Matrius CCSS

Aquest resum intenta accedir a la geometria analítica d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics.

Matrius

Les matrius són valors agrupats com si fossin dins d'una quadrícula rectangular.

Exemples de matrius segons el tipus de nombres i possible procedència.

Matriu de nombres binaris: ${\begin{pmatrix}1&0&1&0&1&1\\1&0&1&1&0&1\\0&1&1&1&1&0\\1&0&0&0&1&1\\1&0&1&0&1&0\\0&0&1&1&0&0\end{pmatrix}}$ Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ${\begin{pmatrix}1&-{\tfrac {1}{5}}&{\tfrac {5}{2}}&-4&0\\{\tfrac {3}{2}}&0&{\tfrac {3}{11}}&0&{\tfrac {2}{5}}\end{pmatrix}}$ Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ${\begin{pmatrix}\pi &0\\0&e\\-1&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ Podrien aparèixer només en problemes molt particulars.

Notació

Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes $a_{i\,j}$ de les dues següents maneres:

$A={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}&a_{1\,4}&\cdots &a_{1\,n}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}&a_{2\,4}&\cdots &a_{2\,n}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&\cdots &a_{3\,n}\\a_{4\,1}&a_{4\,2}&a_{4\,3}&a_{4\,4}&\cdots &a_{4\,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&a_{m\,2}&a_{m\,3}&a_{m\,4}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}=(a_{i\,j})_{m\times n}$

• En direm matriu de dimensió $m\times n$, els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n.

El conjunt de totes les matrius $m\times n$ s'escriu $M_{m\times n}.$

• Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... .

Exemples

1) Donada una matriu $4\times 5$ tenim que és de la forma:

$A={\begin{pmatrix}2&0&0&-1&0\\0&3&0&6&0\\-5&4&8&10&2\\0&7&0&-4&0\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}&a_{1\,4}&a_{1\,5}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}&a_{2\,4}&a_{2\,5}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&a_{3\,5}\\a_{4\,1}&a_{4\,2}&a_{4\,3}&a_{4\,4}&a_{4\,5}\end{pmatrix}}=(a_{i\;j})_{4\times 5}$

Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com:

• Matrius columna $c_{4}(A)={\begin{pmatrix}-1\\6\\10\\-4\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\a_{2\,4}\\a_{3\,4}\\a_{4\,4}\end{pmatrix}}=(a_{i\,4})_{4}.$

• Matriu fila $f_{3}(A)={\begin{pmatrix}-5&4&8&10&2\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&a_{3\,5}\end{pmatrix}}=(a_{3\;j})_{5}.$

• Elements de la diagonal són els elements $(a_{i\,i})$ com $a_{1\,1}=2,$ $a_{2\,2}=3,$ $a_{3\,3}=8$ o també $a_{4\,4}=-4.$

• Matriu transposada és la matriu resultant de convertir totes les columnes $c_{i}$ en files $f_{i}$ de forma que els elements $a_{i\,j}$ ara ocupen el lloc simètric $b_{j\,i}$ dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu 5x4:

${\begin{pmatrix}2&0&-5&0\\0&3&4&7\\0&0&8&0\\-1&6&10&-4\\0&0&2&0\end{pmatrix}}=(b_{i\,j})_{5\times 4}$

2) Matrius quadrades si $m=n$ llavors direm que la matriu és d'ordre n, és a dir que l'amplada és igual a l'altura.

• Matriu diagonal si fora de la diagonal són tots zeros:

${\begin{pmatrix}2&0&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

• Matriu triangular superior si sota la diagonal són tots zeros:

${\begin{pmatrix}3&-3&1&0&0\\0&-2&0&-3&-3\\0&0&0&8&1\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&-7\end{pmatrix}}$

• Matriu triangular inferior si sobre la diagonal són tots zeros:

${\begin{pmatrix}-3&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\-2&1&1&0&0\\0&-5&0&2&0\\2&7&2&0&0\end{pmatrix}}$

