El cos dels nombres reals Bat

$ℝ$

Secció on es treballen els nombres reals amb una profunditat orientada al batxillerat.

Introducció

Definició: Un conjunt $A$ és una agrupació d'elements, el seu contingut es defineix amb claus, com per exemple:

$A=\{3,\frac{4}{7},\sqrt{2}\}.$

Per detallar que aquest conjunt conté cada element de la seva definició utilitzarem el símbol de pertinença $\in$ i escriurem:

$3\in A,$ $\frac{4}{7}\in A$ 𝓸 $\sqrt{2}\in A$

Per escriure que dos conjunts $A$ i $B$ són iguals i, per tant, tenen els mateixos elements, escriurem $A=B.$

Per detallar que un conjunt $A$ conté tots els elements d'un altre conjunt $B$ però no són iguals escriurem $A\supset B$ 𝓸 $B\subset A$

Si no es recorden els símbols, sempre es pot explicar verbalment i també s'accepta.

Els nombres real

Els nombres reals, $ℝ,$ és un conjunt que conté tots els conjunts de nombres vistos fins ara.

$ℝ\supset \mathbb{Q}\supset \mathbb{Z}\supset \mathbb{N}$

De fet es considera que els nombres reals són els nombres racionals junts amb els nombres irracionals.

$ℝ=\mathbb{Q}\cup 𝕀$

Propietats 1

Propietat: Els nombres reals són un cos si:

1) Té la operació binària suma on donats $a,b,c\in ℝ$ llavors:

a) La operació suma és interna, és a dir que:

Per a qualsevol $a$ i $b$ compleix que $(a+b)\in ℝ.$

b) Té la propietat associativa, és a dir que:

Per a qualsevol $a,b$ i $c$ compleix que $(a+b)+c=a+(b+c).$

Notació: escriurem simplement $a+b+c.$

c) Té la propietat commutativa, és a dir que:

Per a qualsevol $a$ i $b$ compleix que $a+b=b+a.$

d) Té un únic element neutre $e\in ℝ$ per a la suma, és a dir que:

Per a qualsevol $a\in ℝ$ compleix que $a+e=a.$

Notació: es diu zero i s'escriu com $e=0.$

e) Cada element té un únic element invers per la suma, és a dir que:

Si $a\in ℝ$ llavors existeix un únic $b\in ℝ$ tal que $a+b=0.$

Notació: es diu el negatiu i s'escriu com $b=-a.$

Notació: es pot escriure $a+(-a)=a-a.$

2) Té la operació binària multiplicació on donats $a,b,c\in ℝ$ llavors:

a) La operació multiplicació és interna, és a dir que:

Per a qualsevol $a$ i $b$ compleix que $(a\cdot b)\in ℝ.$

b) Té la propietat associativa, és a dir que:

Per a qualsevol $a,b$ i $c$ compleix que $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$

Notació: escriurem simplement $a\cdot b\cdot c$ 𝓸 $abc.$

c) Té la propietat commutativa, és a dir que:

Per a qualsevol $a$ i $b$ compleix que $a\cdot b=b\cdot a.$

d) Té un únic element neutre $u\in ℝ$ per a la multiplicació, és a dir:

Per a qualsevol $a$ compleix que $a\cdot u=a.$

Notació: es diu unitat i s'escriu com $u=1.$

e) Cada element, diferent de zero, té un únic element invers per la multiplicació, és a dir:

Per a qualsevol $a$ compleix que existeix un únic $b\in ℝ$ tal que $a\cdot b=1.$

Notació: es diu invers multiplicatiu i s'escriu com $b=a^{-1}=\frac{1}{a}.$

Notació: es pot escriure $a\cdot c^{-1}=a\cdot \frac{1}{c}=\frac{a}{c}.$

3) Té la propietat distributiva respecte la suma on donats $a,b,c\in ℝ$ llavors:

Es compleix que $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$

4) Té una relació d'ordre, $\le$, on donats $a,b,c\in ℝ$ llavors:

a) Té una relació d'ordre total, és a dir, sempre $a\le b$ 𝓸 $b\le a.$

b) Té la propietat reflexiva, és a dir, sempre podem afirmar que $a\le a.$

c) Té la propietat antisimètrica, és a dir, si $a\le b$ i $b\le a$ es compleix que $a=b.$

d) Té la propietat transitiva, és a dir, si $a\le b$ i $b\le c$ es compleix que $a\le c.$

5) La relació d'ordre és compatible amb les operacions on donats $a,b,c\in ℝ$ llavors:

a) Si $a\le b$ compleix que $a+c\le b+c.$

b) Si $0\le a$ i $0\le b$ compleix que $0\le a\cdot b.$

Exercicis

1) Troba només una $x$ en cada cas i comprova que és correcte efectuant la operació sense calculadora:

	a) $\frac{2}{5}+x=0$	b) $\frac{7}{3}-x=1$	c) $3\cdot x=1$	d) $x\cdot \frac{2}{5}=1$
	e) $x\cdot \frac{3}{2}=0$	f) $\frac{5}{x}=1$	g) $\frac{x}{\frac{5}{3}}=1$	h) $\frac{\frac{2}{9}}{\frac{2}{9}}=x$
	i) $\frac{3}{5}\le x$	j) $\frac{x}{3}+\pi \le \frac{4}{3}+\pi$	k) $x\le \frac{2}{7}$ i $\frac{2}{7}\le x$	l) $\frac{6}{9}\le x$ i $x\le \frac{8}{9}$

Potències

$a\cdot \frac{b}{c}=\frac{b}{c}\cdot a=\frac{ab}{c}$

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

$\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a}{d}$

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

Definició: Una potència amb base $a\in ℝ$ i exponent un nombres natural, es defineix recursivament amb:

$\begin{array}{cc}{a}^1=& a\\ a^2=& a\cdot a\\ a^3=& a^2\cdot a=a\cdot a\cdot a\\ ⋮& \\ a^n=& \underset{nvegades}{\underbrace{a\cdot \mathrm{...}\cdot a}}\\ a^{n+1}=& a^n\cdot a\\ ⋮& \end{array}$

La part gris és innecessària, és per millorar la comprensió. Amb aquesta definició queda determinada totes les potències amb un exponent d'un nombre natural positiu a partir del primer terme $a,$ ja que cada nova potència es pot posar com conseqüència de la anterior i aquest fet se'n diu definició recursiva.

Sintaxi

L'exponent és més fort què el signe, la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i inclús un altre potència.

Observi's com es simplifiquen o no els parèntesis gradualment. $((a{)}^n)\to (a{)}^n\to a^n$ $(-(a{)}^n)\to -(a{)}^n\to -a^n$ $((-a{)}^n)\to (-a{)}^n$ no es pot perdre el signe. $e+((a{)}^n)\to e+(a{)}^n\to e+a^n$ $e-((a{)}^n)\to e-(a{)}^n\to e-a^n$ $e\cdot ((a{)}^n)\to e\cdot a^n$ $e÷((a{)}^n)\to e÷a^n$ $e(-((a{)}^n))\to e(-(a{)}^n)\to e(-a^n)$ $e÷(-((a{)}^n))\to e÷(-(a{)}^n)\to e÷(-a^n)$ $\left({\left(a^n\right)}^m\right)\to {\left(a^n\right)}^m$ $a^{\left(n^m\right)}\to a^{n^m}$ Només s'ha de tractar amb cura el casos en què no perd els parèntesis i raonar-los.

