Inequacions IV

Aquesta secció treballa les inequacions sense la part gràfica però que hom la pot incloure lliurement, sobretot al tractar inequacions no lineals.

Les lleis que regeixen les resolucions de les inequacions són senzilles però cal fer molta atenció a no equivocar-se.

Introducció

Operacions: $\color {red}<\color {black},>,\leqslant i\geqslant$
${\begin{array}{rcl}a+b&<&c\\b&<&c-a\end{array}}$	${\begin{array}{rcl}-a+b&<&c\\b&<&c+a\end{array}}$
Si $a>0$ ${\begin{array}{rcl}a\cdot b&<&c\\b&<&{\cfrac {c}{a}}\end{array}}$	Si $a>0$ ${\begin{array}{rcl}{\cfrac {b}{a}}&<&c\\b&<&c\cdot a\end{array}}$
Si $a<0$ ${\begin{array}{rcl}a\cdot b&<&c\\b&>&{\cfrac {c}{a}}\end{array}}$	Si $a<0$ ${\begin{array}{rcl}{\cfrac {b}{a}}&<&c\\b&>&c\cdot a\end{array}}$

Una inequació no és més que una relació entre dues expressions utilitzant les desigualtats que coneixem:

$<,>,\leqslant i\geqslant$

Treballem el requadre donat amb l'objectiu d'aïllar x, és a dir, deixar-la sola a un cantó de cada inequació.

Exemples

0) Si tenim una inequació sempre podem copiar-la al revés sense sense tocar res de dins de les expressions:

a)

$1\leqslant x$ $x\geqslant 1$

b)

$y\geqslant -2$ $-2\leqslant y$

c)

$a<b$ $b>a$

d)

$t>s$ $s<t$

1) Sempre podem passar les expressions que sumen globalment a l'altre cantó restant globalment, i igualment el que està restant canvia de cantó sumant:

a)

$3+x<4$ $\;\;\;\;\;\;x<-3+4$ $\;\;\;\;\;\;x<1.$

b)

$x+5<2$ $\;\;\;\;\;\;x<2-5$ $\;\;\;\;\;\;x<-3.$

c)

$-2+x<0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;x<+2+0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;x<2.$

d)

$x-4<-5$ $\;\;\;\;\;\;x<-5+4$ $\;\;\;\;\;\;x<-1.$

2) Atenció! si tenim una expressió multiplicant o dividint globalment, per moure-la hem de saber si és positiva, zero o negativa de segur ja que es produeixen canvis.

a) Si és positiva llavors el moviment es igual que a les equacions:

i) $2\cdot x<8$ $\;\;\;\;\;x<{\tfrac {8}{2}}$ $\;\;\;\;\;x<4$ ii) $x\cdot 3<-6$ $\;\;\;\;\;x<{\tfrac {-6}{3}}$ $\;\;\;\;\;x<-2$ iii) ${\tfrac {x}{3}}<5$ $x<5\cdot 3$ $x<15$ iv) ${\tfrac {x}{2}}<-2$ $x<-2\cdot 2$ $x<-4$

b) Si és zero, primerament si multiplica mai pot passar a dividir i en segon lloc si divideix llavors segur que hi ha un error.

