Mạch điện RLC

Ở trạng thái cân bằng

Với R khác không

$v_{L}+v_{c}+v_{R}=0$

$L{\frac {d}{dt}}i+{\frac {1}{C}}\int idt+iR=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}i+{\frac {R}{L}}{\frac {d}{dt}}i+{\frac {1}{LC}}i=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}i=-2\alpha {\frac {d}{dt}}i-\beta i$

Phương trình trên có nghiệm

Một nghiệm số thực khi $\alpha =\beta$ . $i=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )$

Hai nghiệm số thực khi $\alpha >\beta$ . $i=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}=Ae^{-\alpha t}e^{\lambda t}+Ae^{-\alpha t}e^{-\lambda t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$

Hai nghiệm số phức khi $\alpha <\beta$ . $i=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=Ae^{-\alpha t}e^{\pm j\omega t}=A(\alpha )\sin \omega t$

Với

$\beta ={\frac {1}{T}}={\frac {1}{LC}}$

$\alpha =\beta \gamma ={\frac {R}{2L}}$

$T=LC$

$\gamma =RC$

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

Với R =0

$i^{''}(t)=-\beta i(t)$

$i(t)=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

Với R,C =0

$\nabla E(t)=-\omega E(t)$

$\nabla B(t)=-\omega B(t)$

$E(t)=A\sin \omega t$

$B(t)=A\sin \omega t$

$\omega =\lambda f={\sqrt {\frac {1}{T}}}=C$

$T=\mu \epsilon$

Với L =0

$v_{C}+v_{R}=0$

$C{\frac {d}{dt}}v(t)+{\frac {v(t)}{R}}=0$

${\frac {d}{dt}}v(t)=-{\frac {1}{T}}v(t)$

$v(t)=Ae^{-{\frac {t}{T}}}$

$T=RC$

Với C =0

$v_{L}+v_{R}=0$

$L{\frac {d}{dt}}i(t)+i(t)R=0$

${\frac {d}{dt}}i(t)=-{\frac {1}{T}}i(t)$

$i(t)=Ae^{-{\frac {t}{T}}}$

$T={\frac {L}{R}}$

Ở trạng thái đồng bộ

Với R khác không

$Z_{C}=-Z_{L}$ . $Z_{t}=R$,

$i(\omega =0)=0$

$i(\omega =\omega _{o})={\frac {v}{R}}$

$i(\omega =0)=0$

$\omega _{o}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T_{o}}}}$

$T_{o}=LC$

Với R =0

$Z_{C}=-Z_{L}$ . $V_{C}=-V_{L}$,

$i(t)=A\sin(\omega _{o}t+2\pi )-A\sin(\omega _{o}t-2\pi )$

$\omega _{o}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T_{o}}}}$

$T_{o}=LC$

Với R,C =0

$\nabla E(t)=-\omega _{o}E(t)$

$\nabla B(t)=-\omega _{o}B(t)$

$E(t)=A\sin \omega _{o}t$

$B(t)=A\sin \omega _{o}t$

$\omega _{o}=\lambda _{o}f_{o}={\sqrt {\frac {1}{T_{o}}}}=C$

$T_{o}=\mu _{o}\epsilon _{o}$