• Matriu simètrica si els elements $a_{i\,j}=a_{j\,i}:$

${\begin{pmatrix}0&3&5&8&-4\\3&-4&1&-1&-5\\5&1&0&4&2\\8&-1&4&-2&9\\-4&-5&2&9&-3\end{pmatrix}}$

• Matriu antisimètrica si els elements $a_{i\,j}=-a_{j\,i}:$

${\begin{pmatrix}-7&-3&-5&-8&4\\3&1&-1&0&5\\5&1&1&-4&-2\\8&0&4&1&-9\\-4&-5&2&9&1\end{pmatrix}}$

3) Matriu zero o nul·la si tots els elements són zeros i el seu no és excepcionalment 0:

${\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}=0$

Operacions

Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera.

Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem $(a_{1\,1}\;\dots \;a_{1\,8})$ en comptes de $(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}),$ i es poden col·locar de verticals o diagonals.

Sumes

Suma de dues matrius A i B es defineix per:

$A+B$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1\,1}&\cdots &b_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m\,1}&\cdots &b_{m\,n}\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}+b_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}+b_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}+b_{m\,n}\end{pmatrix}}$ $=(a_{i\,j}+b_{i\,j})$

Propietats: Propietat associativa: A+(B+C)=(A+B)+C, en aquest cas podem escriure simplement A+B+C. Propietat commutativa: A+B=B+A. Element neutre: A+0=A, en aquest cas direm que 0 és l'element zero. Element invers: Donat A, existeix un element -A tal que A+(-A)=0, en aquest cas direm element oposat o negatiu.

D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.

Exemples

1) ${\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1+0&0+2\\-2+0&1+1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1&2\\-2&2\end{pmatrix}}$

2) ${\begin{pmatrix}-4&3&2\\1&5&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&2&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}-4+0&3+2&2+0\\1-2&5+0&-1+1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}-4&5&2\\-1&5&0\end{pmatrix}}$

3) $Oposat{\begin{pmatrix}-3&2&-1\\6&-4&5\end{pmatrix}}$ $=-{\begin{pmatrix}-3&2&-1\\6&-4&5\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}3&-2&1\\-6&4&-5\end{pmatrix}}$

Producte per escalar

Producte d'una constant k per una matriu A es defineix per:

$k\cdot A$ $=k\cdot {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1}&\cdots &k\cdot a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\k\cdot a_{m\,1}&\cdots &k\cdot a_{m\,n}\end{pmatrix}}$ $=(k\cdot a_{i\,j})$

Propietats: Propietat distributiva respecte la suma de matrius: $a\cdot (A+B)=a\cdot A+a\cdot B.$ Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: $(a+b)\cdot A=a\cdot A+b\cdot A.$ Propietat associativa: $(a\cdot b)\cdot A=a\cdot (b\cdot A).$ Element neutre respecte el producte: $1\cdot A=A,$ l'anomenarem element unitat o u.

Exemple

1) $3\cdot {\begin{pmatrix}2&1\\-3&0\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}3\cdot 2&3\cdot 1\\3\cdot (-3)&3\cdot 0\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}6&3\\-9&0\end{pmatrix}}.$

2) $-2\cdot {\begin{pmatrix}3&-5\\0&-1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}-2\cdot 3&-2\cdot (-5)\\-2\cdot 0&-2\cdot (-1)\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}-6&+10\\0&+2\end{pmatrix}}.$

Exercici

1) demostra que $-{\begin{pmatrix}5&8\\2&-7\end{pmatrix}}$ $=(-1)\cdot {\begin{pmatrix}5&8\\2&-7\end{pmatrix}}.$

Producte de matrius

Matriu fila multiplicat per matriu columna

Producte d'una matriu fila (f) $1\times n$ per una matriu columna (c) $n\times 1$:

$A\cdot B$ $={\begin{pmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$ $=f(A)\cdot c(B)$ $=a_{1}\cdot b_{1}+\ldots +a_{n}\cdot b_{n}$ $=d.$

Exemples

1) ${\begin{pmatrix}4&2&1&-2&-5&8&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\4\\5\\4\\-3\\-1\end{pmatrix}}$ $=4\cdot 2+2\cdot 1+1\cdot 4+(-2)\cdot 5+(-5)\cdot 4+8\cdot (-3)+0\cdot -1$ $=-40.$

