Equacions Bat

Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització.

Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria.

Introducció

En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions.

Es veuran equacions d'una sola variable de la forma $f(x)=0.$ Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma $y=f(x)$ on aquesta variable de més, $y,$ permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions.

Es veuran equacions de dos variables de la forma $f(x,y)=0.$ Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables.

Equacions d'una variable

Es resoldran equacions del tipus:

$f(x)=0$

I les solucions són de la forma:

$x_1=a,x_2=b,x_3=c,x_4=d,\dots .$

També hi ha equacions que no tenen cap solució.

Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus $y=f(x)$ per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix $x$ i el gràfic de la funció, és a dir $y=0.$

Equacions polinòmiques

Les equacions polinòmiques en general es poden sintetitzar de la forma:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0=0$

On els coeficients de cada terme és $a_i\in ℝ.$

El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és cap solució.

Equacions lineals

Les equacions lineals són les equacions que es poden sintetitzar en la forma:

$ax+b=0$ on $a,b\in ℝ.$

De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus $x=k.$

Les equacions com $y=ax+b$ formen part de les equacions de la forma $ax+by+c=0,$ que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus $f(x,y)=0,$ és a dir, té les variables $x$ i $y.$

Exemples comparatius

1) $f(x)=3x-2$ és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció $y=f(x)$ el seu gràfic creua l'eix $x$ al punt solució $x=\frac{2}{3}.$

¿Quan es creua el gràfic amb l'eix $y$? només s'ha de fer que $x=0$ i, a partir de $y=3\cdot (0)-2,$ s'obté que $y=-2.$ També es pot dir que la solució és el punt $(x,y)=(0,-2).$

2) $f(x)=5$ és una recta horitzontal i, per tant, com a funció $y=f(x)$ el seu gràfic no creua l'eix $x.$

3) $x=5$ com a equació és una recta vertical.

Equacions de segon grau

Les equacions de segon grau són equacions que en simplificar-les són del tipus $a{x}^2+bx+c=0$ on almenys a sigui diferent de zero amb resolució $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.$ Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^{\phantom{l}}}-4ac}}{2a}$ i $x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^{\phantom{l}}}-4ac}}{2a}$ Això és degut al signe de $\pm$ que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. Exemple i resolució: $x^2+5x-6=0$ $\iff x=\frac{-5\pm \sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}$ $\iff x=\frac{-5\pm 7}{2}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_2=-6.\end{array}$	Al-Juarismi va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820 d.C.
Nota: Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau $\mathrm{△}=b^2-4ac<0,$ llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat nombres complexos $ℂ,$ i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària $𝕀,$ i on aquests polinomis factoritzen sempre. Els nombre complexos es construeixen amb la següent notació: $z=a+bi\in ℂ=ℝ\times 𝕀$
Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: $a{x}^2+bx+c=0$ $\iff a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0$ Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, $ℝ$, no hem de oblidar la constant a a la seva factorització. Observació sobre el discriminant $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ Què passa si el discriminant fos positiu: $\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}?$ Té 2 solucions diferents. El polinomi factoritza: $a{x}^2+bx+c$ $=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$ El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix X. Què passa si el discriminant fos zero: $\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\pm \sqrt{0}=0?$ Té una solució. El polinomi factoritza: $a{x}^2+bx+c$ $=a\cdot (x-x_1{)}^2$ El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix X. Què passa si el discriminant fos negatiu: $\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\pm \sqrt{-|\mathrm{\Delta }|}=?$ No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix X. Què passa en modificar les constants a i c? Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. Mentre més gran és a llavors més allargada o més estreta és la paràbola. Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. Mentre més petita és a llavors més allargada o més estreta és la paràbola. El valors de c fa desplaçaments verticals de les paràboles: Mentre més gran és, puja més la paràbola. Mentre més petit és, baixa més la paràbola.

Equacions racionals

Les equacions irracionals en general es poden sintetitzar en la forma:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ on $P(x)iQ(x)$ són polinomis.

El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica.

Equacions irracionals

Propietats

$f(x{)}^2=g(x)$ $\iff f(x)=\pm \sqrt{g(x)}$ Si la hipòtesi és que $f(x{)}^2=g(x)$ vol dir que només busquem solucions de $x$ de $ℝ$ on $g(x)⩾0,$ ja que $f(x{)}^2$ sempre és positiva per culpa del quadrat. no hi ha cap problema en fer la arrel de $g(x)$ doncs l'arrel té el domini a $[0,\mathrm{\infty })$ que és on estan totes les possibles solucions. Hi ha la possibilitat que $f(x)<0$ per alguna $x,$ per això es considera la possibilitat que l'arrel $\sqrt{g(x)}$ sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que $f(x)=\pm \sqrt{g(x)}$ $\Rightarrow f(x{)}^2=g(x)$ cal observar: Si tenim el cas $f(x)=\sqrt{g(x)}$ les solucions d'$x$ són valors reals on $g(x)⩾0$ i $f(x)⩾0,$ aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. Si tenim el cas $f(x)=-\sqrt{g(x)}$ les solucions d'$x$ són valors reals on $g(x)⩾0$ i $f(x)⩽0,$ aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. Observació Si s'escriu $f^2(x)$ vol dir que és $(f(x){)}^2$ i si s'escriu $f{x}^2$ vol dir que és $f(x^2).$ Ara cal evitar $f(x{)}^2$ que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa $f^2(x),$ ja que es fàcil de confondre amb $f(x^2).$