Tipografia

En diferents entorns propers es pot escriure de diferent manera una potència.

Calculadora segons les tecles: 7 ^ 5 és equivalent a $7^5$ 7 $x^y$ 5 és equivalent a $7^5$ Programació segons el llenguatge: C i C++: n=pow(7,5); és equivalent a $n=7^5.$ JS i Python: n=7 ** 5; és equivalent a $n=7^5.$ Notació científica per a C, C++, JS i Python: i=3.2e23; és equivalent a i=$3,2\cdot 10^{23}.$ i=3.2E23; és equivalent a i=$3,2\cdot 10^{23}.$ Latex per escriure documents d'alt nivell dins de: LaTeX: 3,2^{-13} és equivalent a $3,2^{-13}.$ Wikipedia: <math>3,2^{-13}</math> és equivalent a $3,2^{-13}.$

Propietats 2

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ $a^n\times a^m=\underset{n+m}{\underbrace{\underset{n}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}\times \underset{m}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}}=a^{n+m}$

${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$ $(a^m{)}^n={(\underset{m}{\underbrace{a\times \cdots \times a}})}^n=n\{\begin{array}{c}\underset{m}{\underbrace{\begin{array}{ccc}a\times & \cdots & \times a\times \\ ⋮& & ⋮\\ a\times & \cdots & \times a\end{array}}}\end{array}=a^{m\cdot n}$

${(a\cdot b)}^n=a^n\cdot b^n$ $(a\times b{)}^n=n\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}a\times b\times \\ ⋮\\ a\times b\end{array}\end{array}=a^n\times b^n$

$(-a{)}^n=\{\begin{array}{cc}{a}^n& \text{ si n parell }\\ -a^n& \text{ si n imparell }\end{array}$ $\begin{array}{cc}(-a{)}^1=& -a\\ (-a{)}^2=& (-a)\times (-a)=a^2\\ (-a{)}^3=& \underset{a^2}{\underbrace{(-a)\times (-a)}}\times (-a)=-(a^3)\\ ⋮& \\ (-a{)}^n=& \underset{n\text{ parell }}{\underbrace{((-a)\times (-a))\times \cdots \times ((-a)\times (-a))}}=a^n\\ (-a{)}^n=& \underset{n\text{ imparell }}{\underbrace{\underset{n-1\text{ per tant és }{a}^{n-1}}{\underbrace{((-a)\times (-a))\times \cdots \times ((-a)\times (-a))}}\times (-a)}})=-(a^n),\end{array}$

Notació per a exponents amb valors enters i base diferent de zero:

$\begin{array}{cc}{a}^{-1}=& \frac{1}{a}\end{array}$ on $a\ne 0$

Propietats 3

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ Aplicant la notació a $a^n:$ $a^{-n}={\left(a^n\right)}^{-1}=\frac{1}{a^n}$	$a^n=\frac{1}{a^{-n}}$ Idem: $a^n={\left(a^{-n}\right)}^{-1}=\frac{1}{a^{-n}}$
${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$ ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$$={(a\cdot b^{-1})}^n$ $=a^n\cdot b^{-n}$ $=\frac{a^n}{b^n}$ O de forma estesa: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$ $=\underset{n}{\underbrace{\frac{a}{b}\times \cdots \times \frac{a}{b}}}$ $=\frac{a\times \cdots \times a}{b\times \cdots \times b}$ $=\frac{a^n}{b^n}$	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=\frac{1}{a^{n-m}}$ $\frac{a^m}{a^n}=a^m\cdot a^{-n}$ $=a^{m+(-n)}$ $=a^{m-n}$ De forma estesa donant peu a tres casos: $=\frac{\stackrel{m}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}}{\underset{n}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}$ $=\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\frac{\stackrel{n}{\overbrace{\cancel{a}\times \cdots \times \cancel{a}}}\times \stackrel{m-n}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}}{\underset{n}{\underbrace{\cancel{a}\times \cdots \times \cancel{a}}}}=a^{m-n}& \text{Si }m>n\\ \frac{\stackrel{m}{\overbrace{\cancel{a}\times \cdots \times \cancel{a}}}}{\underset{n}{\underbrace{\cancel{a}\times \cdots \times \cancel{a}}}}=1& \text{Si }m=n\\ \frac{\stackrel{m}{\overbrace{\cancel{a}\times \cdots \times \cancel{a}}}}{\underset{m}{\underbrace{\cancel{a}\times \cdots \times \cancel{a}}}\times \underset{n-m}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si }m<n\end{array}\end{array}$
$a^0=1\text{només si}a\ne 0$	${\left(\frac{1}{b}\right)}^{-1}=b$ 𝓸 ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a}$

Exemples

1) Simplifica i expressa com a una sola potència, és a dir que la solució sigui de la forma $(\mathrm{...}{)}^s:$

a) $\frac{(a^6{)}^2\cdot {\left(\frac{a^3}{a^5}\right)}^3}{b^{11}\cdot b^{-5}}=$ Resolució Es seleccionen elements que es poden agrupar com: $(a^6{)}^2=a^{6\cdot 2}=a^{12},$ $\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}$ i $b^{11}\cdot b^{-5}=b^{11-5}=b^6$ L'expressió inicial queda simplificada com $\frac{a^{12}\cdot (a^{-2}{)}^3}{b^6}$ Agrupem tot el numerador $a^{12}\cdot (a^{-2}{)}^3=a^{12+(-2)\cdot 3}=a^6:$ L'expressió inicial queda ara com $\frac{a^6}{b^6}$ i agrupant potències queda ${\left(\frac{a}{b}\right)}^6$ Per tant queda com a una sola potència. Test La resolució té estructura de prova, llavors en comptes d'una prova es farà un sondeig amb nombres primers, com $a=3$ i el $b=5,$ i a cop de calculadora es fa el sondeig: $\frac{(3^6{)}^2\cdot {\left(\frac{3^3}{3^5}\right)}^3}{5^{11}\cdot 5^{-5}}=\frac{729^2\cdot {\left(\frac{27}{243}\right)}^3}{15625}=\frac{729}{15625}={\left(\frac{3}{5}\right)}^6$ S'ha fet així almenys un sondeig.

b) $\frac{a^6\cdot b^6}{(a\cdot b{)}^6+{\left(\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}\right)}^6}=$ Resolució Es seleccionen elements que es poden agrupar com: $a^6\cdot b^6=(a\cdot b{)}^6$ i $\frac{a^3}{b^2}\frac{b^3}{a^2}=\frac{a^3{b}^3}{b^2{a}^2}=a^{3-2}{b}^{3-2}=a\cdot b$ L'expressió inicial queda tot de cop com $\frac{(a\cdot b{)}^6}{(a\cdot b{)}^6+(a\cdot b{)}^6}=$ $\frac{(a\cdot b{)}^6}{2(a\cdot b{)}^6}=$ $\frac{\cancel{(a\cdot b{)}^6}}{2\cancel{(a\cdot b{)}^6}}=$ $\frac{1}{2}$ Nota: és important que $\frac{c}{c}=\frac{1}{1}=1$ només es pot fer si $c\ne 0.$ Test S'agafa doncs $a=3$ i $b=5$ per fer un sondeig a veure que surt: $\frac{3^6\cdot 5^6}{(3\cdot 5{)}^6+{\left(\frac{3^3}{5^2}\frac{5^3}{3^2}\right)}^6}=\frac{11390625}{22781250}=\frac{1}{2}$ S'ha fet així almenys un sondeig.

