Exemples de funcions a trossos

Recull de funcions a trossos que s'anirà omplint poc a poc.

En principi agruparem pel nombre de trossos amb funcions constants, 3r ESO, i a continuació fer la resta de funcions, resta de cursos.

Funció a trossos

Una funció a trossos consisteix en una funció construïda a partir d'altres funcions, didàcticament es pot escriure les altres funcions com $g_{i}(x)$ considerant la funció $f(x)$ podrà prendre $x\in \mathbb {R}$ didàcticament significa que pren tots els nombres possibles.

$f(x)={\begin{cases}g_{1}(x)&{\text{ si }}x<0\\g_{2}(x)&{\text{ si }}0\leqslant x{\text{ i }}x<1\\g_{3}(x)&{\text{ si }}1\leqslant x\end{cases}}$

Cada $g_{i}(x)$ s'ha de dir com es fa la taula de valors per fer la representació gràfica allà on indica el domini:

• La $g_{1}(x)$ diu que només farà la taula per les $x<0.$
• La $g_{2}(x)$ diu que només farà la taula per a valors que estan entre 0 i 1 amb el zero inclòs.
• La $g_{3}(x)$ diu que només farà la taula per a valors més grans o iguals que 1.

A partir d'ara posarem la funció explícitament i ja no la $g_{i}(x).$

Funcions de dos trossos

1) Funció que confirma part positiva o esgraó unitari:

$f(x)={\begin{cases}0&{\text{ si }}x<0\\1&{\text{ si }}x\geqslant 0\end{cases}}$

2) Funció que confirma el zero com o punt aïllat:

$f(x)={\begin{cases}1&{\text{ si }}x\in \mathbb {R} \\0&{\text{ si }}x\in \mathbb {R} -\{0\}\end{cases}}$

Funcions de tres trossos

1) Funció signe, és una funció que pren el signe dels valors i el representa:

$f(x)=Signe(x)={\begin{cases}-1&{\text{ si }}x<0\\0&{\text{ si }}x=0\\1&{\text{ si }}x>0\end{cases}}$

2) $f(x)={\begin{cases}1&{\text{ si }}x<-1\\0&{\text{ si }}-1\leqslant x<0\\-1&{\text{ si }}0\leqslant x\end{cases}}$

Funció de cinc trossos

1) $f(x)={\begin{cases}1&{\text{ si }}x<-2\\2&{\text{ si }}-2\leqslant x<-1\\3&{\text{ si }}-1\leqslant x<0\\4&{\text{ si }}0\leqslant x<1\\5&{\text{ si }}1\leqslant x\end{cases}}$

Funció de trossos numerables

1) Funció part entera on clarament el zero té una llargària major:

$f(x)=[x]={\begin{cases}n\in \mathbb {Z} &{\text{ si }}x<0{\text{ i }}x\in (n-1,n]\\\\n\in \mathbb {Z} &{\text{ si }}x\geqslant 0{\text{ i }}x\in [n,n+1)\end{cases}}$

És una funció molt utilitzada a programació coneguda com trunc(x) o de semblants com round(x), floor(x) i ceil(x)

Barreges amb funcions a trossos

Funcions afins

1) Funció valor absolut, és una funció que treu el signe negatiu dels valors:

$f(x)=|x|={\begin{cases}-x&{\text{ si }}x<0\\x&{\text{ si }}x\geqslant 0\end{cases}}$

2) $f(x)={\begin{cases}0&{\text{ si }}x<0\\1&{\text{ si }}0\leqslant x\leqslant 3\\x&{\text{ si }}3<x\end{cases}}$

3) $f(x)={\begin{cases}-3-x&{\text{ si }}x\leqslant -2\\1&{\text{ si }}-2<x\leqslant 0\\x-1&{\text{ si }}0<x<3\\x-4&{\text{ si }}3\leqslant x\end{cases}}$

4) $f(x)={\begin{cases}-2-x&{\text{ si }}x\leqslant -1\\1+x&{\text{ si }}-1<x\leqslant 0\\x-2&{\text{ si }}0<x<4\\{\frac {x}{2}}&{\text{ si }}4\leqslant x\end{cases}}$

5) $f(x)={\begin{cases}1&{\text{ si }}x<-2\\x-2&{\text{ si }}-2\leqslant x<-1\\0&{\text{ si }}-1\leqslant x\leqslant 0\\3-x&{\text{ si }}0<x<1\\-3&{\text{ si }}1\leqslant x\end{cases}}$

6) $f(x)={\begin{cases}{\tfrac {x}{2}}+1&{\text{ si }}x<-2\\-{\tfrac {x+1}{2}}&{\text{ si }}-2\leqslant x<-1\\-x&{\text{ si }}-1\leqslant x\leqslant 0\\x&{\text{ si }}0<x<1\\2x-2&{\text{ si }}1\leqslant x<2\\3-x&{\text{ si }}2\leqslant x\end{cases}}$

7)

$f(x)={\begin{cases}1&{\text{ si }}x<-2\\x&{\text{ si }}-2\leqslant x<-1\\-x&{\text{ si }}-1\leqslant x<0\\x+1&{\text{ si }}0\leqslant x\leqslant 1\\2x-1&{\text{ si }}1<x\leqslant 2\\-2&{\text{ si}}2<x\end{cases}}$

f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ if } x<-2 \\ x & \text{ if } -2\leqslant x<-1\\ -x & \text{ if } -1\leqslant x<0\\ x+1 & \text{ if } 0\leqslant x\leqslant 1\\ 2x-1 & \text{ if } 1<x\leqslant 2\\ -2 & \text{ if } 2< x \end{cases}

Funcions quadràtiques

1) $f(x)={\begin{cases}(1-x)^{2}&{\text{ si }}x<1\\x&{\text{ si }}1\leqslant x<2\\{\dfrac {x^{2}}{4}}&{\text{ si }}2\leqslant x\end{cases}}$

2) $f(x)={\begin{cases}-x^{2}&{\text{ si }}x<-1\\-x&{\text{ si }}-1\leqslant x<1\\{\dfrac {x^{2}}{2}}&{\text{ si }}1\leqslant x\end{cases}}$

3) $f(x)={\begin{cases}2&{\text{ si }}x<-1\\x^{2}-2&{\text{ si }}-1\leqslant x\leqslant 0\\-x^{2}+2&{\text{ si }}0<x\leqslant 2\\x&{\text{ si }}3<x\end{cases}}$

4) $f(x)={\begin{cases}-1&{\text{ si }}x<-1\\-x^{2}&{\text{ si }}-1\leqslant x\leqslant 0\\2&{\text{ si }}0<x\leqslant 1\\x^{2}&{\text{ si }}1<x\leqslant 2\\x&{\text{ si }}2<x\end{cases}}$