מבוא לתורת הקבוצות
שיעור ראשון - מבוא
[edit]
תורת הקבוצות פותחה על ידי המתמטיקאי גאורג קנטור, בשני מאמרים שפרסם (בגרמנית) בשנים 1895 ו-1897, תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים", בכתב-העת Mathematische Annalen. (הערה: הקורס הזה יכסה בערך את ארבעת העמודים הראשונים במאמר הראשון; יש לציין שקנטור הסתפק במובן האינטואיטיבי של "התאמה", ולא טרח לפתח במסודר את המושג "פונקציה חד-חד-ערכית ועל", שתפסה בהמשך מקום מרכזי).
הקורס יעסוק בתורת הקבוצות הנאיבית, שהמאפיין הבולט שלה הוא שימוש אינטואיטיבי במושג היסודי, קבוצה. בשיטה זו, למרבה האכזבה, מופיעות סתירות לוגיות בלתי נמנעות. תורת הקבוצות ה"נכונה" היא תורת הקבוצות האקסיומטית, שבה הנושא מטופל באופן זהיר ביותר, המאיין את כל הפרדוקסים הידועים של תורת הקבוצות הנאיבית. מאידך, הפיתוח האקסיומטי מסובך למדי, ודי בתורה הנאיבית כדי לסקור חלק משמעותי מרוח הדברים.
מיעדי הקורס: ללמוד כיצד לנסח ולהוכיח כמה מהתוצאות הבסיסיות על השוואת גודלן של קבוצות אינסופיות. לאחר שנציג את מושג הקבוצה ואת הפעולות הבסיסיות והבניות המתמטיות הקשורות להן, נגדיר באופן מסודר מהי פונקציה; פונקציות הפיכות הן המאפשרות להשוות בין קבוצות אינסופיות, דרך מושג ה"עוצמה" של קבוצה, המכליל את מספר האברים של קבוצה סופית. גם את המספרים הטבעיים עצמם (וגם את מערכות המספרים המורכבות יותר, כמו המספרים השלמים, הרציונליים או הממשיים) אפשר לפתח מתוך ההגדרות הראשוניות, אלא שנושא זה (ואחרים) ישאר מחוץ לקורס שלנו.
| דף הקורס - תורת הקבוצות | השיעור הבא - מושג הקבוצה >> |