סיכום וכיווני המשך

שעור שמונה-עשר: סיכום וכיווני המשך

בקורס הקצר שלנו פגשנו שניים מהמושגים הבסיסיים ביותר במתמטיקה - קבוצה ופונקציה - וראינו איך פונקציות מאפשרות להגדיר ולטפל ברעיון הגודל של קבוצה, הנקרא "עוצמה". מעבר לעוצמות הסופיות, העוצמה הקטנה ביותר היא האורך של סדרה אינסופית ("אלף אפס"); אבל אין עוצמה גדולה ביותר: לכל עוצמה, יש עוצמה גדולה ממנה.

יש כמה נושאים שבפיתוח מעט יותר איטי, היה מקום לדון בהם לפני או במהלך קורס מבוא לתורת הקבוצות. נושא אחד שבוודאי הורגש בחסרונו הוא יסודות הלוגיקה המתמטית, העוסקת בערכי אמת של פסוקים, בקשרים לוגיים, ונותנת מסגרת פורמלית לנוסחאות המערבות את הכמתים "לכל" ו"קיים". נושא שני שנעדר מן הקורס הוא הפיתוח המסודר של מערכת המספרים הטבעיים, באמצעות מערכת פאנו; לו היינו עושים זאת כראוי, היינו מבהירים מהן הוכחה באינדוקציה והגדרה באינדוקציה, מגדירים את הפעולות האריתמטיות בין מספרים (שאין צורך לקבלן כמובן מאליו), ומשפרים את הטיפול שהענקנו לקבוצות הסופיות. נושא שלישי שהשמטנו הוא יחסים בינאריים ובפרט יחסי שקילות ויחסי סדר, שאם היו מוצגים במפורש היו מסבירים מדוע בחרנו להוכיח דווקא תכונות אלה ולא אחרות של שוויון עוצמות וכדומה.

כהמשך לקורס שלנו, אפשר היה להציג את תורת הקבוצות האקסיומטיות, שכפי שציינו כמה פעמים, היא המסגרת הנאותה לפיתוח הרעיונות של תורת הקבוצות הנאיבית, ולראות איך יציקת היסודות משפיעה על שאר המבנה. נושא אחר הוא המספרים הסודרים, שדרך אקסיומת הסדר הטוב מאפשרים לבחור נציג חד-משמעי במחלקת כל הקבוצות שיש להן עוצמה נתונה, ויש להם אריתמטיקה מעניינת משלהם. תורת הקבוצות המודרנית עוסקת, למעשה, בתכונות של מספרים סודרים ובאופן שבו הן תלויות במערכת האקסיומות. אפשרות מתבקשת אחרונה היא לפתח באופן שלם את מערכות המספרים הסטנדרטיות (המספרים השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים); פיתוח זה הוא קומת הקרקע בבנין של האנליזה המתמטית.

לבסוף ראוי לציין שהמבוא לתורת הקבוצות נלמד באוניברסיטאות בדרך כלל במסגרת רחבה יותר של "מתמטיקה בדידה", שבה מקובל לכלול גם מבוא ללוגיקה מתמטית ופרקים ראשונים בקומבינטוריקה.

<< השיעור הקודם - משפט קנטור

דף הקורס - תורת הקבוצות