Percentatges II

Aquesta secció està destinada a fer percentatges a 1r ESO, però pot servir per repassar-les o fer-les per primer cop a 2n ESO. Això ajuda a atendre cert tipus de diversitat a 2n ESO.

Els percentatges és una forma simplificada de tractar amb fraccions de forma aproximada, llavors aquestes fraccions són sempre de centena.

Introducció

Els percentatges milloren la comunicació i comparació de dades sense utilitzar valors amb moltes xifres, exemple sobre una població concreta:

14 021 habitants tenen l'edat entre 0 i 14 anys 31 525 habitants tenen l'edat entre 15 i 65 anys 3 262 habitants tenen l'edat major a 65 anys 441 habitants no se sap.

El 28% dels habitants tenen l'edat entre 0 i 14 anys El 64% dels habitants tenen l'edat entre 15 i 65 anys El 7% dels habitants tenen l'edat major a 65 anys l'1% dels habitants no se sap.

Quines millores aporta?

• El primer requadre són valors amb moltes xifres que dificulten la comparació entre elles i no deixen veure gens la proporció entre elles.

• El segon requadre són tants per cent que són valors de dues xifres enteres que permet comparar i imaginar la proporció entre elles fàcilment.

• El tercer requadre és un dels objectius que permet visualitzar els tants per cent, això facilita la lectura immediata dels percentatges. Hi ha més tipus de representacions.

• Per últim, els tants per cent també permeten comparar aquesta població amb altres poblacions molt ràpida i fàcilment.

Els percentatges amaguen una fracció, per referir-se a 25 persones de cada 100 són primes, s'escriu 25% de les persones són primes, és a dir que podem identificar una expressió amb l'altre:

${\frac {25}{100}}\thicksim 25\%$

Al tema de les fraccions ja vam veure les quatre interpretacions possibles d'una fracció, ara només es tracta de posar-ho en pràctica.

Percentatges sobre una unitat

Exemples:

1)	Suposem que mig got està ple. Quin tant per cent està buit i quin està ple?
Plantejament La part buida és ${\frac {1}{2}}\to$ ?% La part plena és ${\frac {1}{2}}\to$ ?% Mecànicament La part buida és ${\frac {1}{2}}\cdot 100={\frac {1\cdot 100}{2}}={\frac {100}{2}}=50\%$ La part plena és ${\frac {1}{2}}\cdot 100={\frac {1\cdot 100}{2}}={\frac {100}{2}}=50\%$

2)	Un edifici de quatre plantes, han pintant les tres primeres plantes de blanc. Quin tant per cent correspon a la part pintada i la no pintada?
Esquema Dibuixeu l'edifici de 4 plantes i pinteu la part pintada, assenyaleu la fracció que representen, és a dir ${\frac {1}{4}}$ per la part no pintada i ${\frac {3}{4}}$ per la part pintada. Mecànicament Part no pintada ${\frac {1}{4}}\cdot 100={\frac {1\cdot 100}{4}}={\frac {100}{4}}=25\%$ Part pintada ${\frac {3}{4}}\cdot 100={\frac {3\cdot 100}{4}}={\frac {300}{4}}=75\%$

3)

Tenim un fil de 110 metres on el 50% és de Joan, 30% és de Isaac i 20% és de la Fàtima. Quines fraccions i quantitats de fil correspon a cadascú?

Esquema i resolució Joan: 50% en fracció ${\frac {5{\cancel {0}}}{10{\cancel {0}}}}={\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}$ aplicat al fil $110\cdot {\frac {1}{2}}=55m.$ Isaac: 30% en fracció ${\frac {3{\cancel {0}}}{10{\cancel {0}}}}={\frac {3}{10}}$ aplicat al fil $110\cdot {\frac {3}{10}}=33m.$ Fàtima: 20% en fracció ${\frac {2{\cancel {0}}}{10{\cancel {0}}}}={\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}$ aplicat al fil $110\cdot {\frac {1}{5}}=22m.$

4)

Identifica la quantitat associada als tants per cent indicats: a) El 30 % de 60 €. b) El 10 % de 50 litres. c) El 50 % del 20 % de 60 km. d) El 1 % de 1 kg en grams. e) El 75 % de 3 dotzenes d'ous, el resultat en dotzenes. f) El 35 % de 10 paquets de 12 cromos cadascun, el resultat en paquets.

Resolució a) $60\cdot {\frac {30}{100}}=18$ dona 18 €. b) $50\cdot {\frac {10}{100}}=5$ dona 5 litres. c) $60\cdot {\frac {20}{100}}=12$ i ara $12\cdot {\frac {50}{100}}=6$ per tant dona tot plegat 6 km d) Com 1 kg = 1000 g, per tant $1000\cdot {\frac {1}{100}}=10$ dona 10 grams. e) Com 3 dotzenes = 36 ous, per tant $36\cdot {\frac {75}{100}}=27$ dona 2 dotzenes(24 unitats) i 3 ous. f) Com 10 paquets = 120 cromos, per tant $120\cdot {\frac {35}{100}}=42$ dona 3 paquets(30 unitats) i 5 cromos.

7)	Tenim un litre de llet amb un 25% d'aigua i ${\tfrac {1}{5}}$ de greixos. Quin és el tant per cent que queda sense especificar?
Resolució 1r) Convertim tot a les mateixes unitats, per exemple tot a tants per cent 25 % és aigua. ${\frac {1}{5}}\cdot 100={\frac {1\cdot 100}{5}}=20,$ per tant el 20 % són greixos. 2n) Tots els tants per cent d'una unitat sumen 100%, per tant només cal fer la resta $100-25-20=55,$ per tant queda un 55 % sense especificar.