Intercanvis permesos $<\;\;\;\leftrightarrow \;\;\;>$ $\geqslant \;\;\;\leftrightarrow \;\;\;\leqslant$ c) Si és negatiu llavors en moure l'expressió la desigualtat canvia de ordre, és important no tocar el signe menys ja que la acció no és sumar ni restar, sinó multiplicar o dividir i per tant no es pot canviar pel signe més: i) $-2\cdot x<8$ $\;\;\;\;\;\;\;x>{\tfrac {8}{-2}}$ $\;\;\;\;\;\;\;x<-4$ ii) $x\cdot -3>-6$ $\;\;\;\;\;\;\;x<{\tfrac {-6}{-3}}$ $\;\;\;\;\;\;\;x<+2$ iii) ${\tfrac {x}{-3}}\geqslant 5$ $\;\;x\leqslant 5\cdot (-3)$ $\;\;x\leqslant -15$ iv) ${\tfrac {x}{-2}}\leqslant -2$ $\;\;x\geqslant -2\cdot (-2)$ $\;\;x\geqslant +4$ Nota: si alguna expressió conté una incògnita com la x i està multiplicant o dividint llavors no es fa la llei 2, perquè suposa un desplegament de cassos ampli fent suposicions com si fos positiu llavors..., si fos zero llavors... i si fos negatiu llavors.... 3) per resoldre una inequació amb fraccions l'únic que cal fer és el mínim comú múltiple dels denominadors com a les equacions: a) ${\frac {x+1}{2}}\geqslant x-3/5$ mcm(2,5)=10 i $x\leqslant {\frac {11}{5}}$ b) ${\frac {x-5}{5}}-1\geqslant {\frac {x+6}{3}}-2$ mcm(3,5)=15 i $x\leqslant -15$ c) ${\frac {5-x}{2}}-{\frac {1}{3}}\leqslant {\frac {x+7}{3}}+{\frac {1}{4}}$ mcm(2,3,4)=12 i $x\geqslant -{\frac {1}{2}}$ d) ${\frac {x^{2}+1}{3}}-{\frac {x}{5}}<{\frac {x^{2}-2}{3}}-{\frac {x}{2}}$ mcm(3,5,2)=30 i $x<-{\frac {10}{3}}$ e) ${\frac {2x^{2}-4}{2}}-{\frac {x+8}{3}}>x^{2}+{\frac {x}{6}}$ mcm(2,3,6)=6 i $x<-{\frac {28}{3}}$ e) ${\frac {x^{2}+x-2}{3}}+{\frac {x+8+x^{2}}{3}}>{\frac {2x^{2}+2}{3}}+{\frac {x}{5}}$ mcm(3,5)=15 i $x>-{\frac {20}{7}}$ Exercicis 1) Determina els possibles valors de x. a) $-2+x+5<6$ b) $x+3+x-1<x+7$ c) $(-x+5)-2(x-1)<1-x$ d) $7-x<2$ e) $5<6-x+4$ f) $x+2<-1+2x-5$ g) $2x>8$ h) $3x-9\geqslant x-11$ i) $1\leqslant 5x+21$ 2) Determina els valors de x amb cura del canvi de desigualtats quan succeeixi. a) $-x>-3$ b) $8<-x$ c) $9\leqslant -3x$ d) $5x+10<-2x-4$ e) $2x+2-x+10+6x<10x-5-5x+1+x$ f) $-2x-x-5x-4x\leqslant 3+5-12+3-7$ 3) Exercicis per multiplicar tota una inequació per un valors: Productes amb mcm, divisions amb mcd ... $-{\tfrac {x}{2}}+{\tfrac {3}{4}}+x<-{\tfrac {1-x}{3}}$ $-6x+9+12x<-4+4x$ Es multiplica pel mínim comú múltiple dels denominadors 2, 4 i 3, que és 12: $-\color {red}12\color {black}\cdot {\frac {x}{2}}+\color {red}12\color {black}\cdot {\frac {3}{4}}+\color {red}12\color {black}\cdot x<-\color {red}12\color {black}\cdot {\frac {1-x}{3}}$ Es divideix pels denominadors: $-6\cdot x+3\cdot 3+12\cdot x<-4\cdot (1-x)$ S'efectuen els productes: $-6x+9+12x<-4+4x$ Finalment es pot resoldre: $-6x+12x-4x<-4-9$ $2x<-13$ $x<-{\tfrac {13}{2}}$ $-x-3-2x<-4x-(2-x)$ $x+3+2x>4x+(2-x)$ Quan es necessita simplificar signes o canviar-los, només es multiplica per -1 a banda i banda, canviant l'ordre de la desigualtat obligatòriament al mateix temps: $-\color {red}(-1)\color {black}x-\color {red}(-1)\color {black}3-\color {red}(-1)\color {black}2x\;\color {red}>\color {black}\;-\color {red}(-1)\color {black}4x-\color {red}(-1)\color {black}(2-x)$ el resultat és: $x+3+2x>4x+(2-x)$ Finalment es pot resoldre: $x+3+2x>4x+2-x$ $x+2x-4x+x>-3+2$ $0>-1$ x pot prendre qualsevol valor ja que zero sempre és més gran que menys 1. $-4(-2-8x)+8<-16x-8(x-1)$ $-(-2-8x)+2<-4x-2(x-1)$ Per reduir la mida dels coeficients casualment tots tenen un divisor comú i és el màxim comú divisor dels coeficients de cada terme; 4, 8 16 i 8 