Exercicis d'arrels IV

Pàgina acumulativa d'exercicis d'arrels per a 4t ESO. Sempre reduïu les fraccions quan es pugui.

Exercicis[edit]

Recull d'exercicis per treballar a classe i a casa.

La notació[edit]

${\sqrt[{n}]{a}}^{\,m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$ si $a>0.$

Fórmules
${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$
${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Recordatori[edit]

Si no hi ha índex, vol dir que és dos: ${\sqrt {342874}}={\sqrt[{2}]{342874}}$

Si l'índex i la potència són iguals i $a>0$ llavors ratllem per anul·lar tots dos: ${\sqrt[{n}]{a}}^{\,n}={\sqrt[{n}]{a^{\,n\,}}}={\sqrt[{\cancel {n}}]{a^{\cancel {n}}}}=a$

Per extreure valors d'una arrel:

Descompondre el nombre que hi ha dintre en factors primers.

Agrupar potències de mateixa base independentment de l'índex.

Al numerador mirem d'extreure valors múltiples d'aquest índex, el mètode més ràpid és:

{\frac {m}{n}}=q+{\frac {r}{n}}

ve de la divisió entera

{\begin{array}{rc}m&{\begin{array}{|c}n\\\hline \end{array}}\\r&q\\\end{array}}

{\sqrt[{n}]{3^{m}}}=3^{q}{\sqrt[{n}]{3^{r}}}

Al denominador es pot aplicar el mateix mètode ràpid anterior una mica modificat:

{\frac {m}{n}}=q+{\frac {r}{n}}

ve de la divisió entera

{\begin{array}{rc}m&{\begin{array}{|c}n\\\hline \end{array}}\\r&q\\\end{array}}

{\frac {1}{\sqrt[{n}]{3^{m}}}}={\frac {\sqrt[{n}]{3^{n-r}}}{3^{q+1}}}

Exemple de feina que es vol evitar

{\sqrt[{3}]{\frac {5^{17}}{2^{20}}}}=

{\sqrt[{3}]{\frac {5^{15}\cdot 5^{2}\cdot 2^{1}}{2^{20}\cdot 2^{1}}}}

En aquest exemple s'ha tret $5^{2}$ de $5^{17}$ i s'ha afegit un dos, però un pel numerador i un altre pel denominador. Repartim l'arrel gran a arrels petites:

{\sqrt[{3}]{\frac {5^{15}\cdot 5^{2}\cdot 2^{1}}{2^{21}}}}=

{\frac {{\sqrt[{3}]{5^{15}}}\cdot {\sqrt[{3}]{5^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{1}}}}{\sqrt[{3}]{2^{21}}}}=

{\frac {5^{5}\cdot {\sqrt[{3}]{5^{2}\cdot 2^{1}}}}{2^{7}}}

I ja hem acabat ja que no es pot reduir més.

Exercicis

Fixeu-vos que els passos formen part de l'explicació, a vegades es veuen redundàncies, però és perquè es vegi l'origen del que sembla ja intuïtiu:

1) Extreu artesanalment el màxim de valors de dins de l’arrel:

a)

{\sqrt {8}}

={\sqrt {2^{3}}}

={\sqrt[{2}]{2^{2}\cdot 2^{1}}}

={\sqrt[{2}]{2^{2}}}\cdot {\sqrt[{2}]{2^{1}}}

=2{\sqrt {2}}

b) ${\sqrt[{3}]{8}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{3}}}$ $=2^{\frac {3}{3}}$ $=2^{1}=2$

c) ${\sqrt {2048}}$ $={\sqrt {2^{11}}}$ $={\sqrt {2^{10}\cdot 2^{1}}}$ $=2^{\frac {10}{2}}\cdot {\sqrt {2}}$ $=2^{5}{\sqrt {2}}$

d) ${\sqrt[{3}]{2048}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{11}}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{9}\cdot 2^{2}}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{9}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ $=2^{\frac {9}{3}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ $=2^{3}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}$

e) ${\sqrt[{5}]{2048}}$ $={\sqrt[{5}]{2^{11}}}$ $={\sqrt[{5}]{2^{10}\cdot 2^{1}}}$ $=2^{\frac {10}{5}}\cdot {\sqrt[{5}]{2}}$ $=2^{2}{\sqrt[{5}]{2}}$

f) ${\sqrt[{7}]{2048}}$ $={\sqrt[{7}]{2^{11}}}$ $={\sqrt[{7}]{2^{7}\cdot 2^{4}}}$ $={\sqrt[{7}]{2^{7}}}\cdot {\sqrt[{7}]{2^{4}}}$ $=2^{\frac {7}{7}}\cdot {\sqrt[{7}]{2^{4}}}$ $=2{\sqrt[{7}]{2^{4}}}$

g) ${\sqrt[{11}]{2048}}$ $={\sqrt[{11}]{2^{11}}}=2$

h) ${\sqrt[{3}]{2^{46}}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{3\cdot 15}\cdot 2^{1}}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{3\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2}}$ $=2^{15}{\sqrt[{3}]{2}}$

