Exercicis Límits 01

Exercicis de límits ordenats segons el procediments preparat exclusivament per funcions.

Cal recordar que podeu fer servir eines per fer límits i comprovar la solució o inclús el procediment.

• Symbolab.

Resum de límits

Donada la funció $f(x)$ i un valors $a\in \mathbb {R}$ direm que:

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=L$

és el límit de la funció $f(x)$ quan la seva $x$ s'apropa contínuament al valor $a$ i en direm $L.$

Notes:

• El valor $a$ no cal que sigui del domini sinó que almenys la $x$ es pugui apropar indefinidament.

• Si la $x$ s'acost amb valors $x<a$ direm que és el límit lateral:

$\lim _{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L_{1}$

• Si la $x$ s'acost amb valors $a<x$ direm que és el límit lateral:

$\lim _{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L_{2}$

• Un límit sobre $x\in \mathbb {R}$ existeix, si i només si, $L_{1}=L_{2}$

• Si el valor $a$ està dins del domini, $a\in Dom(f),$ llavors segur que:

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Límits amb funcions elementals

Presentem els límits de funcions elementals quan ens apropem a la vora exterior del seu domini.

1) $f(x)=x^{r}$

Cas $0<r$ on $r\in \mathbb {R}$ es té: $\lim _{x\rightarrow +\infty }x^{r}=+\infty$ Cas $r<0$ on $r\in \mathbb {R}$ es té: $\lim _{x\rightarrow +\infty }x^{r}=0$ $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}x^{r}=+\infty$ Cas $1\leqslant r$ on $r\in \mathbb {N}$ es té: $\lim _{x\rightarrow -\infty }x^{r}=+\infty ,r\,\,parell$ $\lim _{x\rightarrow -\infty }x^{r}=-\infty ,r\,\,imparell$ Cas $r={\frac {1}{q}}$ on $q\in \mathbb {N}$ i $1\leqslant q$ es té: $\lim _{x\rightarrow -\infty }x^{\frac {1}{q}}=No\;existeix,\;q\,\,parell$ $\lim _{x\rightarrow -\infty }x^{\frac {1}{q}}=-\infty ,\;q\,\,imparell$

Operacions de límits com a aplicació

Si $\lim _{x\to a}{f(x)}=L_{f}$ i $\lim _{x\to a}{g(x)}=L_{g}$

• $\lim _{x\to a}{\left(f(x)+g(x)\right)}=\lim _{x\to a}{f(x)}+\lim _{x\to a}{g(x)}=L_{f}+L_{g}$
• $\lim _{x\to a}{\left(b\cdot f(x)\right)}=b\cdot \lim _{x\to a}{f(x)}=b\cdot L_{f},b\in \mathbb {R}$
• $\lim _{x\to a}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\lim _{x\to a}{f(x)}\cdot \lim _{x\to a}{g(x)}=L_{f}\cdot L_{g}$
• $\lim _{x\to a}{\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)}={\frac {\lim _{x\to a}{f(x)}}{\lim _{x\to a}{g(x)}}}={\frac {L_{f}}{L_{g}}}$
• $\lim _{x\to a}{\left(f(x)^{g(x)}\right)}=\left(\lim _{x\to a}{f(x)}\right)^{\lim _{x\to a}{g(x)}}=\left(L_{f}\right)^{L_{g}}$

Operacions amb límits de funcions

Taula sense indeterminacions, és a dir, que en vermell els límits no està decidit encara.

