קבוצת החזקה

שעור שביעי - קבוצת החזקה

הגדרה. תהי $\ A$ קבוצה. קבוצת החזקה של $\ A$ היא הקבוצה שאבריה הם תת-הקבוצות של $\ A$. את קבוצת החזקה של $\ A$ מסמנים ב-$\ P(A)$.

כלומר, קבוצה $\ x$ שייכת ל-$\ P(A)$, אם ורק אם $\ x\subseteq A$. מכיוון שהקבוצה $\ A$ תמיד מוכלת בעצמה, $\ A\in P(A)$. גם הקבוצה הריקה מוכלת ב-$\ A$, ולכן $\ \emptyset \in P(A)$.

דוגמא. האברים בקבוצת החזקה של $\ \{1,2\}$ הם הקבוצות $\ \emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}$.

תרגיל. קבוצת החזקה של כל קבוצה $\ A$ מכילה את $\ A$ ואת הקבוצה הריקה. מצא דוגמה נגדית לטענה (השגויה) "בכל קבוצת חזקה יש לפחות שני אברים".

תרגיל. כתוב את כל האברים של $\ P(\{1,2,3\})$.

תרגיל. קבע האם $\ \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$ הוא איבר בקבוצת החזקה $\ P(\{\emptyset ,\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\})$.

תרגיל. הוכח (באינדוקציה) שאם בקבוצה $\ A$ יש בדיוק $\ n$ אברים שונים, אז בקבוצה $\ P(A)$ יש $\ 2^{n}$ אברים שונים.

תרגיל. אם $\ A\subseteq B$ אז $\ P(A)\subseteq P(B)$.

תרגיל. א. הוכח או הפרך: $\ P(A\cup B)=P(A)\cup P(B)$. ב. הוכח או הפרך: $\ P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)$.

<< השיעור הקודם - משלים וחוקי דה-מורגן

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - זוגות סדורים >>