Bất đẳng thức bậc hai

Bất đẳng thức bậc hai là một loại bất đẳng thức mà trong đó có một biến hoặc một biểu thức có dạng bậc hai (hình thức tổng quát là 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 ax 2

+bx+c).

Bất đẳng thức bậc hai có thể được viết dưới dạng:

𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 ≥ 0 hoặc 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 ≤ 0 ax 2

+bx+c≥0hoặcax 

2

+bx+c≤0

Trong đó:

𝑎 a, 𝑏 b, 𝑐 c là các hệ số thực. 𝑥 x là biến số. Để giải bất đẳng thức bậc hai, người ta thường làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai Giải phương trình bậc hai tương ứng với bất đẳng thức. Phương trình bậc hai có dạng:

𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0 ax 2

+bx+c=0

Dùng công thức nghiệm bậc hai:

𝑥 = − 𝑏 ± 𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 2 𝑎 x= 2a −b± b 2

−4ac

​

​

Dựa trên giá trị của Δ = 𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 Δ=b 2

−4ac (định thức của phương trình bậc hai), ta xác định các nghiệm của phương trình.

Bước 2: Xác định dấu của biểu thức Dựa trên nghiệm của phương trình bậc hai, ta chia tập số thực thành các khoảng và xét dấu của biểu thức trong từng khoảng đó.

Nếu Δ > 0 Δ>0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta có 3 khoảng để xét dấu: ( − ∞ , 𝑥 1 ) (−∞,x 1 ​

), 

( 𝑥 1 , 𝑥 2 ) (x 1 ​

,x 

2 ​

), 

( 𝑥 2 , + ∞ ) (x 2 ​

,+∞).

Nếu Δ = 0 Δ=0, phương trình có một nghiệm kép 𝑥 1 = 𝑥 2 x 1 ​

=x 

2 ​

, ta chỉ cần xét dấu của biểu thức trước và sau nghiệm đó.

Nếu Δ < 0 Δ<0, phương trình vô nghiệm, biểu thức luôn có dấu nhất định trong suốt miền. Bước 3: Giải bất đẳng thức Sau khi xét dấu trong các khoảng, ta sẽ chọn các khoảng thoả mãn bất đẳng thức (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0 tùy theo yêu cầu của bài toán).

Ví dụ: Giải bất đẳng thức 𝑥 2 − 5 𝑥 + 6 ≥ 0 x 2

−5x+6≥0.

Giải phương trình bậc hai: 𝑥 2 − 5 𝑥 + 6 = 0 x 2

−5x+6=0, ta có các nghiệm 

𝑥 1 = 2 x 1 ​

=2 và 

𝑥 2 = 3 x 2 ​

=3.

Xét dấu của 𝑥 2 − 5 𝑥 + 6 x 2

−5x+6 trên các khoảng: 

( − ∞ , 2 ) (−∞,2), ( 2 , 3 ) (2,3), và ( 3 , + ∞ ) (3,+∞). Bất đẳng thức yêu cầu biểu thức ≥ 0 ≥0, nên ta chọn các khoảng có dấu dương: ( − ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) (−∞,2]∪[3,+∞). Đó là cách giải bất đẳng thức bậc hai cơ bản.