Geometria analítica-batx

René Descartes 1649-1700

Pensat com un recordatori de geometria preparant-la per l'anàlisi i a la vegada com un reforç per aquells estudiants amb dificultats.

La geometria analítica analitza principalment objectes geomètrics i funcions al pla cartesià. Posteriorment arriba el càlcul infinitesimal estudiant el comportament local de les funcions. Aquí la paraula local és, de fet, el més important en l'anàlisi de funcions apareixent límits i derivades.

Es veurà com les figures geomètriques bàsiques sobre espais amb diverses dimensions es poden vincular a diverses equacions implícites de forma natural.

Les dimensions

Quan es parla d'un objecte que és de dimensió 0, vol dir que no es pot mesurar res d'ell, com els punts.

Axioma d'Euclides Un punt és el que no té cos i no es pot dividir en altres elements.

Quan es parla d'un objecte que és de dimensió 1, vol dir que només podem obtenir una única mesura longitudinal d'ell, com si fos un fil.

Quan es parla d'un objecte que és de dimensió 2, vol dir que es poden mesurar longituds i àrees.

Sobre un objecte de dimensió 2 es poden mesurar diferents longituds.

Un objecte de dimensió 2 només pot tindre un àrea que podria ser nul·la.

Per mesurar àrees s'utilitza la unitat quadrada, es adir un quadrat de costat 1 per 1, degut a que els quadrats no es poden adaptar a les figures geomètriques s'utilitzen fórmules per calcular la quantitat d'aquests quadrats que té dins l'objecte a mesurar.

Quan es parla d'un objecte que és de dimensió 3, vol dir que es poden mesurar longituds, àrees i volums.

Per mesurar volums s'utilitza la unitat cúbica, es a dir cubs de costats 1 per 1 per 1, per calcular la quantitat d'aquests cubs que té dins l'objecte a mesurar.

I per a objectes que són de dimensions superiors que cadascú faci servir la imaginació.

Àrees i perímetres

La mesura de longituds ens permet determinar valors unidimensionals més destacades de les figures geomètriques.

• Per mesurar el perímetre, P, es a dir tota la longitud de la vora d'un objecte bidimensional, només hem de sumar totes les longituds de la vora del objecte.

• Per mesurar àrees, A, s'utilitzen fórmules que bàsicament busquen mesures perpendiculars entre elles per multiplicar-les i que més tard es podrà utilitzar noves formes de fer-ho.

El rectangle

200

L'ideal de rectangle és una figura geomètrica formada per quatre costats, és un quadrilàter, que té tots els angles interns rectes i els costats oposats són iguals, i els costats adjacents són diferents com indica el dibuix.

Per tant té dues mesures de costats; un serà x i l'altre serà y i que s'ha de situar convenientment als dibuixos que es fan.

$P_{\square }=x+y+x+y=2x+2y$

$A_{\square }=x\cdot y$

El quadrat

200

L'ideal de quadrat és una figura geomètrica formada per quatre costats, és un quadrilàter, que té tots els angles interns rectes i tots els costats iguals.

$P_{\square }=x+x+x+x=4x$

$A_{\square }=x\cdot x=x^{2}$

Els triangles

L'ideal de triangle és una figura geomètrica formada per tres costats units pels seus extrems anomenats vèrtex.

$P_{\square }={\text{suma de tots els costats}}={\text{longitud de la vora}}$

$A_{\square }={\frac {Base\times Altura}{2}}$

Equilàter	Isòsceles	Escalè

Els triangles notables

Els triangles rectangles notables que heu de conèixer són les semblances següents:

Semblances dels triangles $45^{\circ },\;45^{\circ },90^{\circ }$

Semblances dels triangles $60^{\circ },\;30^{\circ },90^{\circ }$

El triangle equilàter

El triangle equilàter és el triangle que té tots els costats iguals i tots els angles iguals:

Depenent del problema és evident que l'atura d'un triangle equilàter es calcula amb el triangle notable 60,30,90 adequat o directament per Pitàgores.

Les còniques

Rectes	Paràboles	Hipèrboles	El·lipses
$y=ax+b$	$y=ax^{2}+bx+c$	$xy=a$	$ax^{2}+by^{2}=r$

Exercicis

1) Sigui un rectangle format per dos costats sobre els eixos de coordenades i el vèrtex, A, lliure està sobre una corba determinada per una equació al primer quadrant. Calcula la longitud dels costats per tal que l'àrea sigui la demanada a cada apartat.

a) Si $A\in \{(x,y)|2x+3y=5\},$ es a dir que A està sobre una recta i volem àrea màxima.

b) Si $A\in \{(x,y)|y=4-x^{2}\},$ es a dir que A està sobre una paràbola i volem àrea màxima.

c) Si $A\in \{(x,y)|(x-1)(y-1)=4\},$ es a dir que A està sobre una paràbola i volem àrea mínima.

d) Si $A\in \{(x,y)|x^{2}+2y^{2}=3\},$ es a dir que A està sobre una el·lipse i volem àrea màxima.

2) Sigui un triangle isòsceles inscrit en una circumferència de radi r. Calcula les dimensions del triangle per a que l'àrea sigui màxima.