2) Simplifica i expressa com a una sola fracció, és a dir que la solució sigui de la forma $\frac{\left(\mathrm{...}\right)}{\left(\mathrm{...}\right)}:$

a) $\frac{r\cdot \frac{\frac{r^3}{s^4}}{r^2}}{\frac{1}{\frac{r}{s}}}=$ Resolució Podem aplicar que parlant de fraccions el elements o bé multipliquen(numerador) o bé divideixen(denominador), afegint que, qui divideix al que divideix llavors passa a multiplicar al numerador, $\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a},$ i qui divideix una fracció passa a multiplicar al denominador, $\frac{\frac{1}{a}}{b}=\frac{1}{a\cdot b}.$ Una altra alternativa és utilitzar la fórmula $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}$ segament. Es seleccionen elements que es poden agrupar com: $\frac{\frac{r^3}{s^4}}{r^2}=\frac{\frac{r^3}{s^4}}{\frac{r^2}{1}}=\frac{r^{3}1}{s^4{r}^2}=\frac{r^{3-2}}{s^4}=\frac{r}{s^4}$ $\frac{1}{\frac{r}{s}}=\frac{\frac{1}{1}}{\frac{r}{s}}=\frac{s1}{r1}=\frac{s}{r}$ Llavors l'expressió inicial queda simplificada i es pot reduir més $\frac{r\cdot \frac{r}{s^4}}{\frac{s}{r}}=\frac{r^{2}r}{s^{4}s}=\frac{r^{2+1}}{s^{4+1}}=\frac{r^3}{s^5}.$

3) Simplifica al màxim:

a) $\frac{x^{2}10^{10}{y}^4{9}^{10}}{6^9{x}^7{y}^{2}15^{11}}=$ Resolució Primer de tot factoritzem les bases de cada potència per veure quins valors es poden simplificar i desprès agrupen elements amb mateixa base: Al numerador hi ha $10^{10}=(2\cdot 5{)}^{10}=2^{10}{5}^{10}$ i $9^{10}=(3\cdot 3{)}^{10}=3^{10}{3}^{10}=3^{10+10}=3^{20}$ Al denominador hi ha $6^9=(2\cdot 3{)}^9=2^9{3}^9$ i $15^{11}=(3\cdot 5{)}^{11}=3^{11}{5}^{11}$ Llavors a l'expressió inicial queda agrupar exponents de forma que siguin positius: $\frac{x^2{2}^{10}{5}^{10}{y}^4{3}^{20}}{2^9{3}^9{x}^7{y}^2{3}^{11}{5}^{11}}$ $=\frac{2^{10-9}{y}^{4-2}{3}^{20-9-11}}{x^{7-2}{5}^{11-10}}$ $=\frac{2y^2}{x^{5}5}.$

Exercicis

1) Simplifica i expressa coma a una sola potència:

a) $(2a{)}^5{\left(\frac{2^3}{2^{4}a}\right)}^2$

b) ${\left(\frac{(a^{5}3{)}^2}{(3^{5}a{)}^2}\right)}^3$

c) $\frac{a^{15}+b^{20}+(-b{)}^{20}+(-a{)}^{15}}{2a^{10}{b}^{10}}$

2) Simplifica i expressa com a una sola fracció:

a) $a^6{b}^{-3}{5}^{10}15^{-5}$

b) $\frac{\frac{(-2^2{)}^3{a}^4}{(b^2{)}^5}}{\frac{2^8}{a^4}\frac{b^4}{(a^{-1}{)}^3}}$

c) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^5{\left(\frac{3}{5}\right)}^{-6}{\left(\frac{7}{2}\right)}^{-4}$

Arrels

Les arrels també són potències, de fet neixen en resoldre equacions del tipus $x^n=a$ on $x$ és la incògnita.

Definició: L'arrel n-èsima de a, $\sqrt[n]{a},$ és un valor real $r$ i implica o compleix que $r^n=a$ amb $2\le n.$

$\sqrt[n]{a}=r\Rightarrow r^n=a$

Notació: $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Justificació $\to$

Donada l'equació $x^5=3,$ suposem que per hipòtesi una solució és una potència com $3^n,$ llavors en substituir-lo a l'equació queda $(3^n{)}^5=3$ $\Rightarrow 3^{n\cdot 5}=3^1$ i és cert quan $n\cdot 5=1$ és a dir $n=\frac{1}{5}$ llavors la solució sí es una potencia i ha de ser $3^n=3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}.$

Lèxic $\to$

Índex Radical $\searrow$ $\swarrow$ $\sqrt[n]{a}$ $=x$$\leftarrow$ Valor de l'arrel o arrel. $\uparrow$ Radicand $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ és l'arrel quadrada de $x.$ $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ és l'arrel cúbica de $x.$ $\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}$ és l'arrel quarta de $x.$ i així segueix tota la nominació de les arrels amb nombres ordinals; cinquena, sisena, ... .

Factorització del radicand $\to$

S'ha de saber utilitzar la factorització numèrica en el moment adequat o si l'exercici el demana expressament. La intuïció diu que si es multiplica un nombre per 5 llavors puc dividir-lo per 5. Factoritzar és demanar a un nombre, $x,$ quants divisor primers, $p_i,$ té i queda expressat de la següent manera: $x=1\cdot p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot \dots \cdot p_r^{n_r}$ Això vol dir que el nombre $x$ té $r$ divisors. Exemple: $360=1\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5$ per tant podem dir que $p_1=2on{n}_1=3,$ $p_2=3on{n}_2=2$ i $p_3=5on{n}_3=1,$ llavors només té 3 divisor repetits com diu l'exponent i $r=3.$ L'u s'ha deixat fent l'ullet a qüestions teòriques i com un sistema de seguretat pels que fan operacions sense miraments.

