הרכבת פונקציות

שעור אחד-עשר - הרכבת פונקציות

אם g היא הפונקציה המתאימה לכל בעל מכונית את המכונית הראשונה שלו, ו- f הפונקציה המתאימה לכל מכונית את נפח המנוע שלה, יהיה נוח להמציא פונקציה חדשה, המתאימה לכל בעל מכונית את נפח המנוע של המכונית הראשונה שלו, ולתאר אותה באמצעות הפונקציות g ו-f. אכן, לפי הסימון המקובל, המכונית של בעל מכונית x היא $\ g(x)$, ונפח המנוע שלה הוא $\ f(g(x))$. לפונקציה המוגדרת באופן כזה קוראים הרכבת הפונקציות f ו-g, ומסמנים אותה בסימון $\ f\circ g$ (שימו לב לסדר הפונקציות בהרכבה).

הגדרה. אם A,B,C קבוצות ו- $\ f:B\rightarrow C$ ו- $\ g:A\rightarrow B$ הן פונקציות, אז $\ f\circ g:A\rightarrow C$ היא הפונקציה המוגדרת לפי הנוסחה $\ (f\circ g)(x)=f(g(x))$. בשפת תורת הקבוצות, הזוג הסדור $\ (a,c)\in A\times C$ שייך ל- $\ f\circ g$ אם ורק אם קיים $\ b\in B$ כך ש- $\ (a,b)\in g$ ו- $\ (b,c)\in f$.

טענה. בתנאי ההגדרה, ההרכבה היא אכן פונקציה מ-A ל-C.

הוכחה. יהי $\ a\in A$. עלינו להוכיח שקיים $\ c\in C$ יחיד כך ש- $\ (a,c)\in f\circ g$; כלומר, שקיים c יחיד שעבורו קיים b כך ש- $\ (a,b)\in g$ ו- $\ (b,c)\in f$; אבל מכיוון ש-g פונקציה, קיים $\ b\in B$ יחיד כך ש- $\ (a,b)\in g$, ועבור אותו b, מכיוון ש-f פונקציה, קיים c יחיד כך ש- $\ (b,c)\in f$.

הערה. אם נתונות פונקציות $\ g:A\rightarrow B,\,f:B'\rightarrow C$, הגדרנו את ההרכבה $\ f\circ g$ רק בהנחה ש- $\ B'=B$; עם זאת, לפי הערה קודמת על הרחבת טווח הפונקציה, מספיק להניח ש- $\ B\subseteq B'$.

הרכבת פונקציות מקיימת את תכונת האסוציאטיביות:

הערה. אם $\ h:A\rightarrow B,\,g:B\rightarrow C,\,f:C\rightarrow D$ הן פונקציות, אז $\ f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ (הסוגריים מציינים, כרגיל, את סדר הפעולות).

תרגיל. אם f,g פונקציות חד-חד-ערכיות וההרכבה ביניהן מוגדרת, אז היא חד-חד-ערכית.

תרגיל. הוכח או הפרך: אם ההרכבה $\ f\circ g$ היא חד-חד-ערכית, אז שתי הפונקציות f,g הן חד-חד-ערכיות.

הפונקציה ההפוכה

הגדרנו פונקציה $\ f:A\rightarrow B$ כאוסף של זוגות סדורים במכפלה $\ A\times B$. ההגדרה הזו מאפשרת "להפוך" את הפונקציה באופן טבעי - נוכל להגדיר את $\ f^{-1}$ כקבוצת כל הזוגות הסדורים ההפוכים לאלו הנמצאים ב-f, כלומר $\ f^{-1}=\{(b,a):(a,b)\in f\}$. התוצאה היא תת-קבוצה של המכפלה $\ B\times A$, וזה מעלה את השאלה מתי מתקבלת באופן הזה פונקציה מ-B ל-A.

טענה. תהי $\ f:A\rightarrow B$ פונקציה. הקבוצה $\ f^{-1}$ היא פונקציה מ-B ל-A אם ורק אם f חד-חד-ערכית ועל.

הוכחה. $\ f^{-1}$ היא פונקציה אם לכל b קיים a יחיד כך ש- $\ (b,a)\in f^{-1}$; כלומר, לכל b קיים a יחיד כך ש- $\ (a,b)\in f$; כלומר, לכל b קיים a יחיד כך ש- $\ f(a)=b$. הדרישה ש-a כזה קיים שקולה לכך ש-f על, והיחידות שקולה לכך ש-f חד-חד-ערכית.

לסיכום, אפשר להפוך פונקציה (ולקבל, בתמורה, פונקציה הפוכה) בדיוק כאשר היא חד-חד-ערכית ועל. כבונוס, אנו מקבלים משהו נוסף:

טענה. אם $\ f:A\rightarrow B$ היא חד-חד-ערכית ועל, אז הפונקציה ההפוכה $\ f^{-1}:B\rightarrow A$ גם היא חד-חד-ערכית ועל.

הוכחה. כדי ש-$\ f^{-1}$ תהיה חד-חד-ערכית ועל, נדרש שלכל a יהיה b יחיד כך ש- $\ f^{-1}(b)=a$, כלומר $\ (b,a)\in f^{-1}$ או $\ (a,b)\in f$; אבל תכונה זו מתקיימת מכיוון ש-f פונקציה.

טענה. אם $\ f:A\rightarrow B$ פונקציה חד-חד-ערכית ועל, אז ההרכבה $\ f^{-1}\circ f$ היא פונקציית הזהות של A, ואילו $\ f\circ f^{-1}=id_{B}$.

הוכחה. לכל $\ a\in A$ קיים $\ b\in B$ (יחיד, אבל כרגע אין בזה צורך) כך ש- $\ (a,b)\in f$. לפי הגדרת הפונקציה ההפוכה, $\ (b,a)\in f^{-1}$, ולפי ההגדרה של הרכבת פונקציות נובע מכאן ש- $\ (a,a)\in f^{-1}\circ f$. לכן ההרכבה מכילה את פונקציית הזהות, ומכאן שהיא שווה לה. באשר לכיוון ההפוך, שימו לב שמן ההגדרה נובע מיד ש- $\ (f^{-1})^{-1}=f$, ולכן די להפעיל את החלק שהוכחנו על הפונקציה $\ f^{-1}:B\rightarrow A$.

<< השיעור הקודם - פונקציות

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - עוצמה של קבוצה >>