donant 4, no mireu dins de parèntesis que no es veuran afectats per la divisió. ${\frac {-4(-2-8x)}{\color {red}4\color {black}}}+{\frac {8}{\color {red}4\color {black}}}<{\frac {-16x}{\color {red}4\color {black}}}+{\frac {-8(x-1)}{\color {red}4\color {black}}}$ S'efectuen les divisions: $-(-2-8x)+2<-4x-2(x-1)$ Finalment es pot resoldre: $+2+8x+2<-4x-2x+2$ $8x+4x+2x<2-2-2$ $14x<-2$ $x<-{\frac {2}{14}}$ $x<-{\frac {1}{7}}$ a) ${\frac {x}{3}}\geqslant 2-{\frac {5}{3}}$ b) $-{\frac {x}{2}}+4<{\frac {x}{4}}$ c) $x+{\frac {2}{5}}\geqslant {\frac {x}{2}}$ d) $2x+{\frac {x}{2}}>{\frac {1}{3}}$ e) ${\frac {1}{6}}-{\frac {x}{2}}\leqslant {\frac {x}{3}}$ f) ${\frac {x+1}{10}}-{\frac {1-x}{5}}<{\frac {x-3}{2}}$ g) ${\frac {x-3}{12}}-{\frac {3}{4}}>{\frac {3-2x}{4}}$ h) ${\frac {3x-4}{7}}+{\frac {5-x}{14}}\leqslant 0$ 4) Diversitat de solucions per a una inequació: a) ${\frac {5x}{6}}-{\frac {7}{3}}>x+1-{\frac {x}{6}}$ b) ${\frac {5x}{6}}-{\frac {7}{3}}\leqslant x+1-{\frac {x}{6}}$ Sistemes d'inequacions no lineals En aquest cas és important la interpretació dels enunciats que es donen principalment ja que la resolució d'aquests casos es fa igual que les inequacions fraccionàries o improvisar sabent com és com es dibuixa segons les constants que porta la equació de 2n grau Efecte del canvi de valors $ax^{2}+bx+c$ d'una equació de 2n grau La principal és la a per a les inequacions de 2n grau, docs ens diu si la paràbola es còncava o convexa. Exemples Interpretacions: El producte de ..a.. i ..b.. és ..c.. La multiplicació de ..a.. i ..b.. dona ..c.. El producte de ..a.. per ..b.. és igual a ..c.. $a\cdot b=c$ 1) Interpreta i resol donant exactament les semirectes o intervals de les possibles solucions de les afirmacions verbals: a) El quadrat d'un valor menys cent és més gran que zero. Solució: Traducció $x^{2}-100>0$ càlcul de $x=\pm {\sqrt {100}}=\pm 10$ per tant la inequació a solucionar és $(x-10)(x+10)>0$ fent la taula de signes o mirant la seva representació surt que x està a les semirectes $(-\infty ,-10)\cup (10,\infty ).$ b) El quadrat d'un valor és més gran que set. Solució: Traducció $x^{2}>7$ es a dir $x^{2}-7>0$ igual que (a) $x=\pm {\sqrt {7}}$ per tant la inequació a solucionar és $(x-{\sqrt {7}})(x+{\sqrt {7}})>0$ fent la taula de signes o la seva representació surt que x està a les semirectes $(-\infty ,-{\sqrt {7}})\cup ({\sqrt {7}},\infty ).$ c) El doble de vuit menys el quadrat d'un valor desconegut és més gran o igual que zero. Solució: Traducció $16-x^{2}\geqslant 0$ per tant $x=\pm {\sqrt {16}}=4$ per tant amb taula de signes surt que x està a l'interval $[-4,4].$ d) El producte d'un valor i aquest valor més deu és major que zero. Solució: Traducció $x\cdot (x+10)>0$ per tant directament amb la taula i representació x està a les semirectes $(-\infty ,-10)\cup (0,\infty ).$ e) El producte de dels diners menys un euro i els mateixos diners menys quatre euros és més petit que zero. Solució: Traducció $(x-1)\cdot (x-4)<0$ que amb la taula i representació x està a les semirectes $(1,\;4).$ f) Un valor al quadrat més el doble d'aquest valor és més gran o igual que tres. Solució: Traducció $x^{2}\geqslant 3$ resolent surt que $x=\pm {\sqrt {3}}$ i amb la taula i representació de $(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})\geqslant 0$ i x està a les semirectes $(-\infty ,-{\sqrt {3}}]\cup [{\sqrt {3}},\infty ).