Propietats 4

1) No sempre hi ha arrels:

$\sqrt[n]{a}=r$
	n parell	n imparell
$a<0$	No existeix $r$	Existeix $r<0$
$a\ge 0$	Existeix $r\ge 0$	Existeix $r\ge 0$

Nota: Si $-b<0$ i n imparell podem reescriure l'arrel $\sqrt[n]{-b}=-\sqrt[n]{b}$

2) Queda definit que ${\sqrt[n]{a}}^m={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}}$ on $\frac{m}{n}$ es pot reduir tant com es vulgui però la restricció anterior estarà vigent per l'inicial n parell independentment de es si simplifica amb m.

3) No sempre es pot equiparar la notació ja que m parell dins l'arrel es carrega el signe.

$\sqrt[n]{a^{\phantom{1}m}}=$
	n parell	n imparell
m parell	$|a{|}^{\frac{m}{n}}$	$|a{|}^{\frac{m}{n}}$
m imparell	$a^{\frac{m}{n}}{}_{a\ge 0}$	$a^{\frac{m}{n}}$

Exemples

1) Determina el valor de cada arrel comprovant que sigui correcta:

a) $\sqrt[6]{64}=2$ Resolució Com que $64>0$ llavors es pot fer el càlcul $\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=2^{\frac{6}{6}}=2.$ Prova El requeriment de la definició és que $2^6=64$ i confirma el càlcul.

b) $\sqrt[3]{-125}=-5$ Resolució Com que tres és imparell llavors l'arrel existeix i dona negativa. $\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-\sqrt[3]{5^3}=-5^{\frac{3}{3}}=-5.$ Prova El requeriment de la definició és que $(-5{)}^3=(-5)(-5)(-5)=-125$ i confirma el càlcul.

c) $\sqrt[4]{-32}$ no existeix. Resolució Com que quatre és parell i $-32<0$ llavors l'arrel no existeix. No fa falta prova.

d) $\sqrt[8]{(-3{)}^8}=3$ Resolució Com que l'index de la arrel és vuit que és parell i $(-3{)}^8>0$ llavors l'arrel existeix i dona positiu. $\sqrt[8]{(-3{)}^8}=\sqrt[8]{(3{)}^8}=3^{\frac{8}{8}}=3^1=3.$ Prova El requeriment de la definició és que $(-3{)}^8=(3{)}^8$ i confirma el càlcul.

e) $\sqrt[7]{(-5{)}^7}=-5$ Resolució El signe escapa a la potència setena quedant: $\sqrt[7]{(-5{)}^7}=\sqrt[7]{-5^7}$ Però com l'arrel té índex imparell 7 llavors el signe també escapa a l'arrel: $\sqrt[7]{-5^7}=-\sqrt[7]{5^7}$ $=-5^{\frac{7}{7}}$ $=-5^1$ $=-5.$

Exercicis

1) Confirma que existeix i calcula:

	a) $\sqrt[4]{2^8}$	b) $\sqrt[8]{(-4{)}^4}$	c) ${\sqrt[6]{-3}}^2$	d) $\sqrt[3]{-1000000}$
	e) $\sqrt[6]{6^{12}}$	f) $\sqrt[172]{-1^2}$	g) $\sqrt[30]{0^7}$	h) ${\sqrt[2]{-1}}^{20}$
	i) $\sqrt[137]{2^{137}}$	j) ${\sqrt[571]{x}}^{571}$	k) $\sqrt[n]{2603^n}$	l) ${\sqrt[x]{y}}^x$

Propietats 5

Considerant $a\ge 0$ i $b>0$ surt la taula:

$a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}$	${\left(a^{\frac{m}{n}}\right)}^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}\cdot \frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}$
$a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}}={(a\cdot b)}^{\frac{m}{n}}$	$1^{\frac{m}{n}}=1$ i $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$
$\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{p}{q}}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}$	$\frac{a^{\frac{m}{n}}}{b^{\frac{m}{n}}}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{m}{n}}$

Exemples

1) Simplificacions:

a) $\sqrt[15]{3^7}\sqrt[10]{3^3}$ Simplificació Es converteix a notació de potències per unificar-les $\sqrt[15]{3^7}\sqrt[10]{3^3}$ $=3^{\frac{7}{15}}{3}^{\frac{3}{10}}$ Apliquem propietat 1 simplificant: $3^{\frac{7}{15}}{3}^{\frac{3}{10}}$ $=3^{\frac{7}{15}+\frac{3}{10}}$ $=3^{\frac{2\cdot 7+3\cdot 3}{30}}$ $=3^{\frac{23}{30}}$ Com a arrels queda: $\sqrt[15]{3^7}\sqrt[10]{3^3}$ $=\sqrt[30]{3^{23}}$ Curiositat Per generar fraccions reduïdes que un cop sumades torna a simplificar vol dir que els denominadors tenen un divisor comú $r=r_1{r}_2\mathrm{..}$ es a dir: $\frac{x}{b}+\frac{y}{d}=\frac{1}{r}(\frac{x}{u}+\frac{y}{v})=\frac{1}{r}\frac{xv+yu}{uv}$ Ara cal que $s=xv+yu$ sigui factoritzable per estètica amb $x>1$ i $y>1$ Finalment provant amb el GeoGebra obtenim diferents s fins que factoritzi en més d'un terme $s=s_1{s}_2\mathrm{...}$ i tot seguit prenen per exemple $r=s_2$ una suma de fraccions pot ser $\frac{x}{s_{2}u}+\frac{y}{s_{2}v}$

b) ${\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{2^7}}\right)}^{30}$ Simplificació Apliquem la propietat 2 emparellant arrels amb potències ${\left(\sqrt[14]{\sqrt[15]{2^7}}\right)}^{30}={\left(2^{\frac{7}{15}}\right)}^{\frac{30}{14}}=2^{\frac{7\cdot 30}{15\cdot 14}}=2^1=2$ Clarament es pot fer la fracció final de cop i que simplifica trivialment.

c) $\sqrt{6^3}\sqrt{15^3}\sqrt{10^3}$ Simplificació Apliquem la propietat 3 a les dues primeres arrels: $\sqrt{6^3}\sqrt{15^3}\sqrt{10^3}=6^{\frac{3}{2}}15^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}=(6\cdot 15{)}^{\frac{3}{2}}10^{\frac{3}{2}}$ Ara tornem a aplicar la propietat $=(6\cdot 15\cdot 10{)}^{\frac{3}{2}}=(900{)}^{\frac{3}{2}}={\sqrt{900}}^3=30^3=27000$ Curiositat $\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=?$ en comptes de fer parelles per aplicar la propietat 3, sabem que es equivalent a fer-ho de cop i amb la notació que sigui més còmoda: 1) ${\left(7^2\right)}^{\frac{1}{5}}{7}^{\frac{1}{5}}{7}^{\frac{1}{5}}{7}^{\frac{1}{5}}=(7^5{)}^{\frac{1}{5}}=7^{\frac{5}{5}}=7$ 2) $\sqrt[5]{7^2}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}=\sqrt[5]{7^5}=7^{\frac{5}{5}}=7$ casualment amb una mica d'ull: $=\left(\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\right)\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}\sqrt[5]{7}={\left(\sqrt[5]{7}\right)}^5=7^{\frac{5}{5}}=7$

d) $\frac{\sqrt{5^3}}{{\left(\sqrt[6]{5}\right)}^5}$ Simplificació Mateixa base per tant apliquem propietat 5 $\frac{\sqrt{5^3}}{{\left(\sqrt[6]{5}\right)}^5}$ $=\frac{5^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{5}{6}}}$ $=5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{6}}$ $=5^{\frac{4}{6}}$ $=5^{\frac{2}{3}}$ $={\sqrt[3]{5}}^2$

e) $\frac{\sqrt[7]{64^{13}}}{{\left(\sqrt[7]{32}\right)}^{13}}$ Simplificació Apliquem propietat 6 $\frac{\sqrt[7]{64^{13}}}{{\left(\sqrt[7]{32}\right)}^{13}}$ $=\frac{64^{\frac{13}{7}}}{32^{\frac{13}{7}}}$ $={\left(\frac{64}{32}\right)}^{\frac{13}{7}}$ $=2^{\frac{13}{7}}$ $={\sqrt[7]{2}}^{13}.$

