Equacions Bat

En aquesta secció es treballen les equacions d'una sola incògnita amb diferents tipus d'ordre i diferents equacions.

Orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes següents d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització.

Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria.

Introducció

El tipus d'equació que és resolen són equivalents a:

$f(x)=0$

El tipus de solució esperat és:

$x_{1}=a,x_{2}=b,\;\dots$

Equacions per tipus

A continuació seccions per tipus d'equacions típiques.

Equacions lineals

Les equacions lineals són les equacions que es poden sintetitzar en la forma:

$ax+b=0$ on a i b són constants reals.

De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus $x=k$ al pla xy és una recta vertical.

Equacions polinòmiques

Les equacions polinòmiques en general es poden sintetitzar en la forma:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots \;+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0$ on $a_{i}$ són constants reals.

El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació, la mínima sempre és cap solució.

Equacions racionals

Les equacions irracionals en general es poden sintetitzar en la forma:

${\tfrac {P(x)}{Q(x)}}=0$ on $P(x)\;i\;Q(x)$ són polinomis.

El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica.

Equacions irracionals

Propietats

$f(x)^{2}=g(x)$ $\Leftrightarrow f(x)=\pm {\sqrt {g(x)}}$ Si la hipòtesi és que $f(x)^{2}=g(x)$ vol dir que només busquem solucions de $x$ de $\mathbb {R}$ on $g(x)\geqslant 0,$ ja que $f(x)^{2}$ sempre és positiva per culpa del quadrat. no hi ha cap problema en fer la arrel de $g(x)$ doncs l'arrel té el domini a $[0,\infty )$ que és on estan totes les possibles solucions. Hi ha la possibilitat que $f(x)<0$ per alguna $x,$ per això es considera la possibilitat que l'arrel ${\sqrt {g(x)}}$ sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que $f(x)=\pm {\sqrt {g(x)}}$ $\Rightarrow f(x)^{2}=g(x)$ cal observar: Si tenim el cas $f(x)={\sqrt {g(x)}}$ les solucions d'$x$ són valors reals on $g(x)\geqslant 0$ i $f(x)\geqslant 0,$ aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. Si tenim el cas $f(x)=-{\sqrt {g(x)}}$ les solucions d'$x$ són valors reals on $g(x)\geqslant 0$ i $f(x)\leqslant 0,$ aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. Observació Si s'escriu $f^{2}(x)$ vol dir que és $(f(x))^{2}$ i si s'escriu $fx^{2}$ vol dir que és $f(x^{2}).$ Ara cal evitar $f(x)^{2}$ que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa $f^{2}(x),$ ja que es fàcil de confondre amb $f(x^{2}).$

$f(x)^{2}=g(x)^{2}$ $\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)$ Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: $f(x)^{2}=g(x)^{2}$ $\Leftrightarrow f(x)=\pm {\sqrt {g(x)^{2}\;}}$ I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a $[0,\infty )$ i $g(x)\geqslant 0$ llavors ${\sqrt {g(x)^{2}\;}}=g(x)$

${\sqrt {f(x)}}={\sqrt {g(x)}}$ $\Rightarrow f(x)=g(x)$ S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'$x$ com a un valor real on $g(x)\geqslant 0$ i $f(x)\geqslant 0.$ En cas de que l'equació sigui ${\sqrt {f(x)}}=-{\sqrt {g(x)}}$ Llavors només cal prendre les solucions d'$x$ com a un valor real on $f(x)=0$ i $g(x)=0.$ Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar $x$ tal que $f(x)=g(x),$ però amb $f(x)<0$ i $g(x)<0$ que queda exclosa com a solució amb l'expressió ${\sqrt {f(x)}}={\sqrt {g(x)}}.$ Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: ${\sqrt {\pm f(x)}}={\sqrt {\pm g(x)}}$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)$ Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: ${\sqrt {|f(x)|}}={\sqrt {|g(x)|}}$ $\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)$

$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})$ $=a-b$ $({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})\cdot ({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})$ $={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {a}}-{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}+{\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}$ $={\sqrt {a}}^{2}-{\sqrt {b}}^{2}$ $=a-b$

$({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}$ $=a+2{\sqrt {a\cdot b}}+b$ $({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}$ $=({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})\cdot ({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})$ $={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {a}}+2\cdot {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}+{\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}$ $={\sqrt {a}}^{2}+2{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}+{\sqrt {b}}^{2}$ $=a+2{\sqrt {a\cdot b}}+b$

Les equacions irracionals són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.