$f(x{)}^2=g(x{)}^2$ $\iff f(x)=\pm g(x)$ Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: $f(x{)}^2=g(x{)}^2$ $\iff f(x)=\pm \sqrt{g(x{)}^2}$ I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a $[0,\mathrm{\infty })$ i $g(x)⩾0$ llavors $\sqrt{g(x{)}^2}=g(x)$

$\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ $\Rightarrow f(x)=g(x)$ S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'$x$ com a un valor real on $g(x)⩾0$ i $f(x)⩾0.$ En cas de que l'equació sigui $\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}$ Llavors només cal prendre les solucions d'$x$ com a un valor real on $f(x)=0$ i $g(x)=0.$ Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar $x$ tal que $f(x)=g(x),$ però amb $f(x)<0$ i $g(x)<0$ que queda exclosa com a solució amb l'expressió $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.$ Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: $\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}$ $\iff f(x)=g(x)$ Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: $\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}$ $\iff f(x)=\pm g(x)$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ $=a-b$ $(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})$ $=\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot \sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}$ $={\sqrt{a}}^2-{\sqrt{b}}^2$ $=a-b$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2$ $=a+2\sqrt{a\cdot b}+b$ $(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2$ $=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})$ $=\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}+2\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}$ $={\sqrt{a}}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+{\sqrt{b}}^2$ $=a+2\sqrt{a\cdot b}+b$

Les equacions irracionals són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.

Són del tipus:

$\sqrt{x+1}=x$

Recordatori d'arrels

${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n=x$ si n és parell es restringeix al domini de l'arrel.

${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n=x$ si n és imparell és cert a $ℝ.$

Exemples a estudiar

1) $\sqrt{x^2+1}=2x$ Resolució Fem el quadrat a banda i banda: ${\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^2=(2x{)}^2$ $\Rightarrow x^2+1=2^2{x}^2$ $\Rightarrow 1=4x^2-x^2$ $\Rightarrow 1=3x^2$ $\Rightarrow \frac{1}{3}=x^2$ $\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$ Prova Cas $x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \text{¿}\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+1}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)?$ $\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ sí és correcte. Cas $x_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \text{¿}\sqrt{{(-\frac{\sqrt{3}}{3})}^2+1}=2(-\frac{\sqrt{3}}{3})?$ $\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu.

2) $\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1$ Resolució Fem el quadrat a banda i banda: ${(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2})}^2=(-1{)}^2$ $\Rightarrow {\sqrt{x-1}}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+{\sqrt{x+2}}^2=1$ $\Rightarrow x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1$ $\Rightarrow -2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2$ $\Rightarrow -2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x$ $\Rightarrow \sqrt{(x-1)(x+2)}=x$ $\Rightarrow {\sqrt{(x-1)(x+2)}}^2=x^2$ $\Rightarrow (x-1)(x+2)=x^2$ $\Rightarrow x^2+x-2=x^2$ $\Rightarrow x^2+x-2=x^2$ $\Rightarrow x-2=0$ $\Rightarrow x=2$ Prova $\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1?$ $\Rightarrow 1-2=-1$ $\Rightarrow -1=-1$ sí és correcte. Raonament Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: ${\left(\sqrt{x-1}\right)}^2={(\sqrt{x+2}-1)}^2$ $\Rightarrow x-1={\left(\sqrt{x+2}\right)}^2-2\sqrt{x+2}+1$ $\Rightarrow x-1=x+2-2\sqrt{x+2}+1$ $\Rightarrow -4=-2\sqrt{x+2}$ $\Rightarrow 2=\sqrt{x+2}$ $\Rightarrow 4=x+2$ $\Rightarrow x=2$

3) $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8}$ Resolució Fem el quadrat a banda i banda: ${(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}^2={\sqrt{x+8}}^2$ $\Rightarrow x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8$ $\Rightarrow 2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3$ $\Rightarrow 2\sqrt{x^2+3x}=5-x$ $\Rightarrow {\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)}^2=(5-x{)}^2$ $\Rightarrow 2^2{\sqrt{x^2+3x}}^2=25-10x+x^2$ $\Rightarrow 4(x^2+3x)=25-10x+x^2$ $\Rightarrow 4x^2+12x=25-10x+x^2$ $\Rightarrow 4x^2+12x-25+10x-x^2=0$ $\Rightarrow 3x^2+22x-25=0$ Prova Cas $x_1=1$ $\Rightarrow \text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?$ $\Rightarrow 1+2=3$ $\Rightarrow 3=3$ sí és correcte. Cas $x_2=-\frac{25}{3}$ $\Rightarrow \text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?$ no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu.