Exercicis

1) Simplifica indicant l'aplicació de les propietats anterior pas a pas:

	a) $\sqrt[15]{3^7}\sqrt[10]{3^7}$	b) $\sqrt[28]{7^5}\sqrt[21]{7^5}$	c) $\sqrt[85]{x^3}\sqrt[119]{x^6}$	d) ${\sqrt[3]{4}}^2{\sqrt[3]{4}}^2{\sqrt[3]{4}}^2$
	e) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{7}}}$	f) ${\left(5^{\frac{9}{10}}\right)}^{\frac{4}{15}}$	g) ${\left(y^{0,5}\right)}^{0,2}$	h) ${\sqrt{\frac{1}{{\sqrt[3]{\sqrt{3}}}^2}}}^{-3}$
	i) ${\sqrt[7]{4}}^5{\sqrt[7]{9}}^5$	j) ${\sqrt[5]{2}}^2\sqrt[5]{3^2}$	k) $\sqrt[15]{u^5}{v}^{\frac{1}{3}}$	l) $\sqrt{6^3}{\sqrt[6]{24}}^9$
	m) $\frac{{\sqrt[11]{9}}^3}{\sqrt[11]{9^2}}$	n) ${\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt[3]{13}}\right)}^6$	o) $\frac{r^{\frac{7}{2}}}{r^{2,5}}$	p) $\frac{\sqrt[5]{2^4}}{\frac{\sqrt[15]{2^3}}{\sqrt[10]{2^5}}}$
	q) $\frac{{\sqrt{12}}^3}{{\sqrt{3}}^3}$	r) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{27}}}$	s) $\frac{\sqrt[5]{8x}}{(2x{)}^{0,2}}$	t) $\frac{\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}}{\sqrt{6}}$

Simplificació i racionalització

En aquesta secció l'objectiu és reduir la càrrega de les arrels tant en el radicand com en els denominadors. Aquest fet millora la velocitat i els errors de càlculs, i de forma propera en aquest curs serveix per estalviar i comparar càlculs.

Extracció de factors del radicant

Idea lenta: Volem extreure part de la potència dins l'arrel $\sqrt[13]{3^{27}},$ llavors fem grups de 13 dins del 27 així $27=13+13+1,$ llavors fem:

$\sqrt[13]{3^{27}}=\sqrt[13]{3^{13+13+1}}=\sqrt[13]{3^{13}{3}^{13}{3}^1}$ $=\sqrt[13]{3^{13}}\sqrt[13]{3^{13}}\sqrt[13]{3^1}$ $=3\cdot 3\sqrt[13]{3}$ $=9\sqrt[13]{3}.$

Mètode general: Donada l'arrel $\sqrt[n]{a^m},$ sempre amb $n<m,$ se li ha de demanar ¿quants grups de n hi ha a m? i això es fa així: $\begin{array}{c}m\\ r\end{array}\frac{|n}{q}$ llavors la divisió entera ens diu que hi ha q grups de n dins de m i que han sobrat $0<r<n$:

$\sqrt[n]{a^m},$ $=a^q\sqrt[n]{a^r}.$ i $n>r$ garanteix que hem finalitzat.

Exemples

1) S'ha d'extreure el màxim de valors del radicand:

a) $\sqrt[11]{5^{64}}=$ Divisió entera $64÷11=5$ amb reste 9, per tant: $\sqrt[11]{5^{64}}$ $=5^5\sqrt[11]{5^9}$

b) $\sqrt[20]{3^{88}}=$ Simplificació $\sqrt[20]{3^{88}}$ $=3^{\frac{88}{20}}$ $=3^{\frac{22}{5}}$ Divisió entera $22÷5=4$ amb reste 2, llavors $3^{\frac{22}{5}}$ $=3^{4+\frac{2}{5}},$ finalment: $\sqrt[20]{3^{88}}$ $=3^4\sqrt[5]{3^2}$

c) $\sqrt[14]{2^{40}}\sqrt[7]{2}=$ Simplificació $\sqrt[14]{2^{40}}\sqrt[7]{2}$ $=2^{\frac{40}{14}}\sqrt[7]{2}$ $=2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{2}$ Camí llarg però ideal: Divisió entera $20÷7=2$ amb reste 6, llavors $2^{\frac{20}{7}}$ $=2^{2+\frac{6}{7}},$ finalment: $2^{\frac{20}{7}}\sqrt[7]{2}$ $=2^2\sqrt[7]{2^6}\sqrt[7]{2}$ $=2^2\sqrt[7]{2^7}$ $=2^2\cdot 2$ $=2^3.$

Racionalització simple

A un denominador amb una arrel de la forma $\frac{a}{b\sqrt[n]{c^d}}$ amb $n>d$, llavors només cal multiplicar-la pel que podríem anomenar arrel complementària al mateix temps al numerador i al denominador, aquesta arrel pot ser de la forma $\sqrt[n]{c^e},$ i sabem que $d+e=n\iff e=n-d.$

$\frac{a}{b\sqrt[n]{c^d}}$ $=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^e}}{b\cdot \sqrt[n]{c^d}\cdot \sqrt[n]{c^e}}$ $=\frac{a\sqrt[n]{c^e}}{b\cdot c}$

Resumint, això es el teòric i per aplicar-ho es pot fer moltes vegades a ull que és molt més ràpid, mirem els exemples:

Exemples

1) Es demana racionalitzar les següents expressions:

a) $\frac{1}{\sqrt{2}}=$ Racionalització simple $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $=\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Perquè $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$ o també evidentment ${\sqrt{2}}^2=2$ I la solució $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ja no te cap arrel al denominador.

