه مثبت دارد. از طرفی 1 0 7 1 . دارد 4 1 2 1 2 = - < - - - ÷ ø ö çè æ - پس معادله حتماً ریشه مختلط دارد. در نتیجه معادله دو ریشه حقیقی و دو ریشه ي مختلط دارد. با r = توجه به این که 1 1 4 3 4 0 = - = = å = a a a i معادله ریشه گویا ندارد. i , o , سوالات تستی معادله : ها متقاطع اند. طول x در نقطه اي به طول 1 روي محور ، y + 2x = b و خط به معادله f ( x) = x 3 + ax + b 1. نمودار تابع با ضابطه ( هاي دو نقطه تقاطع دیگر این منحنی و خط کدام است؟ (تجربی 89 0,2 (4 0,-1 (3 -1,3 (2 -1,2(1 2 برابر 13 است. طول این دو x - 3 y = قرار دارند، که فاصله این نقاط از خط به معادله 5 y = x - 2. دو نقطه بر خط به معادله 1 ( نقطه کدام است؟ (تجربی 89 11,-9 (4 -11,15 (3 -15,11 (2 -15,9(1 کدام b - a ها است. بیشترین مقدار x زیر محور (a,b) در بازه f ( x) = x 3 - 4x2 - x + 4 ، x > - 3. نمودار تابع با ضابطه 1 ( است؟ (ریاضی 88 2 (4 4 (3 3 (2 5 (1 بعد از تعیین علامت داریم: . f ( x) = x 3 - 4x2 - x + 4 = ( x - 4)( x2 -1) = ( x - 4)( x -1)( x + حل: داریم ( 1 ( باشد، جواب دیگر آن کدام است؟ (تجربی 87 x + a = 5x - x یکی از جواب هاي معادله ي 2 x = 4. اگر 4 (1 2 4) جواب دیگر ندارد. 3 (3 2 (2 1 ࢌሺ࢞ሻ െ ൅ െ ൅ x  1(a,b)  (1,4)b  a  4 1  3  1 ZÅ࢞ \ËY€“ [€“ ¶Zu d»ÔŸ ª§Y» 1 4 ( 5. با توجه به شکل مقابل مساحت قسمت هاشور زده کدام است؟ (ریاضی 78 2 (1 4) جواب دیگر ندارد. 3 (3 2 (2 1 چند ریشه حقیقی متمایز دارد؟ x - 3 = x - 6. معادله ي 1 1) یک 2) دو 3) صفر 4) سه 2 چند ریشه ي حقیقی دارد؟ x + 3x2 + 2 x -1 = 7. معادله ي 5 1) صفر 2) یک 3) دو 4) بی شمار ... ، x3 + x -1= 8. معادله ي 0 1) داراي یک ریشه ي مثبت است. 2) داراي یک ریشه منفی است. 3) داراي دو ریشه ي مثبت و یک ریشه ي منفی است. 4) داراي دو ریشه ي منفی و یک ریشه ي مثبت است. کدام است؟ a در بازه ي ( 0,1 ) داراي جواب باشد، حدود x3 + x + a = 9. اگر معادله ي 0 - 2 < a < 0 (4 a > 2 (3 a < -2 (2 a > 0(1 کدام است؟ y = x +1 - x + 10 . مجموع مینیمم و ماکزیمم مطلق تابع 2 2 صفر )1 ( 1 3 ( 1 - 4 ( 2 1 11 -1 1 0 2 1 -1 را در سه نقطه قطع کند؟ y = x - منحنی تابع 2 y = k چه باشد تا خط k . حدود k ³ 2 (4 k = 2 (3 0< k < 2 (2 0< k £ 2 (1 2 = . معادله 3 - - + b x a a x a ( a,b ¹ به ازاي کدام مقادیر مبهم است. ( 0 a = b (4 ab = 3 (3 a + b = 0 (2 a = 3b(1 12 چند ریشه ي حقیقی دارد؟ ( x - a)(b - c) + (x - b)(c - a) + ( x - c)(a - b) = . معادله 0 1) یک 2) دو 3) سه 4) بی شمار 13 3 چند ریشه ي حقیقی متمایز دارد؟ x - 2 = 2 1- 9x . معادله 2 1) صفر 2) یک 3) دو 4) چهار 14 چند ریشه حقیقی دارد؟ x2 + x +1- x2 + x + 2 = . معادله 1 1) صفر 2) یک 3) دو 4) چهار 15 چند ریشه حقیقی دارد؟ x2 -1+ 4 x2 + 3x + 2 + 6 x2 + 4x + 3 = . معادله 0 1) صفر 2) یک 3) شش 4) چهار 16 3x - 2 = 5 1- 9x 17 . معادله ي 2 1) ریشه ندارد. 2) یک ریشه ي مضاعف دارد. 3) یک ریشه ي ساده دارد. 4) دو ریشه دارد. چند جواب دارد؟ x2 + x + x = 18 . معادله ي 0 4) ریشه ي حقیقی ندارد. 3 (3 2 (2 1 (1 3 چند ریشه ي حقیقی دارد؟ x2 - 3x - 23 ( x2 - 3x)2 +1= 19 . معادله ي 0 1) چهار ریشه 2) سه ریشه 3) یک ریشه 4) دو ریشه چند ریشه ي حقیقی دارد؟ ( x2 + x +1)2 + x2 + x -1= 20 . معادله ي 0 4 (4 3 (3 2 (2 1 (1 ٧ نکات و مثال در مورد نامساوي ها و نامعادلات : a > bÞ a ± c > b± c . 1. به طرفین یک نامساوي می توان عددي اضافه یا کم کرد m . 2. طرفین یک نامساوي را می توان در عدد مثبتی ضرب یا بر عدد مثبتی تقسیم کرد b m am bm or a m a b Û > > î í ì > > 0 3. اگر طرفین یک نامساوي را در عدد منفی ضرب یا بر عدد منفی تقسیم کنیم، جهت نامساوي عوض می شود: k b k ak bk or a k a b Û < < î í ì < > 0 داراي: x - x = 21 . معادله ي 1 1) ریشه نیست. 2) یک ریشه ي مضاعف است. 3) یک ریشه ي مثبت است. 4) یک ریشه ي منفی است. برابر است با: ( x -1)2 - 5 x -1 + 4 = 22 . مجموع ریشه هاي معادله ي 0 0 (4 4 (3 5 (2 10 (1 x2 - 4x + 4x - x2 = 2. معادله ي 0 3 است. - 4 < x < 1) داراي یک یا چند ریشه ي منفی است. 2) داراي تعدادي ریشه در فاصله 0 است. - ¥ < x < +¥ 3) داراي بیشمار ریشه است. 4) ریشه هاي نامحدود متعلق به فاصله ي همواره (k ¹ 0) x x = kx 24 . معادله ي 1) یک ریشه دارد. 2) فقط دو ریشه دارد. 3) ریشه ندارد. 4) سه ریشه دارد. 25 . مجموعه ي جواب معادله ي 1 3 2 = x + x عبارت است از: (1 þ ý ü î í ì - -3 5 3 (4 f (3 {3,-3} (2 , þ ý ü î í ì -3 5 3 , 3 چند ریشه ي گویا دارد؟ x3 - 7x -1= 26 . معادله ي 0 1) صفر 2) یک 3) دو 4) سه 3 درست است؟ x4 - 4x3 + 7x -1= 27 . کدام مطلب در مورد ریشه هاي حقیقی معادله ي 0 1) داراي یک ریشه ي مثبت است. 2) داراي یک ریشه منفی و یک ریشه مثبت است. 3) داراي دو ریشه ي مثبت و یک ریشه ي منفی است. 4) داراي دو ریشه ي منفی و یک ریشه ي مثبت است. ٨ 4. طرفین نامساوي را می توان به توان عددي فرد رساند بدون این که جهت نامساوي عوض شود. یا از طرفین می توان ریشه ي فرد گرفت بدون این که جهت نامساوي عوض شود. or a b n N ... a b a b or a b n N a b ... a b a b a b n- n n > n Î ï ï î ï ï í ì > > > Î > Û ï ï î ï ï í ì > > > Û - , 5 5 2 -1 2 -1 3 3 5 5 2 1 2 1 3 3 توجه: براي به توان زوج رساندن طرفین یک نامساوي یا ریشه ي زوج گرفتن از طرفین بدون این که جهت نامساوي عوض شود باید طرفین نامساوي مثبت باشند. توجه کنید که هنگام ریشه ي زوج گرفتن (به شرط مثبت بودن طرفین) قدرمطلق ظاهر می گردد. به مثال زیر توجه کنید: را حل کنید. ( x -1)2 < مثال: نا معادله ي 4 ( x -1)2 < 4 Û x -1 < 2 Û x -1 < 2Û -2 < x -1< 2Û -1< x < حل: 3 (- ( 1,3 = جواب 5. اگر طرفین نامساوي هم علامت باشند اگر طرفین را معکوس کنیم جهت نامساوي عوض می شود و اگر طرفین هم علامت نباشند با معکوس کردن طرفین جهت عوض نمی شود . a b b a a b 1 1 0 0 5 1 4 1 5 4 2 1 3 1 2 3 Þ < î í ì < < < < Þ ï ïî ï ïí ì - < - Þ - < < Þ < 6. دو نامساوي هم جهت î í ì > > c d a b a + c > b+ d . را فقط و فقط می توان نظیر به نظیر با هم جمع کرد ac bd : توجه: دو نامساوي هم جهت را در صورتی می توان نظیر در نظیر در هم ضرب کرد که همه اعداد مثبت باشند c d a b Þ > î í ì > > > > 0 0 7. وقتی عددي با معکوسش جمع می گردد یکی از دو حالت زیر پیش می آید: + 1 ³ مثبت باشد: 2 x الف) اگر x + 1 £ - منفی باشد: 2 x ب) اگر x x x از این نامساوي ها می توان نتایج زیر را به دست آورد: a ( 0 اگر ¹ a b, : هم علامت باشند داریم ( ) 4 1 1 ³ ÷ ÷ ø ö ç çè æ + + n n n n a b n براي هر عدد طبیعی a b b ( 0 اگر ¹ a b, : هم علامت نباشند داریم ( ) 0 1 1 £ ÷ ÷ ø ö ç çè æ + + n n n n a b n براي هر عدد طبیعی a b a2 + b2 + c2 ³ ab+ ac + bc : داریم c,b,a Î R 8) اگر (a + b)(b+ c)(c + a) ³ 8abc : داریم c,b,a > 9) اگر 0 برقرار است. b,a به ازاي هر a2 ± ab+ b2 ³ 10 ) نا مساوي 0 11 ) یکی از مفاهیمی که به صورت نامساوي نوشته می شود همسایگی یک نقطه می باشد، که خود شامل دو دسته می باشد: 1) همسایگی عادي 2) همسایگی محذوف. می نامیم. c را همسایگی c می نامیم. به عبارت دیگر هر بازه باز شامل نقطه c را همسایگی عادي نقطه ي (a,b) همسایگی: بازه ي باز مرکز بازه باشد همسایگی را متقارن می گوییم. اگر از همسایگی متقارن مرکز آن را برداریم همسایگی متقارن محذوف به دست می c اگر آید. شعاع آن می باشد. r مرکز همسایگی و a می باشند که x - a < r همسایگی هاي متقارن به شکل شعاع آن می باشد. r مرکز همسایگی و a 0 می باشند که < x - a < r همسایگی هاي متقارن محذوف به شکل a c b ٩ به شکل همسایگی متقارن می نویسیم: a < x < b توجه: براي نوشتن یک بازه مانند 2 2 x b a a b + < - . - 3 را به شکل قدر مطلق بنویسید. < x < مثال: نامساوي 5 حل: 2 1 3 5 1 4 4 5 3 2 3 5 5 3 = Þ < < º - < - = + < x < Þ , x x . x < M: داشته باشیم {x Î R x -1 < مثبت را جوري به دست آورید که به ازاي هر عضو مجموعه ي { 3 M مثال: کوچک ترین حل: x -1 < 3Þ -3 < x -1< 3Þ -2 < x < 4Þ -4 < -2 < x < 4Þ x < 4 روابط نامساوي در قدر مطلق: 0 اگر .12 > k : باشد آن گاه ïî ïí ì £ Û - £ £ £ Û - £ £ x k k x k x k k x k 2 2 باشد آن گاه: k > 13 . اگر 0 ï ï î ï ï í ì î í ì £ - ³ ³ Û î í ì £ - ³ ³ Û x k x k or x k x k x k or x k 2 2 0 آن گاه: < a < b 14 . اگر ï ï î ï ï í ì î í ì - £ £ - £ £ £ £ Û î í ì - £ £ - £ £ £ £ Û b x a x b or a x b b x a x b or a x b a a 2 2 2 x - y £ x ± y .15 x + y £ x + y .16 