4) $\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}$ Resolució Fem el quadrat a banda i banda: ${(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}^2={\sqrt{2x^2+1}}^2$ $\Rightarrow x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1$ $\Rightarrow 2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1$ $\Rightarrow {\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2={((2x^2-1)}^2$ $\Rightarrow 4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1$ $\Rightarrow 4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1$ $\Rightarrow 4=4x^4+1$ $\Rightarrow 3=4x^4$ $\Rightarrow \frac{3}{4}=x^4$ $\Rightarrow \pm \sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x$ Prova En aquest cas fem la comprovació amb $x=\pm 0,930605$ i surt: Cas $x_1=0,930605$ $\Rightarrow 1,652892=1,652892$ sí és correcte. Cas $x_2=-0,930605$ $\Rightarrow 1,652892=1,652892$ sí és correcte.

Equacions exponencials

Propietats

$a^0=1$ i $a^1=a$

$a^n=\underset{\mathrm{♯}a=n}{\underbrace{a\cdot \mathrm{...}\cdot a}}$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ i $a^n=\frac{1}{a^{-n}}$

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n+m}$

$(a^n{)}^m=a^{n\cdot m}$

$(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Les equacions exponencials són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials.

Notació

La funció exponencial amb base a i índex x amb resultat y s'escriu com:

$a^x=y$ on x és un nombre real i a és un valor de $(0,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

Observació

Si $a=0$ llavors $a^x=0=y$

Si $a=1$ llavors $a^x=1=y$

$a^x>0$ per qualsevol $x\in ℝ$

Propietat

$a^x=a^y$ $\iff x=y$ on $a\in (0,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

Demostració $\Rightarrow$) Suposem que siguin iguals, llavors $y=x+\epsilon$ on per hipòtesi $\epsilon \ne 0.$ $\Rightarrow a^x=a^{x+\epsilon }$ $\Rightarrow a^x=a^x\cdot a^{\epsilon }$ $\Rightarrow 1=a^{\epsilon }$ Per les propietats de potències té com a conseqüència $\epsilon =0$ que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament $x=y.$ $\Leftarrow$) El camí invers es trivial, si $x=y$ llavors $a^x=a^x$. Per tant queda provat que $a^x=a^y$ $\iff x=y$ i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra.

Donat $x<y$ es té: Si $a>1$ llavors $a^x<a^y$ llavors es diu que $a^x$ és una funció creixent. Si $0<a<1$ llavors $a^x>a^y$ llavors es diu que $a^x$ és una funció decreixent.

Demostració S'ha d'aplicar que si $a>1$ llavors $a^x>1$ amb qualsevol $x>0.$ Si $a^x<a^y$ $\iff 1<a^{y-x}$ cert si $a>1$ ja que $0<y-x$. Fent el canvi $b=a^{-1}$ llavors $b>1$ i es fa el mateix: $b^x<b^y$ $\iff \frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}$ $\iff a^y<a^x$ $\iff a^x>a^y.$

Exemples d'equacions:

1) Troba la solució de:

a) $3^x=9$

b) $7^{3x}=7^2$

c) $2^{1-x}=8$

d) $5^{2x}+5^x=2$

Equacions logarítmiques

Propietats

${\log }_{a}x={\log }_{a}y$ $\iff x=y$

${\log }_{a}a=1$ 𝑖 ${\log }_{a}1=0$

${\log }_{a}x=\frac{\log x}{\log a}$

${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$

${\log }_a(x^n)=n{\log }_{a}x$

${\log }_a\sqrt[n]{x}=\frac{lo{g}_{a}x}{n}$

Les equacions logarítmiques són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes.

Notació

El logaritme en base a de argument x i índex o resultat y s'escriu com:

${\log }_{a}x=y$ on x és un nombre real a $(0,+\mathrm{\infty })$

Recordant que:

$\log x$ serà el logaritme en base 10, és a dir ${\log }_{10}x.$

$\ln x$ serà el logaritme en base e, és a dir ${\log }_{e}x$ i se'n diu logaritme neperià o natural.

Definició

${\log }_{a}x=y$ $\iff x=a^y,$ on $x\in (0,+\mathrm{\infty })$

En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de $\log x$ com a ${\log }_{e}x,$ i també per defecte es pot trobar $\log x$ com a ${\log }_{2}x.$