2) ${\begin{pmatrix}1&0&1&0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}$ $=1\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 1$ $=0.$

Matriu nxp multiplicat per pxm

Producte d'una matriu $n\times p$ per una matriu $p\times m$ donant una matriu $n\times m$:

$A\cdot B$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,p}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,p}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1\,1}&\cdots &b_{1\,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p\,1}&\cdots &b_{p\,m}\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}f_{1}(A)\cdot c_{1}(B)&\cdots &f_{1}(A)\cdot c_{m}(B)\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n}(A)\cdot c_{1}(B)&\cdots &f_{n}(A)\cdot c_{m}(B)\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}d_{1\,1}&\cdots &d_{1\,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n\,1}&\cdots &d_{n\,m}\end{pmatrix}}$

Propietats: No sempre commuta el producte de matrius $AB\neq BA$ Propietat associativa: A(BC)=(AB)C Propietat distributiva: A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC. Element neutre: $I_{1}A=AI_{2}=A$, l'anomenarem matriu identitat. $I_{1}$ i $I_{2}$ són matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. Exemple d'una matriu identitat de dimensió 5. ${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$ Parlarem d'invers si donat A podem obtenir $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$

Exemples

1) Multiplicació a $M_{2\times 2}$ remarcant les files d'un i les columnes de l'altre:

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-5&6\\7&-8\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}6\\-8\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1\cdot (-5)+2\cdot 7&&1\cdot 6+2\cdot (-8)\\&&\\3\cdot (-5)+4\cdot 7&&3\cdot 6+4\cdot (-8)\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}9&-10\\13&14\end{pmatrix}}$

2) De la multiplicació d'una matriu per una matriu columna en resulta una matriu columna:

a)${\begin{pmatrix}-8&-1&2&-3\\0&7&3&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\3\\2\\1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}-8\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 2+(-3)\cdot 1\\0\cdot 4+7\cdot 3+3\cdot 2+6\cdot 1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}-34\\33\end{pmatrix}}$

b)${\begin{pmatrix}2&1\\5&3\\0&1\\-2&-3\\0&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}2\cdot 1+1\cdot 2\\5\cdot 1+3\cdot 2\\0\cdot 1+1\cdot 2\\-2\cdot 1+(-3)\cdot 2\\0\cdot 1+6\cdot 2\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}4\\11\\2\\-8\\12\end{pmatrix}}$

3) De la multiplicació d'una matriu fila per una matriu en resulta una matriu fila:

${\begin{pmatrix}-1&4&-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&0&4\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}-1\cdot (-1)+4\cdot 0+(-2)\cdot 1&-1\cdot 0+4\cdot 2+(-2)\cdot 0&-1\cdot 4+4\cdot 0+(-2)\cdot 3\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}-1&8&-10\end{pmatrix}}$

4) Multiplicació d'una matriu columna per una matriu fila:

${\begin{pmatrix}2\\1\\4\\5\\4\\-3\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4&2&1&-2&-5&8&0\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}8&4&2&-4&-10&16&0\\4&2&1&-2&-5&8&0\\16&8&4&-8&-20&32&0\\20&10&5&-10&-25&40&0\\16&8&4&-8&-20&32&0\\-12&-6&-3&6&15&-24&0\\-4&-2&-1&2&5&-8&0\end{pmatrix}}.$

Producte amb matrius del mateix ordre

Aquí remarcarem les propietats de les matrius quadrades com a exemples:

$AB\neq BA$

Només cal veure un cas afirmatiu, ja que també pot passar que $AB=BA$ Sigui $AB$ $={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}.$ Per tant $BA$ $={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}.$ Clarament tenim que ${\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$, és a dir $AB\neq BA.$

$AI=IA=A$

Cas: $AI$ $={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}=A.$ Cas: $IA$ $={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}=A.$ Per tant $AI=IA=A.$

$AA^{-1}=A^{-1}A=I$

Cas: $AA^{-1}$ $={\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I.$ Cas: $A^{-1}A$ $={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I.$ Per tant $AA^{-1}=A^{-1}A=I.$