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{7^4}}=$ Racionalització simple $\frac{1}{\sqrt[5]{7^4}}$ $=\frac{1\cdot \sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{7^4}\cdot \sqrt[5]{7}}$ $=\frac{\sqrt[5]{7}}{7}$ Perquè $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1$ o també evidentment $\sqrt[5]{7^4\cdot 7}=7$ I la solució $\frac{\sqrt[5]{7}}{7}$ ja no te cap arrel al denominador.

c) $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{3}}=$ Racionalització simple $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{3}}$ $=\frac{\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{3^3}}$ $=\frac{\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{3^4}}{\sqrt[4]{3^4}}$ $=\sqrt[4]{2}$ Perquè $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1$ o també $\sqrt[5]{3^4\cdot 3}=3$ I la solució $\sqrt[4]{2}$ ja no te ni denominador. ¿Es pot fer d'un altre manera? I tant però cal ser capaç encertar-ho i no sempre s'està tant despert: $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{3}}$ $=\frac{\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$ $=\sqrt[4]{2}$ Si podem fer una simplificació respectant les propietats, es fan.

Racionalització amb binomi

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a+b{)}^n=a^n+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-i}{b}^i+\dots +b^n$

$\begin{array}{cc}n=0& 1\\ n=1& 11\\ n=2& 121\\ n=3& 1331\\ n=4& 14641\\ n=5& 15101051\\ n=6& 1615201561\\ n=7& 172135352171\end{array}$

A un denominador amb un binomi amb arrel de la forma $\frac{a}{b\sqrt{c}+r\sqrt{s}}$ només cal multiplicar-lo pel mateix binomi però canviant un únic signe.

Exemples de caprici però directes:

• $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$ $=\frac{1\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})}$ 𝓸 $=\frac{1\cdot (-\sqrt{2}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{5})}$

• $\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ $=\frac{1\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}$ 𝓸 $=\frac{1\cdot (-\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(-\sqrt{2}-\sqrt{5})}$

• $\frac{1}{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}$ $=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

• $\frac{1}{-\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ $=-\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$

Exemples

1) Es demana racionalitzar les següents expressions:

a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}=$ Racionalització simple $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ $=\frac{1\cdot (1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$ $=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}$ $=-(1-\sqrt{2})$ $=\sqrt{2}-1$

b) $\frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{6}+\sqrt{10}}=$ Racionalització simple $\frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{6}+\sqrt{10}}$ $=\frac{(\sqrt{2}+1)\cdot (\sqrt{6}+\sqrt{10})}{(-\sqrt{6}+\sqrt{10})(\sqrt{6}+\sqrt{10})}$ $=\frac{\sqrt{2\cdot 6}+\sqrt{2\cdot 10}+1\cdot \sqrt{6}+1\cdot \sqrt{10}}{10-6}$ $=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{10}}{4}$ També es pot mantenir els binomis al numerador, només es pot de traslladar $\sqrt{2}$ del segon binomi al primer millorant molt poc: $\frac{(\sqrt{2}+1)\cdot (\sqrt{6}+\sqrt{10})}{4}$ $=\frac{(\sqrt{2}+1)\cdot \sqrt{2}\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5})}{4}$ $=\frac{(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot 1)\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5})}{4}$ $=\frac{(2+\sqrt{2})\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5})}{4}$

Exercicis

1) Simplifica i redueix al màxim, considerant $a,b,c,d,x>0$:

	a) $\sqrt[5]{a^{127}}$	b) $\sqrt{a^4{b}^5{c}^6{d}^7}$	c) $\sqrt{x^5\sqrt[3]{a^{26}}}$	d) $\sqrt{\sqrt[3]{a^2}b}\sqrt[3]{a^2\sqrt{b^3}}$
	e) $\frac{1}{\sqrt[4]{2^3}}$	f) $\frac{\sqrt{a^7}+1}{\sqrt{a^9{b}^7}}$	g) $\frac{2-\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2}}$	h) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[30]{a^{27}}}$
	i) $\frac{1}{2\sqrt{2}+3}$	j) $\frac{2}{3\sqrt{5}-\sqrt{6}}$	k) $\frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{5}+\sqrt{7}}$	l) $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Reptes

1) Racionalitza

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

Connexions

Recordatori de geometria elemental

Semblança $\to$

Es diu que dos triangles corresponents, $ABC$ i $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime },$ són semblants si compleixen una de les condicions equivalents següents: i) A la vegada $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}.$ ii) Un parell de les igualtats $\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }},$ $\frac{a}{c}=\frac{a^{\prime }}{c^{\prime }}$ i $\frac{c}{b}=\frac{c^{\prime }}{b^{\prime }}.$ iii) A la vegada $\alpha ={\alpha }^{\prime },\beta ={\beta }^{\prime }i\gamma ={\gamma }^{\prime }$ Nota: Si un no es vol perdre amb correspondència, s'ha de suposar que els noms s'han escollits de tal manera que satisfan la relació $a<b<c$ i $a^{\prime }<b^{\prime }<c^{\prime }.$

Triangles notables $\to$

Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són de fàcil semblança com els següents: Semblances dels triangles $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ Semblances dels triangles $60^{\circ },30^{\circ },90^{\circ }$

Exemples

1.- Demostreu que els triangles següents són semblants

Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: $\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)}{(5+\sqrt{5})}\text{¿=?}\frac{(-1+\sqrt{5})}{(20-4\sqrt{5})}$ Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: $\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)}{(5+\sqrt{5})}=$ $\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=$ $\frac{(1+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}=$ $\frac{(5+(-1+5)\sqrt{5}-5)}{4(5^2-5)}=$ $\frac{4\sqrt{5}}{4\cdot 20}=$ $\frac{\sqrt{5}}{20}.$ $\frac{(-1+\sqrt{5})}{(20-4\sqrt{5})}=$ $\frac{(-1+\sqrt{5})}{4(5-\sqrt{5})}=$ $\frac{(-1+\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}{4(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}=$ $\frac{(-5+(-1+5)\sqrt{5}+5)}{4(5^2-5)}=$ $\frac{4\sqrt{5}}{4\cdot 20}=$ $\frac{\sqrt{5}}{20}.$ Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants.

2.- S'ha de calcular l'àrea del rectangle donat

Fem la multiplicació directa recordant que $(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$

Exercicis

1) S'ha de calcula la longitud demanada en cada cas:

	a) Es vol calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets $\sqrt{\sqrt[3]{36}-3}m$ i $\sqrt{\sqrt[3]{36}+3}m.$
	b) Calculeu el perímetre d'un triangle equilàter amb una altura de $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}cm.$

2) S'ha de dibuixar i calcular l'àrea de les figures donades, simplificant i reduint al màxim el resultat:

	a) Un rectangle amb costats $\sqrt[3]{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}cm$ i $\sqrt[3]{\sqrt{45}-3\sqrt{2}}cm.$
	b) Un triangle obtusangle que té com a base el costat més petit i que mesura $\sqrt{2}+\sqrt{8}m$ i altura $\frac{\sqrt{27}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}m.$
	c) Un quadrat de amb diagonal $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt[5]{16}}km.$

Intervals

Es donen continguts necessaris per construir intervals i uns altres conjunts per completar l'adquisició de la competència relatives als nombres reals.

La presentació fa conciliar les condicions lineals i les construccions dels diferents intervals que generen.