$L_{f}=$

$0$

$a\neq 0$

$-\infty$

$+\infty$

$L_{g}=$

$0$

$b\neq 0$

$-\infty$

$+\infty$

$0$

$b\neq 0$

$-\infty$

$+\infty$

$0$

$b\neq 0$

$-\infty$

$+\infty$

$0$

$b\neq 0$

$-\infty$

$+\infty$

$L_{f}+L_{g}$

$0$

$b$

$-\infty$

$+\infty$

$a$

$a+b$

$-\infty$

$+\infty$

$-\infty$

$-\infty$

$-\infty$

$+\infty$

$+\infty$

$+\infty$

$L_{f}\cdot L_{g}$

$0$

$0$

$0$

$a\cdot b$

$\pm \infty$

$\pm \infty$

$\pm \infty$

$+\infty$

$-\infty$

$\pm \infty$

$-\infty$

$+\infty$

${\frac {L_{f}}{L_{g}}}$

$0$

$0$

$0$

$\pm \infty$

${\frac {a}{b}}$

$0$

$0$

$\pm \infty$

$\pm \infty$

$\pm \infty$

$\pm \infty$

$L_{f}=$

$0^{+}$

$0<a<1$

$1$

$1<a$

$+\infty$

$L_{g}=$

$-\infty$

$b<0$

$0$

$0<b$

$+\infty$

$-\infty$

$b$

$+\infty$

$-\infty$

$b<0$

$0$

$0<b$

$+\infty$

$-\infty$

$b$

$+\infty$

$-\infty$

$b<0$

$0$

$0<b$

$+\infty$

${L_{f}}^{L_{g}}$

$+\infty$

$+\infty$

$0$

$0$

$+\infty$

$a^{b}$

$0$

$1$

$1$

$1$

$0$

$a^{b}$

$+\infty$

$0$

$0$

$+\infty$

$+\infty$

Límits amb propietats bàsiques

1) Càlcul de límits si $f(x)=x.$
	$a)\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow 0}x=0,$ també es pot dir que el límit és zero per substitució ja que $f(0)=0.$
	$b)\lim _{x\rightarrow r}f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow r}x=r,$ també es pot dir que el límit és r per substitució ja que $f(r)=r.$
	$c)\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow -\infty }x=-\infty ,$ pràcticament per definició de $x.$
	$d)\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow +\infty }x=+\infty ,$ pràcticament per definició de $x.$

2) Càlcul de límits si $f(x)=3,$ anomenada funció constant.
	$a)\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow 0}3=3,$ també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que $f(0)=3.$
	$b)\lim _{x\rightarrow r}f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow r}3=3,$ també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que $f(r)=3.$
	$c)\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow -\infty }3=3.$
	$d)\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow +\infty }3=3.$

3) Càlcul de límits si $f(x)=x^{2}-1.$
	$a)\lim _{x\rightarrow 2}f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow 2}\left(x^{2}-1\right)=2^{2}-1.$
	$b)\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow -\infty }\left(x^{2}-1\right)$ $=\lim _{x\rightarrow -\infty }\left(x\cdot x-1\right)$ $=\lim _{x\rightarrow -\infty }(x\cdot x)-\lim _{x\rightarrow -\infty }(1)$ $=\lim _{x\rightarrow -\infty }(x)\cdot \lim _{x\rightarrow -\infty }(x)-\lim _{x\rightarrow -\infty }(1)$ $=(-\infty )\cdot (-\infty )-1$ $=+\infty -1=+\infty .$
	$c)\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(x^{2}-1\right)$ $=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(x\cdot x-1\right)$ $=\lim _{x\rightarrow +\infty }(x\cdot x)-\lim _{x\rightarrow +\infty }(1)$ $=\lim _{x\rightarrow +\infty }(x)\cdot \lim _{x\rightarrow +\infty }(x)-\lim _{x\rightarrow +\infty }(1)$ $=(+\infty )\cdot (+\infty )-1$ $=+\infty -1=+\infty .$

4) Càlcul de límits si $f(x)=5\cdot {\sqrt {x}}.$
	$a)\lim _{x\rightarrow 4}f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow 4}\left(5\cdot {\sqrt {x}}\right)=5\cdot {\sqrt {4}}=5\cdot 2=10.$
	$b)\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow 0}\left(5\cdot {\sqrt {x}}\right)=5\cdot {\sqrt {0}}=5\cdot 0=0.$
	$c)\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow -\infty }\left(5\cdot {\sqrt {x}}\right),$ no és possible que $x$ prengui valors negatius, ja que $Dom(f)=[0,+\infty )$
	$d)\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)$	$=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(5\cdot {\sqrt {x}}\right)$ $=\lim _{x\rightarrow +\infty }(5)\cdot \lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\sqrt {x}}\right)$ $=5\cdot (+\infty )$ $=+\infty .$

Exercicis

1) Càlcul de operacions entre límits.

a) $+\infty \cdot (-4)=$