{\begin{array}{rl}46&{\begin{array}{|c}3\\\hline \end{array}}\\1&15\\\end{array}}

llavors

\uparrow 46=3\cdot 15+1

i)

{\sqrt[{4}]{3^{500}}}

=3^{\frac {500}{4}}

=3^{125}

j) ${\sqrt[{6}]{2^{7}\cdot 3^{9}}}$ $={\sqrt[{6}]{2^{6}\cdot 3^{6}\cdot 2^{1}\cdot 3^{3}}}$ $={\sqrt[{6}]{2^{6}}}\cdot {\sqrt[{6}]{3^{6}}}\cdot {\sqrt[{6}]{2^{1}\cdot 3^{3}}}$ $=2\cdot 3\cdot {\sqrt[{6}]{2^{1}\cdot 3^{3}}}$

k) ${\sqrt {a^{2}\cdot b^{100}\cdot n^{200}}}$ $=\left(a^{2}\cdot b^{100}\cdot n^{200}\right)^{\frac {1}{2}}$ $=a^{\frac {2}{2}}\cdot b^{\frac {100}{2}}\cdot n^{\frac {200}{2}}$ $=a^{1}\cdot b^{50}\cdot n^{100}$

l) ${\sqrt {a^{2\cdot 8}}}$ $=\left(a^{2\cdot 8}\right)^{\frac {1}{2}}$ $=a^{\frac {2\cdot 8}{2}}$ $=a^{8}$

m) ${\sqrt {a^{2\cdot 1000}}}$ $=a^{\frac {2\cdot 1000}{2}}$ $=a^{1000}$

n) ${\sqrt {a^{2\cdot n}}}$ $=a^{\frac {2\cdot n}{2}}$ $=a^{n}$

o) ${\sqrt[{n}]{a^{3\cdot n}}}$ $=a^{\frac {3\cdot n}{n}}$ $=a^{3}$

2) Passa a potències d'exponent fraccionari, redueix i després torna a posar-ho amb arrels o amb una sola arrel quan es pugui:

a)

{\sqrt[{n}]{3241^{n{\phantom {1}}}}}

=3241^{\frac {n}{n}}

=3241^{1}

=3241

b) ${\sqrt[{6}]{2^{2}}}$ $=2^{\frac {2}{6}}$ $=2^{\frac {1}{3}}$ $={\sqrt[{3}]{2}}$

c) ${\sqrt[{6}]{2^{3}}}$ $=2^{\frac {3}{6}}$ $=2^{\frac {1}{2}}$ $={\sqrt {2}}$

d) ${\sqrt[{6}]{2^{4}}}$ $=2^{\frac {4}{6}}$ $=2^{\frac {2}{3}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{2}}}$

e) ${\sqrt[{30}]{2^{42}}}$ $=2^{\frac {42}{30}}$ $=2^{\frac {21}{15}}$ $=2^{\frac {7}{5}}$ $={\sqrt[{5}]{2^{7}}}$

f) ${\sqrt[{n}]{2^{2\cdot n}}}$ $=2^{\frac {{\cancel {n}}\cdot 2}{\cancel {n}}}$ $=2^{2}$

g)

{\sqrt[{3}]{\frac {2^{7}}{2^{4}}}}

=\left(2^{7-4}\right)^{\frac {1}{3}}

=\left(2^{3}\right)^{\frac {1}{3}}

=2^{\frac {3}{3}}

=2^{1}=2

h) ${\sqrt[{5}]{\frac {2^{34}}{2^{59}}}}$ $=\left(2^{34-59}\right)^{\frac {1}{5}}$ $=\left(2^{-25}\right)^{\frac {1}{5}}$ $=2^{\frac {-25}{5}}$ $=2^{-5}$ $={\frac {1}{2^{5}}}$

i) ${\frac {\sqrt[{3}]{60}}{\sqrt[{5}]{60}}}$ $={\frac {60^{\frac {1}{3}}}{60^{\frac {1}{5}}}}$ $=60^{{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}}$ $=60^{\frac {2}{15}}$ $={\sqrt[{15}]{60^{2}}}$

Observació:

60=2^{2}\cdot 3\cdot 5

.

