Enunciat i resolució matemàtiques CCSS 2025 A

Extracte de la prova i mode de resolució proposat.

Exercici 1

Volem allotjar 10 persones en un hotel que té habitacions individuals, dobles i triples. Sabem que si reservem sis habitacions individuals i dues de dobles, hem pagat 702€, i si en reservem una d'individual i tres de triples, hem de pagar el mateix que si en reservem dues de dobles i dues de triples.

a) Determineu els preus de l'habitació doble i de la triple en funció del preu de la individual. [1,25 punts]

Abstracció i interpretació Primer de tot en observar que hi ha tres tipus d'habitacions llavors tenim la llibertat de dir: $x={\text{habitació individual}},$ $y={\text{habitació doble}},$ $z={\text{habitació triple}}.$ Ara l'enunciat es pot sintetitzar ordenadament en: 10 persones a allotjar 6x + 2y = 702€ 1x + 3z = 2y + 2z Ens demanen doncs resoldre un sistema que ha de quedar tot en funció de x, tot es podrà calcular a partir de x. x = un preu y = f(x) z = g(x) Aplicar mètodes Tenim una equació amb incògnites x i y, i l'altre amb incògnites x i z, i no costa res aïllar la z i la y per trobar f(x) i g(x). ${\begin{cases}6x+2y&=702\\x-2y+z&=0\end{cases}}$ La primera equació ja està, però la segona sobra un 2y que just coincideix amb l'oposat de l'equació anterior, ¿sumen e1 a e2? ${\begin{cases}6x+2y&=702\\x-2y+z&=0\end{cases}}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases}6x+2y&=702\\7x+z&=702\end{cases}}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases}y={\frac {702-6x}{2}}\\z=702-7x\end{cases}}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=351-3x\\z=702-7x\end{cases}}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=f(x)\\z=g(x)\end{cases}}$ Exposició del resultat Només calia aïllar y i z al sistema per obtindre la dependència de x. $y=351-3x$ $z=702-7x$

b) Si el preu de l'habitació triple és el doble de preu de la individual, quin és el preu de cada tipus d'habitació? De les tres opcions plantejades per a allotjar les 10 persones, amb quina obtenim el preu més baix i quin és aquest preu? [1,25 punts]

Reinterpretació Sintetitzant l'enunciat veiem que tenim una segona equació $z=2x$ i amb la que ja teníem $z=702-7x$ es té dues equacions amb dues incògnites. Aplicar mètodes Resolució del sistema. ${\begin{cases}z=2x\\z=702-7x\end{cases}}$ $\Leftrightarrow ^{e2-e1}{\begin{cases}z=2x\\0=702-9x\end{cases}}$ Queda doncs $0=702-9x$ que és una equació amb una incògnita i aïllant surt que $x=78\,\mathrm {\euro}$ que aplicat al apartat (a) queden els preus: x = 78 € per habitacions individuals y = 351 - 3·78 = 117 € per habitacions dobles z = 702 - 7·78 = 15 6€ per habitacions triples Exposició del resultat Com que es demana quina de les tres propostes de l'enunciat és la millor només hem de substituir a les dos segones que per cert són iguals. 1a proposta: 6x + 2y = 702 € No calia fer càlculs. 2a proposta: 1x + 3z = 78 + 3·156 = 546 € 3a proposta: 2y + 2z = 2·117 + 2·156 = 546 € Per tant, s'obté el preu més baix amb la opció 2a i 3a, i el preu és de 546 €

Exercici 2

Un inversor té uns diners invertits en un fons d'inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció

$f(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}-{\tfrac {35\,x^{2}}{2}}+300\,x+250,$

on què $x\in \left[\,0,\,24\,\right]$ representa el temps en hores.

a) Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de 24 hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim. [1,5 punts]

