Combinatòria Ll 1

Material orientat a l'optativa de matemàtiques aplicades de batxillerat, no només com a complement del currículum actual, sinó també com a connexió entre diferents branques del coneixement.

Aquesta lliçó analitzarà la combinatòria estudiant les construccions de les eines més habituals per a la comprensió i resolució de problemes.

S'afegeix el concepte de probabilitat mínimament per reforçar la idea quantitativa d'una combinació, de fet només direm que la probabilitat d'un fet o succés esperat és: $P({\text{Succés esperat}})={\frac {Casos\;esperats}{Tots\;els\;casos}}$

S'ha d'incidir en l'equiprobabilitat esperada a cada exercici. Paral·lelisme: és com repartir un pastís d'un kilogram i cada succés es menja un tros del pastís amb el mateix pes que els altres successos i, és clar, la suma de tots els trossets serà 1 kg. La probabilitat informa amb proporcionalitat directa dels percentatges i a l'invers: Si una cosa és sempre possible, és a dir que sempre surt, tindrà una probabilitat d'1 que en percentatges és 100 %. Si una cosa no és possible, és a dir mai surt, tindrà una probabilitat de 0 que en percentatges és 0 %.

Les seleccions

S'analitzen els tipus de seleccions successives sobre conjunt.

Elecció única

Les possibilitats d'una primera elecció d'un element dins d'un conjunt d'elements tots diferents entre ells és igual a la quantitat d'elements que té el conjunt, si hi ha 20 elements llavors hi ha 20 possibilitats a escollir. Es considera una elecció a l'atzar i equiprobable doncs no s'han proposat diferències entre els elements del conjunt que canviïn la elecció de elements particulars.

Nota: S'entén la selecció d'un sol individu com una elecció del primer element en sortir, en agafar, en elegir, en escollir o en treure del conjunt donat. També es consideren, de moment, que els diversos elements que componen el conjunt estudiat són tots diferents.

Exemples

• Donat un recipient fosc amb 7 tipus de boles, totes diferents. En treure la primera bola sempre hi haurà les 7 possibilitats inicials.

Podem dir que la probabilitat que surti un sol tipus de boles és $P(Un\;tipus\;concret)={\frac {1}{7}}$

Exercicis

Calcula les possibilitats i la probabilitat demanades a cada exercici idealitzant l'atzar.

1) La quantitat de possibilitats que apareixen en llençar un dau de 6 cares de diferent valor i la probabilitat de cadascuna de les cares.
Apareixen 6 possibilitats { ⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄, ⚅ } i cadascuna de les possibilitats si el dau és equiprobable llavors té la mateixa probabilitat: P(⚀)=⅙, P(⚁)=⅙, P(⚂)=⅙, P(⚃)=⅙, P(⚄)=⅙ i P(⚅)=⅙.

2) a) La quantitat de xifres diferents que poden aparèixer i la probabilitat que té cada xifra amb una única vàlvula Nixie que s'encenen a l'atzar i on apareixen xifres del 0 al 9 amb estil retro. b) El mateix però ara amb dues vàlvules.

a) Si hi ha xifres del 0 al 9 llavors hi ha 10 possibilitats i per tant la probabilitat de encendre una xifra a l'atzar en un entorn equiprobable és $P(Una\,de\,les\,xifres)={\frac {1}{10}},$ és a dir 0,1. b) Si hi ha dues xifres llavor les possibilitats són les mateixes que nombres diferents es poden escriure amb elles, és a dir del 00 al 99 que són 100 combinacions y i per tan la probabilitat per cada nombre és ${\frac {1}{100}}.$ Nota: Cal dir que per generar xifres totalment equiprobables és encara molt difícil, els ordinadors actualment tenen un programa que simula la equiprobabilitat però simplement va recollint valors d'una taula o fent càlculs i prou, també hi ha empreses dedicades amb diferents mètodes creatius en aquesta tasca.

3) Calcula la quantitat de possibilitats i la probabilitat d'escollir una bola d'una bossa fosca amb boles numerades del valor 1 al valor m I si s'afegeix la bola 0? I si en canvi s'afegeix la bola m+1?

Nota: Tal com està escrit l'enunciat, hem d'entendre que la m és el nombre màxim de boles amb el benentès que si m = 2 vol dir que a tota la bossa només hi ha 2 boles. Qui diu bossa fosca pot dir qualsevol tipus de recipient que no deixa veure el seu interior i per tant tot tipus de selecció pot ser tant possible com equiprobable. Solució: Si hi ha boles numerades des de l'1 fins a l'm llavors sempre seran m possibilitats i la probabilitat és $P(Una\,bola)={\frac {1}{m}}$ per a cadascuna de les boles ja que és una selecció equiprobable. Si afegim la bola 0 llavors hi ha boles de 0 fins a m i per tant hi ha m + 1 possibilitats i la probabilitat és $P(Una\,bola)={\frac {1}{m+1}}$ Si en canvi afegim la bola m + 1 llavors hi ha boles de 1 fins a m + 1 i per tant hi ha m + 1 possibilitats i la probabilitat seguiria sent de $P(Una\,bola)={\frac {1}{m+1}}$

Selecció finita

Fer una selecció és indiscutiblement fer una ordenació, primera elecció doncs és el primer element, segona elecció doncs és el segon element, tercera elecció doncs és el tercer element. Finalment es veurà con descomptar aquest ordre.

En fer eleccions successives hi ha eleccions sense restitució i eleccions amb restitució.

Elecció sense restitució
	$\rightarrow$				$\rightarrow$
Cada cop que s'extreu una bola la següent extracció té una possibilitat menys.

Elecció amb restitució
	$\rightarrow$				$\rightarrow$
Cada cop que s'extreu una bola a l'atzar, es retorna dins, i la següent extracció té les mateixes possibilitats.

