Exemples de funcions a trossos

Recull de funcions a trossos que s'anirà omplint poc a poc.

En principi agruparem pel nombre de trossos amb funcions constants, 3r ESO, i a continuació fer la resta de funcions, resta de cursos.

Funció a trossos

Una funció a trossos consisteix en una funció construïda a partir d'altres funcions, didàcticament es pot escriure les altres funcions com $g_i(x)$ considerant la funció $f(x)$ podrà prendre $x\in ℝ$ didàcticament significa que pren tots els nombres possibles.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{g}_1(x)& \text{ si }x<0\\ g_2(x)& \text{ si }0⩽x\text{ i }x<1\\ g_3(x)& \text{ si }1⩽x\end{array}$

Cada $g_i(x)$ s'ha de dir com es fa la taula de valors per fer la representació gràfica allà on indica el domini:

• La $g_1(x)$ diu que només farà la taula per les $x<0.$
• La $g_2(x)$ diu que només farà la taula per a valors que estan entre 0 i 1 amb el zero inclòs.
• La $g_3(x)$ diu que només farà la taula per a valors més grans o iguals que 1.

A partir d'ara posarem la funció explícitament i ja no la $g_i(x).$

Funcions de dos trossos

1) Funció que confirma part positiva o esgraó unitari:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ si }x<0\\ 1& \text{ si }x⩾0\end{array}$

2) Funció que confirma el zero com o punt aïllat:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ si }x=0\\ 0& \text{ si }x\in ℝ-\{0\}\end{array}$

Funcions de tres trossos

1) Funció signe, és una funció que pren el signe dels valors i el representa:

$f(x)=Signe(x)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{ si }x<0\\ 0& \text{ si }x=0\\ 1& \text{ si }x>0\end{array}$

2) $f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ si }x<-1\\ 0& \text{ si }-1⩽x<0\\ -1& \text{ si }0⩽x\end{array}$

Funció de cinc trossos

1) $f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ si }x<-2\\ 2& \text{ si }-2⩽x<-1\\ 3& \text{ si }-1⩽x<0\\ 4& \text{ si }0⩽x<1\\ 5& \text{ si }1⩽x\end{array}$

Funció de trossos numerables

1) Funció part entera on clarament el zero té una llargària major:

$f(x)=[x]=\{\begin{array}{cc}n\in \mathbb{Z}& \text{ si }x<0\text{ i }x\in (n-1,n]\\ \\ n\in \mathbb{Z}& \text{ si }x⩾0\text{ i }x\in [n,n+1)\end{array}$

És una funció molt utilitzada a programació coneguda com trunc(x) o de semblants com round(x), floor(x) i ceil(x)

Barreges amb funcions a trossos

Funcions afins

1) Funció valor absolut, és una funció que treu el signe negatiu dels valors:

$f(x)=|x|=\{\begin{array}{cc}-x& \text{ si }x<0\\ x& \text{ si }x⩾0\end{array}$

2) $f(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ si }x<0\\ 1& \text{ si }0⩽x⩽3\\ x& \text{ si }3<x\end{array}$

3) $f(x)=\{\begin{array}{cc}-3-x& \text{ si }x⩽-2\\ 1& \text{ si }-2<x⩽0\\ x-1& \text{ si }0<x<3\\ x-4& \text{ si }3⩽x\end{array}$

4) $f(x)=\{\begin{array}{cc}-2-x& \text{ si }x⩽-1\\ 1+x& \text{ si }-1<x⩽0\\ x-2& \text{ si }0<x<4\\ \frac{x}{2}& \text{ si }4⩽x\end{array}$

5) $f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ si }x<-2\\ x-2& \text{ si }-2⩽x<-1\\ 0& \text{ si }-1⩽x⩽0\\ 3-x& \text{ si }0<x<1\\ -3& \text{ si }1⩽x\end{array}$

6) $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{2}+1& \text{ si }x<-2\\ -\frac{x+1}{2}& \text{ si }-2⩽x<-1\\ -x& \text{ si }-1⩽x⩽0\\ x& \text{ si }0<x<1\\ 2x-2& \text{ si }1⩽x<2\\ 3-x& \text{ si }2⩽x\end{array}$

7)

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ si }x<-2\\ x& \text{ si }-2⩽x<-1\\ -x& \text{ si }-1⩽x<0\\ x+1& \text{ si }0⩽x⩽1\\ 2x-1& \text{ si }1<x⩽2\\ -2& \text{ si}2<x\end{array}$

f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ if } x<-2 \\ x & \text{ if } -2\leqslant x<-1\\ -x & \text{ if } -1\leqslant x<0\\ x+1 & \text{ if } 0\leqslant x\leqslant 1\\ 2x-1 & \text{ if } 1<x\leqslant 2\\ -2 & \text{ if } 2< x \end{cases}

Funcions quadràtiques

1) $f(x)=\{\begin{array}{cc}(1-x{)}^2& \text{ si }x<1\\ x& \text{ si }1⩽x<2\\ \frac{x^2}{4}& \text{ si }2⩽x\end{array}$

2) $f(x)=\{\begin{array}{cc}-x^2& \text{ si }x<-1\\ -x& \text{ si }-1⩽x<1\\ \frac{x^2}{2}& \text{ si }1⩽x\end{array}$

3) $f(x)=\{\begin{array}{cc}2& \text{ si }x<-1\\ x^2-2& \text{ si }-1⩽x⩽0\\ -x^2+2& \text{ si }0<x⩽2\\ x& \text{ si }3<x\end{array}$

4) $f(x)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{ si }x<-1\\ -x^2& \text{ si }-1⩽x⩽0\\ 2& \text{ si }0<x⩽1\\ x^2& \text{ si }1<x⩽2\\ x& \text{ si }2<x\end{array}$