8)

Determina els tants per cent de la composició d'un producte de pintura en pols que té: 30 g de groc, 20 g de vermell, 70 g de blau.

Resolució 1r) Convertim tot a les mateixes unitats, per exemple tot a fraccions sabent que els grams totals són 30 + 20 + 70 = 120 g ${\frac {30}{120}}={\frac {3}{12}}={\frac {1}{4}}$ de groc ${\frac {20}{120}}={\frac {2}{12}}={\frac {1}{6}}$ de vermell ${\frac {70}{120}}={\frac {7}{12}}$ de blau 2n) Convertim en tants per cent només multiplicant les fraccions per 100 ${\frac {1}{4}}\cdot 100=25,$ té un 25 % de groc ${\frac {1}{6}}\cdot 100=16,{\bar {6}},$ té un $16,{\bar {6}}\%$ de vermell ${\frac {7}{12}}\cdot 100=58,{\bar {3}},$ té un $58,{\bar {3}}\%$ de blau

9)	Un cinquè d'un producte és greix i dos terços són proteïnes. Quin és el tant per cent que representen?
Resolució ${\frac {1}{5}}\cdot 100=20,$ el greix representa un 20 %, ${\frac {2}{3}}\cdot 100=66'{\bar {6}},$ les proteïnes són un $66,{\bar {6}}\;\%.$

Rebaixes i augments.

10)

Quin és el preu d'un producte de 6 € després d'una rebaixa del 20 % i tot seguit un augment del 20 %? Quin és el preu si es fa primer l'augment i després la rebaixa?

Resolució de la 1a pregunta Una rebaixa del 20 % és el mateix que fer la resta següent: $6-{\frac {20}{100}}\cdot 6=6-1'2=4'8,$ per tant ara el producte és de 4'8 € Ara un augment del 20 % és el mateix que fer la suma següent: $4'8+{\frac {20}{100}}\cdot 4'8=4'8+0'96=5'76,$ per tant el preu és 5'76 €. Resolució de la 2a pregunta Un augment del 20 % és el mateix que fer la suma següent: $6+{\frac {20}{100}}\cdot 6=6+1'2=7'2,$ per tant ara el producte és de 7'2 € Ara una rebaixa del 20 % és el mateix que fer la resta següent: $7'2-{\frac {20}{100}}\cdot 7'2=7'2-1'44=5'76,$ per tant el preu també és 5'76 €.

11)	Tenim un producte de 120 € i li fem una rebaixa del 30 %, tot seguit s'ha canviat d'opinió i se li fa seguidament un augment del 60 % i finalment ha acabat seguida d'una rebaixa del 30 %. Quin preu ha quedat?
Resolució ordenada $120-{\frac {30}{100}}\cdot 120=120-36=84$ $84+{\frac {60}{100}}\cdot 84=84+50'4=134'4$ $134'4-{\frac {30}{100}}\cdot 134'4=134'4-40'32=94'08$ així el preu que ha quedat és 94'08 €.

12)	Tenim un producte de 60€ i: 1r) Es fa una rebaixa del 50%, 2n) Es decideix fer un augment del 20%, 3r) Finalment l'encarim un 30%. Quin preu té finalment el producte?
Resolució ordenada $60-{\frac {50}{100}}\cdot 60=60-30=30$ $30+{\frac {20}{100}}\cdot 30=30+6=36$ $36+{\frac {30}{100}}\cdot 36=36+10'8=46'8$ Per tant el preu final és 46'8€

13)	Hem ficat 2000€ a un interès del 5% anual(és a dir augments successius del 5% cada any). Si el deixem 3 anys, quants diners tindré?
Resolució ordenada 1r any: $2\,000+{\frac {5}{100}}2\,000=2\,000+100=2\,100$ 2n any: $2\,100+{\frac {5}{100}}2\,100=2\,100+105=2\,205$ 3r any: $2\,205+{\frac {5}{100}}2\,205=2\,205+110,25=2\,315,25$ per tant al cap de 3 anys tinc 2 315'25 €. Nota: al cap de 10 anys és 3 257'79€ arrodonint.

Deures

1) Tenim un preu de 100€ i fem una rebaixa del 10% i un augment del 10%. Quant ha variat els 100€?

2) Tenim novament un preu de 100€ fem un augment del 50% tot seguit fem una reducció del 40%. Quant ha quedat?

5) Tinc 1550€ i es redueix fina a 1000€ quin és el % perdut? i quina fracció representa.

Representació

Les principals representacions són el de formatges o mig formatge i el de barres o barres unitàries.

Formatge

Es tracta de dividir un cercle radialment, és a dir en sectors circulars, per tant només cal determinar l'angle per poder-lo dibuixar.

Una variant el fer el mateix però amb un forat al centre

Exemples

1)	Dona l'angle per representar els percentatges següents com a formatges: 70%, 20% i 10%.
Resolució Només cal disposar-los com si fos proporcionalitat directa i tenint molt clar que 100% són 360º. 70% $x_{1}={\frac {70\cdot 360}{100}}=252^{o}$ 20% $x_{2}={\frac {20\cdot 360}{100}}=72^{o}$ 10% $x_{3}={\frac {10\cdot 360}{100}}=36^{o}$ 100% $360^{o}$