Diagrames d'arbre

Els diagrames d'arbre són per representar un esquema i tractar tot tipus d'elecció, per tant estudia tot tipus de selecció d'elements.

Tot diagrama d'arbre comença per un nus buit, és a dir una sortida. De tot nus surten tantes branques com eleccions diferents hi ha.

L'hàbit en aquest tipus d'anàlisi millora la exposició i resolució de tot tipus de problemes. Els esquemes d'arbre també s'apliquem en altres branques del coneixement de forma impensable i en disciplines més abstractes milloren l'anàlisi exhaustiva de les casuístiques que apareixen als seus estudis.

Exemple

1) Arbre on per cada nus hi ha dos branques, corresponents a una elecció entre dos elements amb reposició, i si es repeteix moltes vegades dona infinites ramificacions, en aquest cas s'ha pogut fer un fractal de tantes opcions que hi ha.

2) Arbre on per cada nus surten nusos amb una opció menys cada cop, corresponents a una elecció entre elements sense reposició, i si es repeteix moltes vegades s'acaba ràpid. S'observa que l'ultima branca es podria dir que no hi ha elecció ja que és una elecció obligada.

$0{\begin{cases}A{\begin{cases}B{\begin{cases}C\{D\\D\{C\end{cases}}\\C{\begin{cases}B\{D\\D\{B\end{cases}}\\D{\begin{cases}B\{C\\C\{B\end{cases}}\\\end{cases}}\\B{\begin{cases}A{\begin{cases}C\{D\\D\{C\end{cases}}\\C{\begin{cases}A\{D\\D\{A\end{cases}}\\D{\begin{cases}A\{C\\C\{A\end{cases}}\end{cases}}\\C{\begin{cases}A{\begin{cases}B\{D\\D\{B\end{cases}}\\B{\begin{cases}A\{D\\D\{A\end{cases}}\\D{\begin{cases}A\{B\\B\{A\end{cases}}\end{cases}}\\D{\begin{cases}A{\begin{cases}B\{C\\C\{B\end{cases}}\\B{\begin{cases}A\{C\\C\{A\end{cases}}\\C{\begin{cases}A\{B\\B\{A\end{cases}}\end{cases}}\\\end{cases}}$

Exercici

1. Feu una representació d'arbre per calcular quantes combinacions té una elecció entre cinc boles numerades de l'1 al 5 amb un altre elecció entre quatre boles amb les lletres A, B, C i D.

2. Calcula quantes combinacions té una elecció entre 100 boles diferents amb un altre elecció entre 70 boles diferents decorades amb un altre estil. No feu l'arbre, només feu-lo deductivament.

3. Calcula quantes combinacions té la quiniela de futbol.

4. Calcula quantes combinacions té dues eleccions d'un únic conjunt de 20 boles sense restitució.

Fórmules combinatòries

Quan un arbre és massa gran i no es pot treballar, llavors utilitzem les fórmules de càlcul més habituals.

Variacions amb repetició

Definició: Una variació amb repetició, VR, de m elements i n eleccions ordenades és el nombre de les diferents variants, resultats o seleccions que podrien sortir fent eleccions amb restitució.

Exemple explicatiu amb n elements...

$VR_{\,m,n}=\underbrace {m\times \dots \times m} _{n\;multiplicands}=m^{n}$

Exercicis

1. Quants nombres es poden representar amb 3 xifres al sistema decimal.

2. Calcula tots els diferents modes o combinacions que tenim a l'hora d'encendre cada una de les component d'una xifra digital.

Variacions ordinàries

La idea és saber quantes seleccions o variacions obtenim en fer n eleccions sense restitució on l'ordre de l'elecció és una difèrencia infranquejable.

• Dos seleccions són diferents si tenen almenys un element diferent.

• Dos seleccions són diferents si tenint tots els elements iguals hi ha que han sortit en ordre diferent.

Definició: Una variació ordinària, V, de m elements i n eleccions ordenades sense restitució és el nombre de les diferents variants, resultats o seleccions que podrien sortir.

Fórmula sistemàtica per calcular una variació ordinària

$V_{m,n}=\underbrace {m\times (m-1)\times (m-2)\times \dots \times {\big (}m-(n-2){\big )}\times {\big (}m-(n-1){\big )}} _{n\;multiplicands}$

Exercicis:

1) Quantes possibles variants ordenades podem obtenir agafant dues boles, sense restitució, d'una bossa amb boles de 4 colors diferents?

Suposem que els colors són vermell, verd, blau i groc, llavors el seu diagrama d'arbre és: Arbre Resultat $\Rightarrow$ A la primera elecció hi ha 4 possibilitats. A la segona elecció hi ha només 3 possibilitats. Per tant el nombre total de possibilitats és $4\times 3=12$ variants ordenades.

2) S'ha de calcular totes les possibles seleccions diferents que hi ha en fer 5 eleccions sense restitucions sobre tres lletres C i dos lletres R

Només cal fer l'arbre de successos descomptant amb cura els elements que surten, surt semblant a la imatge.

Permutacions

Definició: Les "permutacions ordinàries" de m elements és el nombre de variants ordenades diferents que podem fer escollint, sense restitució, els m elements.

$P_{m}=m!=V_{m,m}$

També es pot reinterpretar com el càlcul de totes les possibles reordenacions que té un conjunt d'elements

Exemples...

Exercicis...

Permutacions amb repetició

Definició: Les "permutacions amb repetició" de m elements és el nombre de variants ordenades diferents que podem fer escollint, sense restitució i amb certs elements indistingibles, els m elements.

$P_{m}^{a,b,\dots }={\frac {m!}{a!\times b!\times \dots }}$

Exemples...

Exercicis...