זוגות סדורים

שעור שמיני - זוגות סדורים

כשהגדרנו את השוויון בין קבוצות, הדגשנו שבתוך הקבוצה אין חשיבות לסדר בין האיברים: $\ \{7,2\}=\{2,7\}$. עובדה זו באה לידי ביטוי בטענה הבאה, שאותה נוכיח בזהירות, כהכנה לשלבים הבאים בשעור זה.

טענה. $\ \{a,b\}=\{c,d\}$ אם ורק אם ($\ a=c$ ו- $\ b=d$), או ($\ a=d$ ו- $\ b=c$).

הוכחה. a הוא איבר בקבוצה שבאגף שמאל, ומכיוון שהקבוצות שוות, הוא איבר גם בזו שבאגף ימין, שיש לה (לכל היותר) שני אברים - c ו-d. ("לכל היותר", משום ש-c ו-d עשויים להיות שווים). אותה טענה נכונה גם לגבי b. אם a ו-b שווים לאותו איבר, אז הם שווים גם זה לזה, ולכן בקבוצה שבאגף שמאל יש רק איבר אחד; לכן גם בזו שבאגף ימין צריך להיות רק איבר אחד, ומכאן ש-c=d; במקרה כזה מתקיימים שני התנאים שהבטחנו. אחרת, a ו-b אינם שווים לאותו איבר, ואז אחד מהם שווה ל-c והשני שווה ל-d.

מאידך, במקרים רבים הסדר חשוב מאד (לדוגמא, לא היינו רוצים שדיירי דירה 2 ברח' הסנדלר 7 יקבלו מחצית מהמכתבים של דיירי דירה 7 בבית מספר 2 באותו רחוב). יכולנו להמציא סוג חדש של מבנים, שבהם תהיה חשיבות לסדר, אבל למרבה המזל תורת הקבוצות גמישה מספיק כדי שנוכל לבנות את הסוג החדש הזה במסגרתה: אין להרבות בישויות יותר מכפי הצורך.

הגדרה. הזוג הסדור $\,(a,b)$ מוגדר כקבוצה $\ \{\{a\},\{a,b\}\}$.

כדי שיהיה מוצדק לקרוא לקבוצה $\ \{\{a\},\{a,b\}\}$ "זוג סדור", עלינו לוודא שאפשר לקרוא ממנה את הרכיב הראשון והרכיב השני, באופן חד-משמעי.

משפט. $\ (a,b)=(c,d)$ אם ורק אם $\ a=c$ ו- $\ b=d$.

הוכחה. אם $\ a=c$ ו- $\ b=d$ אז $\ \{a\}=\{c\}$ ו- $\ \{a,b\}=\{c,d\}$, ולכן $\ \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$. נראה שגם הכיוון ההפוך נכון. נתון ש- $\ \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$. לפי הטענה מתחילת השעור, יש שתי אפשרויות: ($\ \{a\}=\{c\}$ ו- $\ \{a,b\}=\{c,d\}$), או ($\ \{a\}=\{c,d\}$ ו- $\ \{a,b\}=\{c\}$). במקרה הראשון $\ a=c$ משום שכל אחד מהם הוא האיבר היחיד בקבוצה $\ \{a\}=\{c\}$; השוויון $\ \{a,b\}=\{c,d\}$ מראה (לפי אותה טענה) ש-($\ a=c$ ו- $\ b=d$), או ($\ a=d$ ו- $\ b=c$); אם האפשרות הראשונה נכונה - קיבלנו מה שרצינו לקבל, ואם השניה נכונה אז $\ d=a=c=b$, ושוב קיבלנו מה שרצינו. במקרה השני, (שבו, כזכור, $\ \{a\}=\{c,d\}$ ו- $\ \{a,b\}=\{c\}$), מתברר ש-$\ c,d\in \{a\}$ ולכן $\ a=c=d$, וכך גם $\ a=b=c$; לכן $\ a=c$ ו- $\ b=d$.

תרגיל. בדוק שאם $\ a\neq b$ אז הזוגות הסדורים $\ (a,b),(b,a)$ שונים זה מזה.

תרגיל. אשר ש- $\ (1,3)\cap (3,1)=\{\{1,3\}\}$.

תרגיל. חשב את (הקבוצה שהיא) הזוג הסדור $\ (a,a)$. כמה איברים יש לו?

לאור ההצלחה המסחררת של ההגדרה הזו, טבעי לנסות ולבדוק כמה אפשרויות אחרות. כדי שלא לבלבל, נסמן את הזוגות שיופיעו בהגדרות המתחרות בסימון $\ [a,b]$.

תרגיל. נגדיר $\ [a,b]=\{a,b\}$. מצא זוג $\ [a,b]=[c,d]$ שבו $\ a\neq c$ או $\ b\neq d$. לכן זו הגדרה גרועה לזוג סדור (ואיננו משתמשים בה).

תרגיל. נגדיר $\ [a,b]=\{a,\{b\}\}$. מצא זוג $\ [a,b]=[c,d]$ שבו $\ a\neq c$ או $\ b\neq d$.

תרגיל. הנח שלא יתכן שקבוצות x,y תקיימנה $\ x\in x$ או $\ x\in y\in x$, והוכח את המשפט ($\ [a,b]=[c,d]$ אם ורק אם הרכיבים שווים בהתאמה) עבור ההגדרה $\ [a,b]=\{a,\{a,b\}\}$ (ההנחה בתרגיל זה נראית אולי מוזרה במסגרת שבה אנו עובדים, אבל בתורת הקבוצות האקסיומטית היא מופיעה באופו טבעי ומתבקש).

תרגיל. נגדיר $\ [a,b]=\{a,b,\{b\}\}$. האם בהגדרה זו אפשר לקרוא באופן חד-משמעי את הרכיב הראשון והרכיב השני?

תרגיל. נגדיר $\ [a,b]=\{a,\{b,\{b\}\}\}$. האם בהגדרה זו אפשר לקרוא באופן חד-משמעי את הרכיב הראשון והרכיב השני?

נחזור להגדרה הראשונה, שעבורה הוכחנו את המשפט. כפי שבנינו זוגות סדורים, היינו רוצים להגדיר גם שלשות סדורות (כלומר, מבנים שמהם אפשר לקרוא באופן חד-משמעי את הרכיב הראשון, הרכיב השני והרכיב השלישי), רביעיות סדורות, וכן הלאה. במקום להמציא פתרון נפרד לכל בעיה כזו, אנחנו פותרים את כולן באינדוקציה:

הגדרה. ה-n-יה הסדורה $\ (a_{1},\dots ,a_{n})$ מוגדרת כזוג סדור, שרכיבו הראשון $\ a_{1}$, ורכיבו השני $\ (a_{2},\dots ,a_{n})$.

תרגיל. הוכח ש- $\ (a_{1},\dots ,a_{n})=(b_{1},\dots ,b_{n})$ אם ורק אם $\ a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},\dots ,a_{n}=b_{n}$.

תרגיל. כתוב במפורש (כקבוצה) את השלשה הסדורה $\ (a,b,c)$. כתוב במפורש את השלשות $\ (a,a,a)$, $\ (a,b,b)$, $\ (a,a,b)$.

<< השיעור הקודם - קבוצת החזקה

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - מכפלה קרטזית >>