3) Redueix el màxim possible els següents exercicis proposats: (hi ha passos que es poden saltar NO TOTS)

a)

{\sqrt[{6}]{{\sqrt[{5}]{4\;}}^{\;2}\;}}

=\left(\left(4^{\frac {1}{5}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{6}}

=4^{{\frac {1}{5}}\cdot 2\cdot {\frac {1}{6}}}

=4^{\frac {2}{30}}

=4^{\frac {1}{15}}

={\sqrt[{15}]{4}}

b) ${\sqrt[{33}]{{\sqrt[{5}]{5^{\;33}\;}}^{\;3}\;}}$ $=\left(\left(\left(5^{33}\right)^{\frac {1}{5}}\right)^{3}\right)^{\frac {1}{33}}$ $=5^{33\cdot {\frac {1}{5}}\cdot 3\cdot {\frac {1}{33}}}$ $=5^{\frac {{\cancel {33}}\cdot 3}{5\cdot {\cancel {33}}}}$ $=5^{\frac {3}{5}}$ $={\sqrt[{5}]{5^{3}}}$

c) ${\frac {2^{20}\cdot {\sqrt[{6}]{2^{2}}}}{2^{50}\cdot {\sqrt[{4}]{2^{3}}}}}$ $={\frac {2^{20-50}\cdot {2^{\frac {2}{6}}}}{2^{\frac {3}{4}}}}$ $=2^{-30}\cdot 2^{\frac {2}{6}}\cdot 2^{-{\frac {3}{4}}}$ $=2^{-30+{\frac {2}{6}}-{\frac {3}{4}}}$ $=2^{\frac {-30\cdot 12+2\cdot 2-3\cdot 3}{12}}$ $=2^{\frac {-360+4-9}{12}}$ $=2^{\frac {-365}{12}}$ $=2^{-30-{\frac {5}{12}}}$ $=2^{-30-1+1-{\frac {5}{12}}}$ $=2^{-31+{\frac {12-5}{12}}}$ $=2^{-31+{\frac {7}{12}}}$ $={\frac {\sqrt[{12}]{2^{7}}}{2^{31}}}$

Amb el

mcm(6,4)=12

.

d)

{\sqrt[{7}]{{\sqrt[{3}]{5^{\;21}\;}}^{\;2}\;}}

=5^{\frac {21\cdot 2}{7\cdot 3}}

=5^{2}

e) ${\frac {{\sqrt[{4}]{a^{20}}}\cdot a^{2}\cdot {\sqrt[{7}]{a^{21}}}}{{\sqrt[{25}]{a^{50}}}\cdot {\sqrt[{45}]{a^{9}}}\cdot {\sqrt[{4}]{a^{2}2^{8}}}}}$ $={\frac {a^{\frac {20}{4}}\cdot a^{2}\cdot a^{\frac {21}{7}}}{a^{\frac {50}{25}}\cdot a^{\frac {9}{45}}\cdot \left(a^{\frac {2}{4}}\cdot 2^{\frac {8}{4}}\right)}}$ $={\frac {a^{5}\cdot {\cancel {a^{2}}}\cdot a^{3}}{{\cancel {a^{2}}}\cdot a^{\frac {1}{5}}\cdot a^{\frac {1}{2}}\cdot 2^{2}}}$ $={\frac {a^{5}\cdot a^{3}\cdot a^{-{\frac {1}{5}}}\cdot a^{-{\frac {1}{2}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{5+3-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7+1-{\frac {7}{10}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7+{\frac {3}{10}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7}{\sqrt[{10}]{a^{3}}}}{2^{2}}}$

Racionalització[edit]

Aquestes són les principals o úniques simplificacions que trobarem. La primera intenta anul·lar una arrel de qualsevol tipus al denominador. La segona només serveix per a arrels quadrades i en realitat és particular però útil. Ambdues propietats es poden demostrar fàcilment a partir de les anteriors.

L'objectiu és que al denominador no hi hagi arrels, perquè les arrels produeixen errors de càlcul que són amplificades per les divisions.

Fórmules
${\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{\,m}}}}={\frac {a\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}{{\sqrt[{n}]{b^{\,m}}}\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}}={\frac {a\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}{b}}$
${\frac {a\,}{{\sqrt {b\,}}\pm {\sqrt {c\,}}}}={\frac {a\cdot ({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}{({\sqrt {b\,}}\pm {\sqrt {c\,}})({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}}={\frac {a\cdot ({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}{b-c}}$

Exemples

1) Racionalitza al màxim simplificant sempre que es pugui.

a) ${\frac {1}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {1\cdot {\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}^{2}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {\sqrt {5}}{5}}$