$ g) El quíntuple d'un valor menys el quadrat d'aquest és menor que quatre. Solució: Traducció $5x-x^{2}<4$ ordenant $-x^{2}+5x-4<0$ resolent surt que $x_{1}=4$ i $x_{2}=1$ aplicant $ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ per tant la inequació és $-(x-4)(x-1)<0$ que amb la taula i representació x està a les semirectes $(-\infty ,1)\cup (4,\infty ).$ Sistemes d'inequacions lineals o afins d'una incògnita Un sistema d'inequacions és un conjunt d'inequacions on la x ha de complir totes les inequacions que hi ha a la vegada. Pista: Cada inequació exigeix un lloc per la x, només cal veure on estan d'acord totes les inequacions donades a la vegada. Exemples sistemes d'equacions 1) ${\begin{matrix}2x<x+2\\1-3x\leqslant 4\end{matrix}}{\bigg \}}$ Simplificació: ${\begin{matrix}2x-x<2\\-3x\leqslant 4-1\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}x<2\\-3x\leqslant 3\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}x<2\\x\leqslant {\frac {3}{-3}}\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}x<2\\x\geqslant -1\end{matrix}}{\bigg \}}$ -1 2 $-\infty$ $+\infty$ Notació: la x està dins de l'interval [ -1, 2 ) 2) ${\begin{matrix}{\frac {x}{3}}<x-3\\1-{\frac {x}{4}}\leqslant 2\end{matrix}}{\bigg \}}$ Simplificació: ${\begin{matrix}x<3(x-3)\\4-x\leqslant 8\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}x<3x-9\\4-8\leqslant +x\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}+9<3x-x\\-4\leqslant x\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}9<2x\\-4\leqslant x\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}{\frac {9}{2}}<x\\-4\leqslant x\end{matrix}}{\bigg \}}$ -4 ${\tfrac {9}{2}}$ $-\infty$ $+\infty$ Notació: la x està dins la semirecta oberta ( ⁹⁄₂, +∞ ) 3) ${\begin{matrix}{\frac {1}{5}}-x<0\\1>{\frac {5x+1}{2}}\end{matrix}}{\bigg \}}$ Simplificació: ${\begin{matrix}{\frac {1}{5}}<x\\2>5x+1\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}{\frac {1}{5}}<x\\2-1>5x\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}{\frac {1}{5}}<x\\1>5x\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}{\frac {1}{5}}<x\\{\frac {1}{5}}>x\end{matrix}}{\bigg \}}$ ${\tfrac {1}{5}}$ $-\infty$ $+\infty$ Notació: la x no està a cap interval o no té solució a ℝ, és a dir, la x està al conjunt sense elements {⌀}. 4) ${\begin{matrix}2+3x\leqslant 3\\3(1+x)\geqslant 4\end{matrix}}{\bigg \}}$ Simplificació: ${\begin{matrix}3x\leqslant 3-2\\1+x\geqslant {\frac {4}{3}}\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}3x\leqslant 1\\x\geqslant {\frac {4}{3}}-1\end{matrix}}{\bigg \}}$ ∼ ${\begin{matrix}x\leqslant {\frac {1}{3}}\\x\geqslant {\frac {1}{3}}\end{matrix}}{\bigg \}}$ ${\tfrac {1}{3}}$ $-\infty$ $+\infty$ Notació: la solució és x = ⅓. Exercicis 1) Resol cada sistema donat a) ${\begin{matrix}-1+5x\leqslant 2\\1-{\frac {x}{3}}\geqslant 4\end{matrix}}{\bigg \}}$ b) ${\begin{matrix}x\geqslant 4-x\\{\frac {x+1}{3}}<4\end{matrix}}{\bigg \}}$ c) ${\begin{matrix}{\frac {x-1}{2}}<x\\x-{\frac {1}{5}}\leqslant 2x\end{matrix}}{\Bigg \}}$ d) ${\begin{matrix}{\frac {x+3}{3}}<0\\-2x<{\frac {-4}{5}}\end{matrix}}{\Bigg \}}$ e) ${\begin{matrix}-1<-{\frac {x-1}{2}}-2\\{\frac {15x}{7}}>-4+{\frac {x}{7}}\end{matrix}}{\Bigg \}}$ f) ${\begin{matrix}{\frac {1-3x}{3}}<{\frac {1}{3}}-\pi \\{\frac {x}{2}}-(x-4)>{\frac {2+x}{2}}\end{matrix}}{\Bigg \}}$ g) ${\begin{matrix}{\frac {13}{8}}<{\frac {x+3}{2}}\\{\frac {x+1}{2}}+{\frac {x}{2}}<{\frac {6}{10}}+{\frac {x}{2}}\end{matrix}}{\Bigg \}}$ h) ${\begin{matrix}{\frac {7}{4}}<{\frac {x+3}{4}}+1\\{\frac {x-2}{-2}}+1>{\frac {3}{2}}\end{matrix}}{\Bigg \}}$