Derivades Ll1

Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits.

Introducció

Les derivades introduïdes per Isaac Newton s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les corbes de les funcions.

Taxa de variació mitjana

Amb dos punts sobre un gràfic, $A=(a,f(a))$ i $B=(b,f(b))$, el pendent entre aquests dos punts s'anomena taxa de variació mitjana entre a i b:

$TV{M}_{[a,b]}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures $\frac{unitatvertical}{unitathoritzontal}$:

Derivada

La taxa de variació instantània o derivada ha de ser una funció $f^{\prime }(x)$ que en $x_1$ dona el pendent de la única recta tangent en el punt $(x_1,f(x_1)).$

La intensió és que $a=x$ i que b s'aproxima molt a a i que només hi ha una diferència de h entre ells, tan petita com es vulgui $b=x+h.$ L'anterior expressió ha de ser:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$ $=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x^{+})$

Es necessita que només hi hagi una es a dir que h sigui zero amb un límit, és a dir:

$f^{\prime }(x^{-})=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x^{+})$

En resum, per a que una funció $f(x)$ sigui derivable en $x_1$ ha de complir:

• Que $x_1$ sigui del domini de $f(x)$

• Que $f(x)$ sigui contínua en un entorn del punt $x_1$

• Que la derivada sigui continua a $x_1,$ és a dir $f^{\prime }(x_1^{-})=f^{\prime }(x_1^{+}).$

i no a l'invers.

Funcions derivables

Tota funció polinòmica $P(x)$ és derivable a tot $ℝ.$

Totes les arrels $\sqrt[n]{x}$ són derivables al seu domini que depèn de n.

Tota exponencial $a^x$ és derivable a tot $ℝ.$

Tot logaritme ${\log }_{a}x$ és derivable a tota $(0,\mathrm{\infty }).$

Les funcions $\sin (x)$ i $\cos (x)$ són derivables a tot $ℝ.$

Composicions de funcions derivables és derivable amb les restriccions del domini que requereixen:

Tota inversa de funcions derivables és derivable, excepte als zeros de les funcions $\frac{1}{f(x)}.$

Aquests resums permet treballar les funcions a trossos que per al batxillerat són les que tenen les patologies a tractar.

Exercicis

1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades a cada apartat:

a) $f(x)=|x|=\{\begin{array}{cc}x& \text{ si }x>0\\ -x& \text{ si }x\le 0\end{array}$

b) $f(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ si }x<0\\ x& \text{ si }x\ge 0\end{array}$

c) $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{ si }x\ge 0\\ a& \text{ si }x\in (-2,0)\\ -(x+2{)}^2& \text{ si }x\le -2\end{array}$

d) $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{ si }x>1\\ 2x-a& \text{ si }x\le 1\end{array}$

e) $f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{x+1}& \text{ si }x>0\\ ax+b& \text{ si }x\le 0\end{array}$

f) $f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^x& \text{ si }x>0\\ ax+b& \text{ si }x\le 0\end{array}$

g) $f(x)=\{\begin{array}{cc}ln(x)& \text{ si }x>2\\ a{x}^2+bx& \text{ si }x\le 2\end{array}$

Regla de l'Hôpital

Matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)

La regla de l'Hôpital no és més que un mètode per comparar o resoldre la raó del límit entre dues funcions en un punt del tipus $\frac{0}{0},$ $0\cdot \mathrm{\infty }$ i $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},$ i diu:

cont...