Equacions III

En aquesta secció veurem els dos mètodes generals per aïllar la x i com es combinen entre ells. Són molt utilitzades a les matemàtiques a partir de segon d'ESO.

Igualtats i equacions

Una igualtat és afirmar que dos coses són iguals, saber que el valor a banda i banda de la igualtat és exactament el mateix. En general es diu igualtat quan es vol proposar aquest fet i no cal provar-lo. Es pot fer que dues coses siguin iguals en determinats aspectes o situacions excloent altres aspectes:

$x=2\;kg$

$x^{2}=x\cdot x$

Una equació és una proposta de relació entre dos expressions unides amb un símbol d'igualtat, però que no són necessàriament iguals de bon principi. Així una equació estableix una condició entre dues expressions.

$2\cdot x-3=5$

$x=2\cdot a$

La utilització freqüent d'equacions és per establir lligams entre diversos valors i per tant deduir uns respecte d'altres. Així docs s'estableix la cercar valors a partir d'altres valors.

La resolució d'equacions permet determinar els valors pels quals es produeix una igualtat. Així resoldre una equació és preguntar-se quins valors es transforma en igualtat i trobar aquests valors. En aquesta secció per trobar els valors buscats de x l'únic que cal fer és aïllar la x seguint petites receptes d'aïllament.

Mètode per aïllar

Que vol dir aïllar la x?

Vol dir deixar la x sola a una banda del símbol igual, =, i a l'altra cantó no pot haver-hi cap x, exemple de x aïllada:

$x={\frac {\;\;{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}-4\;\;}{5-2^{2}}}$

Aquesta posició ens permet calcular el valor de x fent purament càlculs.

Podem aïllar una y?

Sí que es pot, però es prioritza l'aïllament de x. De fet podem aïllar el que es vulgui o es demani.

Quin procediment farem per aïllar la x?

Cada operació té un procediment o mètode algebraic per desfer-la que per simplificar-lo en direm moviments, només farem els més importants a recordar per sempre.

Moviments per sumes i restes

$x+a=y$ $x=y-a$	$x-a=y$ $x=y+a$
$a+x=y$ $x=-a+y$	$-a+x=y$ $x=+a+y$

Nota: La x també es pot moure en qualsevol moment.

Cas: $x+a=y$ Comparant l'equació amb una balança, si restem a un costat de la igualtat llavors també restem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): $x+a=y\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;x+a\color {red}-a\color {black}=y\color {red}-a\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;x+0=y-a\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;x=y-a$ El resultat és un moviment; tot valor +a que suma i és positiu a un costat passa a l'altre amb signe canviat -a: $x=y-a$

Cas: $x-a=y$ Comparant l'equació amb una balança, si sumem a un costat de la igualtat llavors també sumem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): $x-a=y\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;x-a\color {red}+a\color {black}=y\color {red}+a\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;x+0=y+a\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;x=y+a$ El resultat és un moviment; tot valor -a que resta o és negatiu sumant a un costat passa a l'altre amb signe canviat +a: $x=y+a$

Cas: $a+x=y$ $a+x=y\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;\color {red}-a\color {black}+a+x=\color {red}-a\color {black}+y\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;0+x=-a+y\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;x=-a+y.$

Cas: $-a+x=y$ $-a+x=y\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;\color {red}+a\color {black}-a+x=\color {red}+a\color {black}+y\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;0+x=a+y\;\;\;$ $\Rightarrow \;\;\;x=a+y.$

Exemples:

$1)\;2+x=14$ A +2 li suma una x, si volem deixar sola la x llavors el +2 passa a l'altre cantó com a -2. + x = + 14 - 2 Operant surt: x = 12 Ja hem acabat.	$2)\;x-3=14$ A x li resta 3, si volem deixar sola la x llavors el -3 passa a l'altre cantó com a +3. + x = + 14 + 3 Operant surt: x = 17 Ja hem acabat.
$3)\;-4+x=0$ A -4 li suma x, si volem deixar sola la x llavors el -4 passa a l'altre cantó com a +4. + x = + 0 + 4 Operant surt: x = 4 Ja hem acabat.	$4)\;x+1=1$ A +x li suma 1, si volem deixar sola la x llavors el +1 passa a l'altre cantó com a -1. + x = + 1 - 1 Operant surt: x = 0 Ja hem acabat.
$5)\;3+x-2=7$ A +3 li suma x i li resta 2, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a l'altre cantó com a -3 i el -2 passa a l'altre cantó com a +2. + x = + 7 - 3 + 2 Operant surt: x = 6 Ja hem acabat.	$6)\;x-3+x=x+10$ A +x li resta 3 i li suma x, si volem deixar sola la x llavors El -3 passa a l'altre cantó com a +3. El +x del cantó dret passa a l'altre cantó com a -x. + x + x - x = + 10 + 3 Operant surt: x = 13 Ja hem acabat.
$7)\;3x-2=2x+5$ Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta El +2x passa a l'altre cantó com a -2x. El -2 passa a l'altre cantó com a +2. 3x-2x=5+2 Operant surt: x = 7 Ja hem acabat.	$8)\;4-x+2+2x=10$ Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta El -x+2x és x perquè a 2x li restem una x. No hem fet cap moviment per sobre el signe d'igualtat. El +4 i +2 passa a l'altre cantó com -4 i -2. x=10-4-2 Operant surt: x=4 Ja hem acabat.
$9)\;x+5+x-4=5+x-3$ Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. Canviant de lloc el +5, -4 i +x tenim. x+x-x=5-3-5+4 Operant surt: x=1 Ja hem acabat.	$10)\;x-5+x-2=7-x+2x$ Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. Canviant de lloc el -x, +2x, -5 i -2 tenim. x+x+x-2x=7+5+2 Operant surt: x=14 Ja hem acabat.

Exercicis

Els exercicis s'han de fer amb els passos de la taula encara que es vegi a ull la solució.

$5+x=8$	$x-5=13x=13+5=x=18$	$-3+x=7$	$2+x-1=5$
$-3+x+2=-8$	$-2+x-2=-7$	$x+5+x=x+8$	$0+x-3+2x=2x+6$

Moviments per multiplicacions i divisions

$x\cdot a=y$ $x={\frac {y}{a}}$	${\frac {x}{a}}=y$ $x=y\cdot a$
$a\cdot x=y$ $x={\frac {y}{a}}$	${\frac {x}{a}}=y$ $x=a\cdot y$

Nota: aquest moviments no canvien mai el signe.

Exemples:

$1)\;3\cdot x=16$ A +3 li multiplica x, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a dividir a +16 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: $+x={\frac {+16}{+3}}$ és a dir $x={\frac {16}{3}}.$	$2)\;x\cdot 10=0$ A +x li multiplica +10, si volem deixar sola la x llavors el +10 passa a dividir a +0 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: $+x={\frac {+0}{+10}}$ Operant surt $x=0.$	$3)\;{\frac {x}{37}}=1$ A +x li divideix +37, si volem deixar sola la x llavors el +37 passa a multiplicar a +1 sense canvi de signe perquè estava dividint: $+x=+1\cdot (+37)$ Operant surt $x=37$
$4)\;{\frac {x}{-2}}=5$ A +x li divideix -2, si volem deixar sola la x llavors el -2 passa a multiplicar a +5 sense canvi de signe perquè estava dividint: $+x=+5\cdot (-2)$ Operant surt $x=-10$	$5)\;{\frac {x\cdot 2}{3}}=10$ A +x li multiplica el +2 i després divideix +3, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a multiplicar a +10 sense canvi de signe perquè estava dividint: $+x2=+10\cdot 3$ ara el +2 que multiplica passa a dividir com a +2 sense canvi de digne perquè estava multiplicant: $+x={\frac {+10\cdot 3}{+2}}$ Operant surt $x=15$	$6)\;{\frac {x}{4}}={\frac {3}{4}}$ A +x li divideix +4, si volem deixar sola la x llavors el +4 passa a multiplicar la fracció $+{\frac {3}{4}}$ o al +3, és el mateix, sense canvi de signe perquè estava dividint: $+x=+{\frac {3}{4}}\cdot 4$ o millor escrit $+x=+{\frac {3\cdot 4}{4}}$ Operant surt $x=3$
$7)\;8\cdot x=8\cdot 15$ A +8 multiplica a x, si volem deixar sola la x llavors el +8 passa a dividir a 8·15 sense canvi de signe perquè estava multiplicant: $+x={\frac {+8\cdot 15}{+8}}$ Operant surt $x=15$

Solucions d'una equació

En solucionar equacions senzilles apareixien 3 casos a tenir en compte sempre.

Una solució

Tenen una solució les equacions on la x pren un únic valor com per exemple:

$3x+2=8$

Resolent tenim: $3\cdot x=8-2$ $3\cdot x=6$ $x={\frac {6}{3}}$ Per tant $x=2$

Per tant l'únic valors és x=2, si provem un altre valor sigui quin sigui no funciona.

