הרכבת פונקציות

From Wikiversity
Jump to navigation Jump to search

שעור אחד-עשר - הרכבת פונקציות[edit]

אם g היא הפונקציה המתאימה לכל בעל מכונית את המכונית הראשונה שלו, ו- f הפונקציה המתאימה לכל מכונית את נפח המנוע שלה, יהיה נוח להמציא פונקציה חדשה, המתאימה לכל בעל מכונית את נפח המנוע של המכונית הראשונה שלו, ולתאר אותה באמצעות הפונקציות g ו-f. אכן, לפי הסימון המקובל, המכונית של בעל מכונית x היא , ונפח המנוע שלה הוא . לפונקציה המוגדרת באופן כזה קוראים הרכבת הפונקציות f ו-g, ומסמנים אותה בסימון (שימו לב לסדר הפונקציות בהרכבה).

הגדרה. אם A,B,C קבוצות ו- ו- הן פונקציות, אז היא הפונקציה המוגדרת לפי הנוסחה . בשפת תורת הקבוצות, הזוג הסדור שייך ל- אם ורק אם קיים כך ש- ו- .

טענה. בתנאי ההגדרה, ההרכבה היא אכן פונקציה מ-A ל-C.

הוכחה. יהי . עלינו להוכיח שקיים יחיד כך ש- ; כלומר, שקיים c יחיד שעבורו קיים b כך ש- ו- ; אבל מכיוון ש-g פונקציה, קיים יחיד כך ש- , ועבור אותו b, מכיוון ש-f פונקציה, קיים c יחיד כך ש- .

הערה. אם נתונות פונקציות , הגדרנו את ההרכבה רק בהנחה ש- ; עם זאת, לפי הערה קודמת על הרחבת טווח הפונקציה, מספיק להניח ש- .

הרכבת פונקציות מקיימת את תכונת האסוציאטיביות:

הערה. אם הן פונקציות, אז (הסוגריים מציינים, כרגיל, את סדר הפעולות).

תרגיל. אם f,g פונקציות חד-חד-ערכיות וההרכבה ביניהן מוגדרת, אז היא חד-חד-ערכית.

תרגיל. הוכח או הפרך: אם ההרכבה היא חד-חד-ערכית, אז שתי הפונקציות f,g הן חד-חד-ערכיות.

הפונקציה ההפוכה[edit]

הגדרנו פונקציה כאוסף של זוגות סדורים במכפלה . ההגדרה הזו מאפשרת "להפוך" את הפונקציה באופן טבעי - נוכל להגדיר את כקבוצת כל הזוגות הסדורים ההפוכים לאלו הנמצאים ב-f, כלומר . התוצאה היא תת-קבוצה של המכפלה , וזה מעלה את השאלה מתי מתקבלת באופן הזה פונקציה מ-B ל-A.

טענה. תהי פונקציה. הקבוצה היא פונקציה מ-B ל-A אם ורק אם f חד-חד-ערכית ועל.

הוכחה. היא פונקציה אם לכל b קיים a יחיד כך ש- ; כלומר, לכל b קיים a יחיד כך ש- ; כלומר, לכל b קיים a יחיד כך ש- . הדרישה ש-a כזה קיים שקולה לכך ש-f על, והיחידות שקולה לכך ש-f חד-חד-ערכית.

לסיכום, אפשר להפוך פונקציה (ולקבל, בתמורה, פונקציה הפוכה) בדיוק כאשר היא חד-חד-ערכית ועל. כבונוס, אנו מקבלים משהו נוסף:

טענה. אם היא חד-חד-ערכית ועל, אז הפונקציה ההפוכה גם היא חד-חד-ערכית ועל.

הוכחה. כדי ש- תהיה חד-חד-ערכית ועל, נדרש שלכל a יהיה b יחיד כך ש- , כלומר או ; אבל תכונה זו מתקיימת מכיוון ש-f פונקציה.

טענה. אם פונקציה חד-חד-ערכית ועל, אז ההרכבה היא פונקציית הזהות של A, ואילו .

הוכחה. לכל קיים (יחיד, אבל כרגע אין בזה צורך) כך ש- . לפי הגדרת הפונקציה ההפוכה, , ולפי ההגדרה של הרכבת פונקציות נובע מכאן ש- . לכן ההרכבה מכילה את פונקציית הזהות, ומכאן שהיא שווה לה. באשר לכיוון ההפוך, שימו לב שמן ההגדרה נובע מיד ש- , ולכן די להפעיל את החלק שהוכחנו על הפונקציה .






<< השיעור הקודם - פונקציות דף הקורס - תורת הקבוצות השיעור הבא - עוצמה של קבוצה >>