x - a + x - b ³ b - a .17 a - b £ x - a - x - b £ b - a : آن گاه داریم a < b 18 . اگر b - a £ x - a - x - b £ a - b : آن گاه داریم a > b 19 . اگر توجه: بعضی از نامعادلات با ویزگی هایی که تاکنون ذکر شد حل نمی شوند بلکه باید آن ها را تعیین علامت کرد تا محدوده جواب نامعادله به دست آید. را به دست آورید. x3 < 4x مثال: مجموعه جواب بعد از تعیین علامت آن جواب عبارت است از: . x( x2 - 4) <0Þ x( x -2)(x + 2) < پس 0 x3 - 4x < حل: می نویسیم 0 (-2,0)È( , 2 +¥ ( = جواب توجه: نا معادلات مضاعف نامعادلاتی هستند که از دو نامساوي تشکیل شده اند. براي حل آن ها دو روش وجود دارد: 1) می توان آن ها را تک تک حل کرد سپس جواب مشترك را به دست آورد. 2) دو جدول تعیین علامت را بدون این که علامت هاي آن ها را در هم ضرب کنیم، زیر هم و یکجا رسم کنید و آن گاه جواب مشترك دو نامعادله را روي جدول به دست می آوریم. مثال زیر را با دو روش حل می کنیم. 2 را حل کنید. x + 3 < x مثال: نا معادله ي 2 حل: ïî ïí ì - - > + + > Þ ïî ïí ì + < - < + + < Þ - < + < Þ 2 3 0 2 3 0 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x بعد از تعیین علامت داریم: x2 - 2x - 3 > . اما براي 0 D <0,a > همواره برقرار است زیرا 0 x2 + 2x + 3 > نا مساوي 0 که جواب مسئله می باشد. x < -1 or x > 3 ١٠ مثال: نامعادله ي مضاعف 1 2 3 1 2 £ - + - £ x x را حل کنید. چون نامعادله مضاعف است باید دستگاه ï ïî ï ïí ì ³ - - + ³ = - + £ - - + - £ = - + 2 3 0 1 0 3 1 2 3 2 2 3 0 1 0 5 2 3 2 2 1 x P x x x x P x x x

را حل کنیم. بعد از تعیین علامت هر کدام، جواب 5 3 ): جواب مشترك ( جواب دستگاه . مشترك را به دست می آوریم 1 . x £ or x ³ راه دوم: تشکیل دو جدول تعیین علامت زیر هم: با توجه به جدول فقط در 5 3 فاصله ي 1 . P1 £0 , P2 ³ داریم 0 x £ or x ³ حل نامعادلات با رسم شکل را حل کنید. x2 < 2x مثال: نامعادله ي 0 نمودار خط بالاي سهمی قرار دارد و جواب < x < را رسم می کنیم. با توجه به شکل تنها براي 2 y2 = 2x, y1 = x حل: ابتدا توابع 2 0 به دست می آید. < x < نامعادله نیز به صورت 2 را به دست آورید. x2 + x > م ثال: مجموعه جواب نامعادله ي 2 y2 = 2 - x2, y1 = x و قرار می دهیم x > 2- x حل: می نویسیم 2 x >1 or x < -1= جواب 1 کدام بازه ي زیر است؟ - x2 > 2x + مثال: مجموعه جواب نامعادله ي 1 x 2 3 5 - - + x x 2 3 3 1 - - x x P1 P2 + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - ¥ 3 1 2 3 5 + ¥ - - - + K x2 2x K K x 2 - x2 1 ( ) , ( 1 0 2 ( ) , ( 0 1 - 3 ( ) , ( 1 1 - 4 ( ) , ( 0 2 1 - حل: اگر بخواهیم نامعادله را با روش جبري حل کنیم زمان زیادي طول می کشد تا به جواب برسیم. اما بهتر است چنین نامعادلاتی را با در زمان کم y2 = 2x +1, y1 = 1- x روش هندسی یعنی رسم شکل حل کنیم که سریع تر به جواب می رسیم. با رسم نمودار هاي 2 .