Definició: Una semirecta a $ℝ$ és el conjunts de tots els punts que es troben a un mateix cató d'un valor $a\in ℝ$ donat.

Donada una condició amb desigualtats es pot esbossar una representació, que indiqui on pot estar totes les possibles $x$ relatives a la constant $a\in ℝ$:

$a$ $a<x$ $+\mathrm{\infty }$

$a$ $a⩽x$ $+\mathrm{\infty }$

$a>x$ $a$ $-\mathrm{\infty }$

$a⩾x$ $a$ $-\mathrm{\infty }$

S'utilitza ( o ) per indicar que el valor lateral no està dins del conjunt definit i s'utilitza [ o ] per indicar que el valor lateral sí està dins del conjunt definit.

Notació i nominació d'una semirecta

$a<x\Rightarrow (a,-\mathrm{\infty })$ i es diu semirecta oberta.

$a⩽x\Rightarrow [a,-\mathrm{\infty })$ i es diu semirecta tancada.

$a>x\Rightarrow (-\mathrm{\infty },a)$ i es diu semirecta oberta.

$a⩾x\Rightarrow (-\mathrm{\infty },a]$ i es diu semirecta tancada.

Afegir més precisió al nom és redundant.

Exemples

Condició: $\frac{\sqrt{2}}{3}<x\to$ Representació:	${}_{\frac{\sqrt{2}}{3}}$	$\to$ Notació: $(\frac{\sqrt{2}}{3},+\mathrm{\infty })$
Condició: $-\pi ⩾x\to$ Representació:	${}_{-\pi }$	$\to$ Notació: $(-\mathrm{\infty },-\pi ]$

Operacions

Intersecció

La intersecció d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com $A\cap B$ o $B\cap A,$ és el conjunt de tots els elements que compleixen les dues condicions a la vegada, sense efectes de l'ordre.

Definició: Un interval a $ℝ$ és el conjunt de tots els punts que queden delimitats per dos valors $a,b\in ℝ$ donats.

La intersecció de semirectes pot donar intervals:

Condicions: $x<3$ i $x>1$	Representació: ${}_1$ ${}_3$	Notació: $(-\mathrm{\infty },3)\cap (1,+\mathrm{\infty })=(1,3)$ Es diu interval obert.
Condicions: $x⩽1$ i $x>-2$	Representació: ${}_{-2}$ ${}_1$	Notació: $(-\mathrm{\infty },1]\cap (-2,+\mathrm{\infty })=(-2,1]$ Es diu interval semiobert.
Condicions: $x<-3$ i $x⩾-5$	Representació: ${}_{-5}$ ${}_{-3}$	Notació: $(-\mathrm{\infty },-3)\cap [-5,+\mathrm{\infty })=[-5,-3)$ Es diu interval semiobert.
Condicions: $x⩽\frac{1}{7}$ i $x⩾0$	Representació: ${}_0$ ${}_{\frac{1}{7}}$	Notació: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{7}]\cap [0,+\mathrm{\infty })=[0,\frac{1}{7}]$ Es diu interval tancat.

La intersecció de semirectes també pot donar una semirecta:

Condicions: $x<1$ i $x⩽6$	Representació: ${}_1$ ${}_6$	Notació: $(-\mathrm{\infty },1)\cap (-\mathrm{\infty },6]=(-\mathrm{\infty },1)$
Condicions: $x<0$ i $x⩽-4$	Representació: ${}_{-4}$ ${}_0$	Notació: $(-\mathrm{\infty },0)\cap (-\mathrm{\infty },-4]=(-\mathrm{\infty },-4]$

La intersecció de semirectes pot donar punts aïllats:

Condicions: $x⩾-5$ i $x⩽-5$

Representació: ${}_{-5}$

Notació: $(-\mathrm{\infty },-5]\cap [-5,+\mathrm{\infty }]=\{-4\}$ Que es pot dir valor o punt de $ℝ.$

La intersecció de semirectes pot no donar cap punt:

Condicions: $x<10$ i $x>20$

Representació: ${}_{10}$ ${}_{20}$

Notació: $(-\mathrm{\infty },10)\cap (20,+\mathrm{\infty })=\{\}$ =∅. Es diu conjunt buit.

Unió

Una unió d'un conjunt A i un conjunt B , anotat com $A\cup B$ o $B\cup A,$ és el conjunt de tots eles elements que compleixen almenys una les dues condicions donades, sense efectes de l'ordre.

Això permet ajuntar conjunts que no estan connectats, un paral·lelisme seria unir un país amb una illa encara que no estiguin físicament junts.

La unió de dos conjunts disjunts pot donar un conjunt unitari lògicament però de dos conjunts disjunts.

Condicions: $x>1$ 𝓸 $(x⩽0ix>-2)$	Representació: ${}_{-2}$ ${}_0$ ${}_1$
Notació: $C$ $=(1,+\mathrm{\infty }]\cup ((-\mathrm{\infty },0]\cap (-2,+\mathrm{\infty }])$ $=(1,+\mathrm{\infty }]\cup (-2,0]$

La unió de dos conjunts pot donar tot $ℝ$

Condicions: $x>-1$ 𝓸 $x⩽1$

Representació: ${}_{-1}$ ${}_1$

Notació: $C=$ $=(-1,+\mathrm{\infty })\cup (-\mathrm{\infty },1]=ℝ$

Exercicis

Ara ja podem barrejar la intersecció amb la unió que dona tot tipus de conjunts numèrics. Per fer aquestes operacions podem fer servir colors o textures.

1) S'ha de representar i escriure la notació corresponent a cada apartat:

a) $x⩽0.$	b) $x⩾-2.$	c) $x<4.$	d) $x>-3.$
e) $\sqrt{2}>x$	f) $\frac{5}{7}⩽x$	g) $3^{\prime }75<x$	h) $\pi ⩾x$

2) S'ha de deduir la condició i escriure la notació corresponent a cada apartat:

a)	$100$ $+\mathrm{\infty }$	b)	$\frac{1}{10}$ $+\mathrm{\infty }$
c)	$-0^{\prime }5$ $+\mathrm{\infty }$	d)	$\sqrt{5}$ $+\mathrm{\infty }$

Exercicis d'intersecció de dos condicions

3) Representeu, escriu la notació i el nom de cada grup de condicions:

a) $s<6$ i $s>0$

b) $s⩾6$ i $s⩽8$

c) $s⩾-23$ i $s<-20$

d) $s⩽23$ i $s>2$

4) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas:

a) $(-100,8)$

b) $(-3,12]$

c) $[2,100)$

d) $[-5,-4]$

e) $\{5\}$

f) $\mathrm{\varnothing }$

5) Representeu, escriu les condicions i escriu la notació adaptat a cada apartat:

a) Una interval obert.

b) Una interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta.

c) Una interval tancat per l'esquerra i obert per la dreta.

d) Una interval tancat.

e) Un punt.

f) El buit.