${\sqrt {x+1}}=x$

Exemples a estudiar:

1) ${\sqrt {x^{2}+1}}=2x$

Resolució i comprovació

$\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)^{2}=(2x)^{2}\;$ $\Rightarrow \;x^{2}+1=2^{2}x^{2}\;$ $\Rightarrow \;1=4x^{2}-x^{2}\;$ $\Rightarrow \;1=3x^{2}\;$ $\Rightarrow \;{\frac {1}{3}}=x^{2}\;$

$x_{1}={\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}\;$ $\Rightarrow \;{\text{¿}}{\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{2}+1}}=2\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)?\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {\left({\frac {3}{9}}\right)+1}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {\frac {12}{9}}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\;$ sí és correcte.

$x_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}=-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\;$ $\Rightarrow \;{\text{¿}}{\sqrt {\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{2}+1}}=2\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)?\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {\left({\frac {3}{9}}\right)+1}}=-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\;$ no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu.

2) ${\sqrt {x-1}}-{\sqrt {x+2}}=-1$

Resolució i comprovació

$\left({\sqrt {x-1}}-{\sqrt {x+2}}\right)^{2}=(-1)^{2}\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {x-1}}^{2}-2{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+2}}+{\sqrt {x+2}}^{2}=1\;$ $\Rightarrow \;x-1-2{\sqrt {(x-1)(x+2)}}+x+2=1\;$ $\Rightarrow \;-2{\sqrt {(x-1)(x+2)}}=1-x-x+1-2\;$ $\Rightarrow \;-2{\sqrt {(x-1)(x+2)}}=-2x\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {(x-1)(x+2)}}=x\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {(x-1)(x+2)}}^{2}=x^{2}\;$ $\Rightarrow \;(x-1)(x+2)=x^{2}\;$ $\Rightarrow \;x^{2}+x-2=x^{2}\;$ $\Rightarrow \;{\cancel {x^{2}}}+x-2={\cancel {x^{2}}}\;$ $\Rightarrow \;x-2=0\;$ $\Rightarrow \;x=2\;$

${\text{¿}}{\sqrt {2-1}}-{\sqrt {2+2}}=-1?\;$ $\Rightarrow \;1-2=-1\;$ $\Rightarrow \;-1=-1\;$ sí és correcte.

3) ${\sqrt {x}}+{\sqrt {x+3}}={\sqrt {x+8}}$

Resolució i comprovació

$\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x+3}}\right)^{2}={\sqrt {x+8}}^{2}\;$ $\Rightarrow \;x+2{\sqrt {x}}{\sqrt {x+3}}+x+3=x+8\;$ $\Rightarrow \;2{\sqrt {x(x+3)}}=x+8-x-x-3\;$ $\Rightarrow \;2{\sqrt {x^{2}+3x}}=5-x\;$ $\Rightarrow \;\left(2{\sqrt {x^{2}+3x}}\right)^{2}=(5-x)^{2}\;$ $\Rightarrow \;2^{2}{\sqrt {x^{2}+3x}}^{2}=25-10x+x^{2}\;$ $\Rightarrow \;4(x^{2}+3x)=25-10x+x^{2}\;$ $\Rightarrow \;4x^{2}+12x=25-10x+x^{2}\;$ $\Rightarrow \;4x^{2}+12x-25+10x-x^{2}=0\;$ $\Rightarrow \;3x^{2}+22x-25=0\;$

$x_{1}=1\;$ $\Rightarrow \;{\text{¿}}{\sqrt {1}}+{\sqrt {1+3}}={\sqrt {1+8}}?\;$ $\Rightarrow \;1+2=3\;$ $\Rightarrow \;3=3\;$ sí és correcte.

$x_{2}=-{\frac {25}{3}}\;$ $\Rightarrow \;{\text{¿}}{\sqrt {-{\frac {25}{3}}}}?\;$ no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu.

