ਓਪਰੇਟਰ (ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ)

ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਇੱਕ ਮਸ਼ੀਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਇਨਪੁੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ| ਇੱਕ ਕੁੱਝ ਵੱਖਰੀ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਲਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਇਨਪੁਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਅੰਦਾਜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦਾ ਹੋਵੇ| ਗਣਿਤਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਜਿਹੀ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ| ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਉਹਨਾਂ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਾਂਗੇ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਰੇਖਿਕ ਨਿਰਭਰਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਤੇ ਉਹ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ| ਅਜਿਹੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਇੱਕ X ਨਾਮ ਦੇ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਲਓ| ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇਹ ਓਪਰੇਟਰ ਇੱਕ ਆਮ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ |A‎〉ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ X|A‎〉ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਦਿੰਦਾ ਹੈ| ਓਪਰੇਟਰ X ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ; X (|A‎〉‎+|B‎〉‎)= X|A‎〉‎ + X|B‎〉‎

ਸਾਰੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ |A‎〉‎ ਅਤੇ|B‎〉‎ ਲਈ, ਅਤੇ X (c|A‎〉‎) = c X|A‎〉‎

ਸਾਰੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ c ਲਈ ਹੋਵੇ| ਓਪਰੇਟਰ X ਅਤੇ Y ਬਰਾਬਰ ਕਹੇ ਜਾਣਗੇ ਜੇਕਰ X|A‎〉‎= Y|A‎〉‎

ਸਵਾਲ ਵਿੱਚ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਕੈੱਟਾਂ ਲਈ ਹੋਵੇ| ਓਪਰੇਟਰ X ਨੂੰ ਨੱਲ ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਹਾਸ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ X|A‎〉‎=|0‎〉‎ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਹੋਵੇ| ਓਪਰੇਟਰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਜੋੜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ| ਅਜਿਹਾ ਜੋੜ ਕਮੀਉਟੇਟਿਵ ਅਤੇ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ| X + Y = Y + X X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਵੀ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ| ਗੁਣਨਫਲ ਐਸੋਸੀਏਈਟਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

X(Y|A‎〉‎)= (X Y) |A‎〉‎ = X Y |A‎〉‎ X(Y Z) = (X Y)Z = X Y Z

ਫੇਰ ਵੀ, ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਗੁਣਨਫਲ ਕਮੀਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ: X Y ≠Y X ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਬਾਰੇ ਹੀ ਗੱਲ ਕੀਤੀ ਹੈ| ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਓਪਰੇਟਿੰਗ ਨੂੰ ਵੀ ਨਾਮ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ| ਇੱਕ ਆਮ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ‎〈‎‎B| ਅਤੇ ਕੈੱਟ X|A‎〉‎ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਲਓ| ਇਹ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ |A‎〉‎ ਤੇ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ| ਇਸਲਈ, ਇਸਨੂੰ |A‎〉‎ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ| ਇਹ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ‎〈‎‎B| ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸ ਨੂੰ ‎〈‎‎B| ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ| ਇਹ ਓਪਰੇਟਰ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਮੂਲ ਓਪਰੇਟਰ X ਰਾਹੀਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ‎〈‎‎B| ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਿਹਾ ਓਪਰੇਟਰ ਵੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ| ਜਦੋਂ X ਓਪਰੇਟਰ ‎〈‎‎B| ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਬਣਨ਼ ਵਾਲੇ ਬਰਾ ਲਈ ਢੁਕਵੀਂ ਧਾਰਨਾ ‎〈‎‎B|X ਹੋਵੇਗੀ| ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸਤਰਾਂ ਬਣੇਗੀ;

(‎〈‎‎B|X)|A‎〉‎ = ‎〈‎‎B|(X|A‎〉‎)

ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ |A‎〉‎ ਅਤੇ ‎〈‎‎B| ਲਈ ਹੈ| ਤਿੰਨਾਂ ‎〈‎‎B|, X ਅਤੇ |A‎〉‎ ਦੇ ਇਸ ਤੀਹਰੇ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਬਗੈਰ ਕਿਸੇ ਫਰਕ ਪਾਏ ‎〈‎‎B|X|A‎〉‎ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਓਪਰੇਟਰ ਅੱਧ ਵਿਚਕਾਰ, ਅਤੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ| ਹੁਣ X|A‎〉‎ ਦੇ ਦੂਹਰੇ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਲਓ| ਇਹ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ |A‎〉‎ ਤੇ ਉਲਟ-ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਜਰੂਰ ਹੀ ‎〈‎‎A| ਤੇ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ| ਇਸਲਈ, ਇਸਨੂੰ ‎〈‎‎A| ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ| ਇਸ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ Xਦਾ ਅਡਜੋਆਇਂਟ (adjoint) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ X† ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਇਸਲਈ, X|A‎〉‎□(↔┴dc )‎〈‎‎A|X†

ਇਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ‎〈‎‎B| X†|A‎〉‎ = ‎〈‎‎A|X |B‎〉‎*

ਅਤੇ (X Y) †= Y† X†

ਇਹ ਵੀ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਅਡਜੋਆਇਂਟ ਦਾ ਅਡਜੋਆਇਂਟ ਮੂਲ ਓਪਰੇਟਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ| ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ξ ਦੀ ਖਾਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਅਪਣਾ ਹੀ ਅਡਜੋਆਇਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਯਾਨਿ ਕਿ

ξ= ξ†