Proves amb diferents valors de l'equació $3x+2=8.$

Comprovem si la solució x=2 és certa, per tant es subtitueix 2 dins l'equació: $3\cdot (2)+2=8$ operant tenim $6+2=8$ i finalment $8=8$ i com que és cert tenim que la solució és correcta. Comprovem una possible solucions com x=0 que és la més ràpida: $3\cdot (0)+2=8$ operant tenim $0+2=8$ i finalment $2=8$ i com que és fals tenim que 0 no és solució. Comprovem una possible solució com x=4: $3\cdot (4)+2=8$ operant tenim $12+2=8$ i finalment $14=8$ i com que és fals tenim que 4 no és solució. Comprovem una possible solució com x=-3: $3\cdot (-3)+2=8$ operant tenim $-9+2=8$ i finalment $-7=8$ i com que és fals tenim que -3 no és solució. i així podem provar qualsevol altre valor per a x i garanteix que no funcionarà tampoc gràcies a la utilització correcta dels moviments algebraics.

Cap solució

No tenen cap solució les equacions on fent moviments desapareix la x i queda una igualtat contradictòria com:

$3x+2=x+1+2x$

Tot valor és solució

Tots els valors són solució d'una equació on fent moviments on desapareix la x obtenim trivialitats del tipus 0=0 com:

$x+5=3+x+2$

Equació de segon grau

Les equacions de segon grau són de la forma:

$ax^{2}+bx+c=0$

Per tant es tracta d'un polinomi de grau 2 igualat a zero.

La fórmula de resolució és la següent:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Exemples detallats:

1) $3x^{2}+2x-5=0$

Càlcul de solucions: Pas 1: Identificar a, b i c. La "a" sempre serà el valor que acompanya a $x^{2}$ i en aquest cas a=3. La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es b=2. Per últim "c" és qui està sol, es a dir c=-5. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: $x={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 3\cdot (-5)}}}{2\cdot 3}}$ Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". $x={\frac {-2\pm {\sqrt {4+60}}}{6}}={\frac {-2\pm {\sqrt {64}}}{6}}={\frac {-2\pm 8}{6}}$ $={\begin{cases}{\frac {-2+8}{6}}={\frac {6}{6}}=1\\\\{\frac {-2-8}{6}}={\frac {-10}{6}}=-{\frac {5}{3}}\end{cases}}$ Per tant les dues solucions són $x_{1}=1$ i $x_{2}=-{\frac {5}{3}}$

2) $5x^{2}-6x+1=0$

Càlcul de solucions: Pas 1: Identificar a, b i c. La "a" sempre serà el valor que acompanya a $x^{2}$ i en aquest cas a=5. La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es b=-6. Per últim "c" és qui està sol, es a dir c=1. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: $x={\frac {-(-6)\pm {\sqrt {(-6)^{2}-4\cdot 5\cdot 1}}}{2\cdot 5}}$ Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". $x={\frac {+6\pm {\sqrt {36-20}}}{10}}={\frac {6\pm {\sqrt {16}}}{10}}={\frac {6\pm 4}{10}}$ $={\begin{cases}{\frac {6+4}{10}}={\frac {10}{10}}=1\\\\{\frac {6-4}{10}}={\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}\end{cases}}$ Per tant les dues solucions són $x_{1}=1$ i $x_{2}={\frac {1}{5}}.$

3) $x^{2}+x+1=0$

Càlcul de solucions: Pas 1: Identificar a, b i c. La "a" sempre serà el valor que acompanya a $x^{2}$ i en aquest cas a=1. La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es b=1. Per últim "c" és qui està sol, es a dir c=1. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: $x={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}}$ Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". $x={\frac {-1\pm {\sqrt {1-4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$ Si el discriminant és negatiu, en aquest cas -3, direm que l'equació de segon grau no té solució.

4) $x^{2}+2x+1=0$

Càlcul de solucions: Pas 1: Identificar a, b i c. La "a" sempre serà el valor que acompanya a $x^{2}$ i en aquest cas a=1. La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es b=2. Per últim "c" és qui està sol, es a dir c=1. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: $x={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}}$ Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". $x={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {0}}}{2}}={\frac {-1\pm 0}{2}}={\frac {-1}{2}}=-{\frac {1}{2}}$ Si el discriminant és zero direm que l'equació de segon grau té una única solució que és $x=-{\frac {1}{2}}.$