6) Formuleu les condicions, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat:

a)

$-0,1$	$0,1$

b)

$-10^{23}$	$-10^{22}$

c)

$-\pi$	$\sqrt{2}$

d)

$12$

Exercicis d'unió de dos condicions

7) Representeu, escriu la notació i el nom de cada grup de condicions:

a) $s<-6$ o $s>0$

b) $s⩾6$ o $s⩽8$

c) $s⩾-23$ o $s>-20$

d) $s⩽23$ o $s<2$

8) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas:

a) $(-\mathrm{\infty },8)\cup (9,+\mathrm{\infty })$

b) $(-\mathrm{\infty },2]\cup (3,+\mathrm{\infty })$

c) $(-\mathrm{\infty },-3^{\prime }4)\cup [0,+\mathrm{\infty })$

d) $(-\mathrm{\infty },8]\cup [-8,+\mathrm{\infty })$

e) $ℝ$

9) Representeu, escriu les condicions i escriu la notació adaptat a cada apartat:

a) Dues semirectes obertes.

b) Una semirecta oberta amb una semirecta tancada.

c) Tots els nombres

d) Una interval tancat.

e) Un punt.

f) El buit.

10) Formuleu les condicions, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat:

a)

$-3,2\cdot 10^9$	$-3,2\cdot 10^8$

b)

$-1,001$	$-1,0001$

c)

$0$	$\sqrt{5}$

d)

$13$

Treball de unió i intersecció

11) Escriu la notació i la seva representació de les condicions donades:

a) $x<3$ i $x>3$

b) $x<6$ i $x<5$ i $x>3$

c) $x<8$ 𝓸 $x>4$

d) ( $x<2$ i $x>0$ ) 𝓸 $x<1$

12) Crea amb nombres reals concrets amb les condicions, la notació i la seva representació de cada conjunt demanat verbalment:

$(a,b)$ és un interval obert, $[a,b)$ 𝓸 $(a,b]$ són intervals semioberts i $[a,b]$ és un interval tancat.

a) Conjunt format per dos intervals oberts.

b) Conjunt format per una semirecta tancada i un interval tancat.

c) Conjunt format per dues semirectes obertes.

d) Conjunt format per un interval semiobert i un interval tancat.

e) Conjunt format per un interval semiobert i un punt aïllat.

Exercici de raonament

13) Representa acuradament el nombre $\pi$ amb l'interval de l'error absolut si aquest és de $10^{-2}.$ Procureu que l'interval sigui més llarg que un centímetre.

14) Hem fet una compra d'una beguda d'un litre, però hi ha una petita inscripció que ens diu l'error absolut sumat o restat:

$1\pm 0,05$

Representa les dues possibilitats acuradament amb un interval de longitud major que un centímetre.

Connexions

Aproximació

El 67 era un número que vivia tranquil·lament en una ciutat de números. Cada dia es despertava a les 6:07, anava a l'escola 67 i quedava amb el seu amic 67. Un dia va viatjar amb el tren 67 i va descobrir que, allà on anava, sempre apareixia el 67. Des d'aquell dia, el 67 va pensar que tenia una vida molt especial.

Exercicis resum

Amb calculadora considerant totes les constants $a,b,c,d>0$:

1) Canvia i expressa com a potències els radicals, i com radicals les potències segons el cas, simplificant seguidament amb un pas separat:

Directes CCSS: a) $a^{\frac{24}{36}}$ f) $x^{\frac{21}{15}}$ b) $b^{\frac{1+4}{35}}$ g) $0^{\frac{20\sqrt{2}}{\pi }}$ c) ${\sqrt[12]{a}}^{36}$ h) ${\sqrt[28]{(b-c{)}^7}}^4$ d) $\sqrt[14]{b^{70}}$ i) $\frac{1}{{\sqrt[3]{a}}^{-2}}$ e) $1{\phantom{)}}^{\frac{\sqrt{5}}{1-\sqrt{2}}}$ j) $\sqrt[15\cdot 4]{a^{6\cdot 10}}$

Bàsics CT: k) $\sqrt[n\cdot r]{2^{n\cdot 2}}$ p) $\sqrt[7]{\frac{a}{a^{-5}}}$ l) $\sqrt[n]{7^{n\cdot n}}$ q) ${\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}}\right)}^{-16}$ m) ${\sqrt[20a]{2}}^{50a}$ r) ${\displaystyle }$ n) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}$ o) $c^{-\frac{256}{16}}$

2) Simplifica i agrupa al màxim les expressions donades deixant cada els passos necessaris:

Agrupar és deixar tot com una sola arrel o una sola potència. Exemple ${\sqrt{a}}^2{\sqrt{b}}^2{\sqrt{3}}^2$ agrupat és ${\sqrt{ab3}}^2$

Directes CCSS:

a) $a^{\frac{2}{5}}\cdot a^{\frac{3}{2}}=$

b) $\frac{b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{3}{4}}}=$

c) $a^{\frac{2}{7}}{b}^{\frac{2}{7}}=$

d) $\frac{b^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}}=$

e) ${\left(a^{\frac{15}{14}}\right)}^{\frac{7}{10}}=$

Bàsics CT:

f) $\frac{{\sqrt[7]{a}}^4\sqrt[5]{b^2}}{\sqrt[6]{b^5}\sqrt[3]{a^2}}=$

g) $\frac{\sqrt[6]{b{a}^5}\sqrt[6]{a{b}^4}}{\sqrt[6]{b^3}\sqrt[6]{a^3}}=$

3) Extreure valors del radicant deixant clar els passos fets:

Directes CCSS

a) $\sqrt[12121]{a^{24242}}$

b) $\sqrt[7]{a^{2312}}$

c) $\sqrt[2]{a^{25}{b}^{26}{c}^{27}}$

Bàsics CT

d) $\sqrt[5]{\frac{a^{431}}{b^{141}}}$

e) $\sqrt[3a]{b^{3463a}}$

f) $\sqrt[3a]{\frac{b^{17a}}{c^{31a}}}$

4) Racionalitza i simplifica tant com es pugui deixant els passos necessaris:

a) $\frac{\sqrt[5]{15a}}{\sqrt[5]{a^3}}$

b) $\frac{1}{\sqrt[31]{a^{2}5b^{1}9}}$

c) $\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

d) $\frac{4a-c}{2\sqrt{a}-\sqrt{3c}}$

5) Escriu tots els passos per a calcular l'àrea d'un triangle rectangle que ja sabem que és $\frac{1}{4}c{m}^2$ si un catet mesura $\frac{\sqrt[3]{2^2}}{-1+\sqrt{5}}cm$ i l'altre catet mesura $\frac{\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt{5}}cm.$

6) Omple la taula segons el que falta a cada pas; condició, notació o representació

Condicions: a) $x<3$ i $x>1$	Representació: ^`|valign="top"|Notació:
b)	$\frac{5}{6}$ $\frac{6}{7}$
c)		$[-7,15)$
d) $x<23$ i $x>23,1$
e)	$\pi$ $2\pi$
f)		$[1,+\mathrm{\infty })$