Abstracció i interpretació La funció ja es una abstracció del problema: $x=0\;h$ és quan no ha passat cap hora, es a dir, la sortida d'un capital. $x=1\;h$ és quan finalitza la primera hora i comença la segona hora. $x=24\;h$ és quan s'acaba la previsió de 24 hores i per tant el final de l'última hora per la que $f(x)$ és fiable. Només podem dir que és una corba continua que comença en $x=0\;h$ i acaba en $x=24\;h,$ i per tant sabem: Valor inicial és la sortida de la inversió $f(0)={\tfrac {0^{3}}{3}}-{\tfrac {35\cdot 0^{2}}{2}}+300\cdot 0+250=250\;{\text{€}}$ Valor en finalitzar la vint-i-quatrena hora és $f(24)={\tfrac {24^{3}}{3}}-{\tfrac {35\cdot 24^{2}}{2}}+300\cdot 24+250=1978\;{\text{€}}$ Aplicar mètodes Màxims i mínims locals sobre funcions continues i derivables definides en intervals tancats. Es vol trobar $f'(x)=0$ $f'(x)={\tfrac {3\,x^{2}}{3}}-{\tfrac {35\cdot 2\,x}{2}}+300+0$ $=x^{2}-35\,x+300=0{\text{?}}$ $\Rightarrow \;x={\tfrac {35\pm {\sqrt {25}}}{2}}$ $\Rightarrow \;x_{1}=15\;{\text{i}}\;x_{2}=20$ Per defecte s'afegeix els extrems del interval $[\;0,\;24\;]$ com a candidats a màxims i mínims. La taula de signes de $f'(x)=(x-15)(x-20)$ queda tancada com: 0 $15$ $20$ 24 $15$ $x-15$ - - 0 + + + + $20$ $x-20$ - - - - 0 + + $f'(x)$ + + 0 - 0 + + Els candidats a màxim són $x=15$ i $x=24$ on: $f(15)=1937,5\;{\text{€}}$ $f(24)=1978\;{\text{€}}$ i els candidats a mínims són $x=0$ i $x=20$ on: $f(0)=250\;{\text{€}}$ $f(20)=1916.{\bar {6}}\;{\text{€}}$ Exposició del resultat Ordenadament segons la pregunta: El valor inicial de la inversió és 250 €. El benefici en finalitzar les 24 h és 1978-250=1728 €. El màxim absolut s'ha trobat al cap de 24 h amb un valor de 1978 €.

b) Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix? [1 punt]

Exposició del resultat a partir de la pregunta (a). Ordenadament segons la pregunta: No és negatiu perquè els dos mínims són positius. El mínim absolut és 250 €.

Exercici 3

Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg.

Fórmules per a resoldre l'exercici

•  Z ~ normal(0,1) → P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95  i  P(-2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99.

•  Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0,1)$

⎯ per a la proporció (mostres grans):

$\left[\;{\hat {p}}-z_{\gamma }{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}\;,\;{\hat {p}}+z_{\gamma }{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}^{\phantom {8}}\right]$

⎯ per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma ^{2}$ coneguada):

$\left[\;{\bar {x}}-z_{\gamma }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\;,\;{\bar {x}}+z_{\gamma }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\;\right]$

⎯ per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma ^{2}$ desconeguada):

$\left[\;{\bar {x}}-z_{\gamma }{\frac {s}{\sqrt {n}}}\;,\;{\bar {x}}+z_{\gamma }{\frac {s}{\sqrt {n}}}\;\right]$

a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l'atzar una vaca frisona d'aquesta granja, el seu pes estigui entre 531 kg i 629 kg. [1 punt]

b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n'ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d'una mostra de 10 vaques de la granja escollides a l'atzar:

569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes de les vaques suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 25 kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiques la resposta. [1,5 punts]

Exercici 4

Al Congrés Català d'Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper més de juliol, hi assistiran docents d'universitat, d'educació secundària i d'educació infantil i primària.

A hores d'ara, un 10% dels docents inscrits són d'universitat, un 50% són de secundària i la resta són d'infantil i primària. D'altra banda, un 40% dels docents inscrits d'universitat, un 52% dels docents inscrits de secundària i un 65% dels docents inscrits d'infantil i primària són dones.

Trieu UNA de les opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s'hi plantegen.

OPCIÓ A

a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l'atzar d'entre tots els inscrits sigui una dona. Si d'entre totes les dones inscrites n'escollim una a l'atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària? [ 1,25 punts ]

b) Calculeu el nombre de docents que s'ha inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites. [ 1,25 punts ]

OPCIÓ B

a) L'organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus D1 per al grup de docents universitari, el detall de tipus D2 per al grup de docents de secundària i el detall de tipus D3 per al grup de docents d'infantil i Primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem E1, E2 i E3. La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus D1, D2 i D3 (files) segons les empreses E1, E2 i E3 (columnes):

${\begin{pmatrix}1,25&1&1,25\\0,75&1&1,15\\1&0,85&0,80\end{pmatrix}}$

La comanda de l'organització es pot representar com un vector fila $(x,\;y,\;z),$ en què x representa la quantitat de detalls del tipus D1, y és la quantitat de detalls de tipus D2 i z correspon a la quantitat de detalls de tipus D3 que cal comprar.

L'organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran 1.000 persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els mateixos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció.

Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix e millor preu i quin és aquest preu. [1,25 punts]

b) Un hotel situat prop de l'espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l'habitació doble a un preu de 80€ la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien 100 reserves d'habitacions dobles. Però l'estudi mostra que la relació entre el preu de l'habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l'habitació aconsegueixen dues reserves més.

Si anomenem x el nombre de vegades que s'aplica el descompte d'un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l'hotel en funció de x. Quin ha de ser el preu de l'habitació doble per a maximitzar els ingressos? [1,25 punts]