4) ${\sqrt {x+1}}+{\sqrt {1-x}}={\sqrt {2x^{2}+1}}$

Resolució i comprovació

$\left({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {1-x}}\;\right)^{2}={\sqrt {2x^{2}+1}}^{\;2}\;$ $\Rightarrow \;x+1+2{\sqrt {(x+1)(1-x)}}+1-x=2x^{2}+1\;$ $\Rightarrow \;2{\sqrt {(1+x)(1-x)}}=2x^{2}-1\;$ $\Rightarrow \;\left(2{\sqrt {1-x^{2})}}\right)^{2}=\left((2x^{2}-1\right)^{2}\;$ $\Rightarrow \;4(1-x^{2})=4x^{4}-4x^{2}+1\;$ $\Rightarrow \;4-{\cancel {4x^{2}}}=4x^{4}-{\cancel {4x^{2}}}+1\;$ $\Rightarrow \;4=4x^{4}+1\;$ $\Rightarrow \;3=4x^{4}\;$ $\Rightarrow \;{\frac {3}{4}}=x^{4}\;$ $\Rightarrow \;\pm {\sqrt[{4}]{\frac {3}{4}}}=x\;$

En aquest cas fem la comprovació amb $x=\pm 0,930\,605$ i surt:

$x_{1}=0,930605\;$ $\Rightarrow 1,652\,892=1,652\,892$ sí és correcte.

$x_{2}=-0,930605\;$ $\Rightarrow 1,652\,892=1,652\,892$ sí és correcte.

Equacions exponencials

Propietats

$a^{0}=1\;$ i $\;a^{1}=a\;$

$a^{n}=\underbrace {a\;\cdot \;...\;\cdot \;a} _{\sharp a=n}$

$a^{-n}={\tfrac {1}{a^{n}}}$ i $a^{n}={\tfrac {1}{a^{-n}}}$

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

${\tfrac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n+m}$

$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

$\left({\tfrac {a}{b}}\right)^{n}={\tfrac {a^{n}}{b^{n}}}$

Les equacions exponencials són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials.

Notació

La funció exponencial amb base a i índex x amb resultat y s'escriu com:

$a^{x}=y$ on x és un nombre real i a és un valor de $(0,+\infty )$

Propietat

$a^{n}=a^{m}$ $\Leftrightarrow n=m$ per a pertanyent a $(0,1)\cup (1,+\infty )$

S'ha simplificat el que en realitat es demostra és: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $\Leftrightarrow f(x)=g(x)$ amb $a\in (0,1)\cup (1,+\infty )$ Només fa falta veure que si dos valors $m\neq n$ llavors $m+\varepsilon =n$ on $\varepsilon >0.$ $\Rightarrow a^{m+\varepsilon }=a^{n}$ $\Leftrightarrow a^{m}\cdot a^{\varepsilon }=a^{n}$ Però $a^{\varepsilon }\neq 1$, de fet $a^{\varepsilon }=1\Leftrightarrow a=1\lor \varepsilon =0,$ per tant $a^{m}\cdot a^{\varepsilon }=a^{n}$ $\Leftrightarrow a^{m}\neq a^{n}$ El camí invers es fa construint un valors $\delta \neq 1$ que $a^{m}\cdot \delta =a^{n}$ i és per tant $a^{\varepsilon }=\delta$ Per tant queda provat que $a^{n}=a^{m}$ $\Leftrightarrow n=m$ i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra.

Exemples d'equacions:

1) Troba la solució de:

a) $3^{x}=9$

b) $7^{3x}=7^{2}$

c) $2^{1-x}=8$

d) $5^{2x}+5^{x}=2$

Equacions logarítmiques

Propietats

$\log _{a}x=\log _{a}y$ $\Leftrightarrow x=y$

$\log _{a}a=1\;$ 𝑖 $\;\log _{a}1=0$

$\log _{a}x={\frac {\log x}{\log a}}$

$\log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y$

$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y$

$\log _{a}(x^{n})=n\log _{a}x$

$\log _{a}{\sqrt[{n}]{x}}={\tfrac {log_{a}x}{n}}$

Les equacions logarítmiques són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes.

Notació

El logaritme en base a de argument x i índex o resultat y s'escriu com:

$\log _{a}x=y$ on x és un nombre real a $(0,+\infty )$

Recordant que:

$\log x$ serà el logaritme en base 10, és a dir $\log _{10}x.$

$\ln x$ serà el logaritme en base e, és a dir $\log _{e}x$ i se'n diu logaritme neperià o natural.

Definició

$\log _{a}x=y$ $\Leftrightarrow x=a^{y},\;\;$ on $x\in (0,+\infty )$

En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de $\log x$ com a $\log _{e}x,$ i també per defecte es pot trobar $\log x$ com a $\log _{2}x.$