( تري جواب تعیین می شود. با توجه به شکل گزینه ي گزینه ي ( 2 K 2x +1 1- x2 0 به دست آورید £ x £ 2p را با شرط sin x > cos x مثال: مجموعه جواب نامعادله جواب : حل = ÷ ø ö çè æ 4 4 p p , K 4 p p 2 p 4 p 2p 5 5 . 1 1 2 2 2 3 4 5 K1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ١١ سوالات تشریحی: 1. هر یک از نامعادلات زیر را حل کنید: 16 4 3 1 2 4 2 5 1 9 4 1 7 6 0 2 5 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 £ - - ³ + < + - - - - - - £ x ) x x ) x x ) x (x ) ( x) (x x) ( x ) ) x x ) 2. مجموعه جواب هر یک از نامعادله هاي مضاعف زیر را به دست آورید: ïî ïí ì - > < ï ïî ï ïí ì < + + - - > - + < - + - < ïî ïí ì + < - > 1 3 4 4 3 1 3 2 1 4 3 2 2 2 2 2 0 1 4 5 2 2 x x ) x x x x x x x ) x ) x x x x x ) 2 3. هر یک از نامعادله ها و دستگاه نامعادله هاي زیر را حل کنید: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) 0 4 1 1 2 81 0 3 1 1 4 4 0 2 3 1 1 4 1 1 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 < - > - - - + + > - + + + - £ - + + x x x x x x x x x x x x x x 4. مجموعه جواب نامعادله هاي زیر را به روش هندسی به دست آورید: 3 2 1 3 2 4 1 5 6 4 2 1 2 1 1 2 + > - < 2 ³ 3 < 2 2 > - < + x x x x ) x x ) x x ) x x ) x ) ) عبارت جبري 2 4 2 x 5. به ازاي کدام مجموعه ي مقادیر 1 x x x + - - - تعریف شده است؟ سوالات تستی نامعادله : ( (ریاضی 86 -1£ 3x - 2 £ 1. جواب نامعادله ي زیر کدام است؟ 1 1 ( 1 3 1 (3 -1£ x £1 (2 £ x £ 3 1 - 2 £ x £1 (4 -1£ x £ ( است، آن بازه کدام است؟ (ریاضی 81 y = x - کم تر از مقادیر تابع باضابطه 2 y = x 2. در بازه اي، مقادیر تابع با ضابطه 2 (0,1) (4 (-1,1) (3 (-1,0) (2 (-2,1) (1 ( 2 معادل کدام نامعادله است؟ (ریاضی 79 x - 3 < x 3. نا معادله ي 0< x -1 <1 (4 0< x - 2 < 1 (3 x -1 < 2 (2 x - 2 < 1 (1 ( کدام است؟ (ریاضی 78 A+ B معادل باشند، آن گاه A< 2x - 3 < B , x -1 <0/ 4. اگر نامساوي هاي 1 -1 (4 -1/1 (3 - 2 (2 - 2/1 (1 مجموعه ي جواب دستگاه نامعادلات . 5 ïî ïí ì - < < x x x (2 1) ( 2 کدام است؟ (ریاضی 78 {x - 2 < x < 1} (4 {x0< x < 2} (3 {x - 2 < x < 2} (2 {x -1< x < 1} (1 مجموعه ي جواب هاي نامعادله ي . 6 x x x x x + < + ÷ ø ö çè æ + 4 (1 ) 3 1 ( کدام است؟ (ریاضی 77 {x x > 6} (4 {x 6 < x < 8} (3 {x x > 8} (2 {x x > 0} (1 1 1 2 مجموعه ي جواب نامعادله ي . 7 2 > + + - x x (x ) (x ) ( کدام است؟ (ریاضی 77 {x -1< x < 1} (4 {x1< x < 2} (3 {x -1< x < 0} (2 {x0< x <1} (1 8. نامساوي 0 1 2 2 > + - x x x ( برقرار است؟ (آزاد 71 x به ازاي چه مقادیري از x > 2 (4 0< x < 2 (3 x > 2 or x < 0 (2 x ³ 2 (1 ١٢ 9. از دستگاه نامعادلات ïî ïí ì - > + > y x x y x 2 1 2 1 6 حدود تغییرات ( کدام است؟ (ریاضی 71 x x <12 (4 x < 6 (3 x > 6 (2 x >12 (1 ( کدام است؟ (ریاضی 73 x2 - 23 - x £ مجموعه ي جواب هاي نامعادله ي 21 ، x ³ 10 . اگر 3 {x x ³ 5} (4 {x x £ 4} (3 {x - 3 £ x £ 5} (2 {x 3 £ x £ 4} (1 آن گاه کدام یک از نامساوي هاي زیر ممکن است درست نباشد؟ c > d,a > b 11 . اگر d (2 ac > bd (1 b c a 4) هر سه گزینه a + d > b + c (3 > صدق می کند کدام است؟ x £ k در رابطه ي x Î A مثبت که براي هر k کوچک ترین ، A = {x Î R 2x - 3 £ 12 . اگر { 5 6 (4 5 (3 4 (2 3 (1 برقرار است؟ x کدام رابطه به ازاي جمیع مقادیر A = x -1 + 2x - 13 . اگر 1 1 ( 1 ³ A 2 ( 2 1 (4 A£1 (3 A³ 2 1 A< کدام است؟ {x Î Z 3x +11< 14 . عضو ماکزیمم مجموعه { 0 6 (4 5 (3 4 (2 3 (1 کدام است؟ a + b + a - b ساده شده ي ، a < b 15 . اگر b (4 2a (3 2b (2 a (1 کدام یک از عبارت هاي زي همواره صحیح است؟ a £ b 16 . اگر a2 £ b2 (4 a3 £ b2 (3 a3 £ a2b (2 a2 £ ab (1 a b قرینه نباشند مقدار عددي b,a 17 . اگر b a b a + +

+

1) همواره بزرگ تر از یک است. 2) همواره کوچک تر از یک است. 3) همواره بزرگ تر یا مساوي یک است. 4) همواره کوچک تر یا مساوي یک است. 18 . جواب نامعادله ي 1 0 2 £ - - x x کدام است؟ (1,+¥)È{0} (4 (0,1) (3 (1,+¥) (2 (0,+¥) (1 19 . جواب نامعادله ي 2 1 1 > کدام است؟ x - (1,2)È(2,3) (4 (1,2) (3 (2,3) (2 (1,3) (1 20 . کسر ( )( ) ( 3)( 4) 1 2 - - - - x x x x در کدام فاصله ي زیر منفی است؟ (2,+¥) (4 (3,4) (3 (2,3) (2 (-¥,1) (1 کدام است؟ x4 + x2 < 4x2 + 21 . مجموعه جواب نامعادله ي 4 x < -4 or x > 4 (4 x < -2 or x > 2 (3 - 2 < x < 2 (2 - 4 < x < 4 (1 22 . به ازاي کدام مجموعه کسر 1 1 2 2 + - x x از 2 کمتر است؟ {x x < -1} (4 {x -1< x <1} (3 f (2 R (1 کدام است؟ x (x2 - 3x + 2) £ 23 . مجموعه جواب هاي نامعادله ي 0 {0}È[-2,-1] (4 [-2,-1] (3 [1,2]È{0} (2 [1,2] (1 ١٣ برابر با مقداري مثبت باشد، لازم است که: ، x به ازاي هر مقدار (a -1)x2 -2bx - 24 . براي آن که سه جمله اي درجه ي دوم 1 b2 + a >1 , a >1 (2 b2 + a >1 , a <1 (1 b2 + a <1 , a <1 (4 b2 + a <1 , a >1 (3 صدق می کند برابر است با: n2 - 8n + 7 < 25 . تعداد اعداد صحیحی که در نامساوي 0 8 (4 7 (3 6 (2 5 (1 26 . مجموعه ي جواب دستگاه نامعادلات ï ïî ï ïí ì - < + < 2 1 2 3 6 5 2 4 x x x x کدام است؟ 1< x < 2 (4 0< x < 1 (3 x < 1 (2 x < 3 (1 کدام است؟ x ¹ -1 , (1- x )( x +1) > 27 . جواب نامعادله ي 0 x > 1 (4 x < 1 (3 x >1 (2 -1< x <1 (1 چند دسته جواب دارد؟ x2 + 4 < 28 . نامعادله ي 8 1) یک 2) دو 3) سه 4) صفر کدام است؟ (x - 2)2 - 3 x - 2 - 4 < 29 . جواب هاي نامعادله 0 - 2 < x < 6 (4 - 2 < x < 4 (3 - 2 < x < 2 (2 0< x < 8 (1 ١۴


با تشکر : مازیار غلامی