Inversa de Gauss-Jordan

Per aplicar mètode i fer la inversa de la matriu A, s'ha de fer la següent construcció:

$(A\,\vdots \,I)$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&\dots &a_{1\,n}&\vdots &1&0&\dots &0\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&\dots &a_{2\,n}&\vdots &0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&a_{n\,2}&\dots &a_{n\,n}&\vdots &0&0&\dots &1\end{pmatrix}}$ $=\cdots$ $={\begin{pmatrix}1&0&\dots &0&\vdots &b_{1\,1}&b_{1\,2}&\dots &b_{1\,n}\\0&1&\dots &0&\vdots &b_{2\,1}&b_{2\,2}&\dots &b_{2\,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1&\vdots &b_{n\,1}&b_{n\,2}&\dots &b_{n\,n}\end{pmatrix}}$ $=(I\,\vdots \,A^{-1})$

Per fer aquesta conversió indicada amb punts suspensius aplicarem:

1) Es pot intercanviar files sense cap problema.

2) Es pot multiplicar les files per un nombre diferent de zero.

3) A tota fila es pot sumar una altra multiplicada per un nombre.

Estratègia habitual:

a) S'ha de fer zeros sota la diagonal.

b) intentem deixar uns a la diagonal.

c) continuar fent zeros sobre la diagonal.

Exemple

1) Calcula la invers de $A={\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}}$

Sigui:

${\begin{pmatrix}1&1&\vdots &1&0\\2&1&\vdots &0&1\end{pmatrix}}$

fem $f_{2}\rightarrow f_{2}-2\cdot f_{1}$

${\begin{pmatrix}1&1&\vdots &1&0\\0&-1&\vdots &-2&1\end{pmatrix}}$

fem $f_{1}\rightarrow f_{1}+f_{2}$

${\begin{pmatrix}1&0&\vdots &-1&1\\0&-1&\vdots &-2&1\end{pmatrix}}$

fem $f_{1}\rightarrow -1\cdot f_{1}$

${\begin{pmatrix}1&0&\vdots &-1&1\\0&1&\vdots &2&-1\end{pmatrix}}$

Solució $A^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}}$

El rang

El rang d'una matriu ens informa de quanta informació útil es disposa. El mètode general es fer zeros zota la diagonal de la matriu intentant sobrepassar-la fins que no es pugui més, llavors el rang de la matriu serà la quantitat de files no nules que han quedat. L'objectiu es que sota el primer terme de cada fila tot sigui zero.

Exemple

1) Calcule el rang de les matrius següents: (en construcció)

Determinant

El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:

1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes.

2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes.

3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros.

Tot això es va conseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes.

Determinant de matrius 2x2

Signatura

El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així:

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ $=ad-cb.$

La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut.

Exemple

$\det {\begin{pmatrix}1&3\\5&8\end{pmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}1&3\\5&8\end{vmatrix}}$ $=1\cdot 8-3\cdot 5$ $=-7.$

Determinant de matrius 3x3

Signatura alternativa.

El determinant d'una matriu 3x3 fem:

$\det {\begin{pmatrix}a_{1\;1}&a_{1\;2}&a_{1\;3}\\a_{2\;1}&a_{2\;2}&a_{2\;3}\\a_{3\;1}&a_{3\;2}&a_{3\;3}\end{pmatrix}}$ $=\color {blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color {black}{-(}\color {red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color {black}{).}$

La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions

Exemple

$\det {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&-1\end{pmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&-1\end{vmatrix}}$ $=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)$ $=-5+84+96-(105-8+48)$ $=175-(142)=33.$

Determinant de matrius nxn

Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles:

1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes.

Exemple: $2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2}+f_{1}}$ $={\begin{vmatrix}1&3&0\\1&5&0\\3&1&1\end{vmatrix}}=5-3=2$

2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Idem columna.

Exemple: $2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2}\cdot 5}\rightarrow$ ${\begin{vmatrix}1&5\cdot 3&0\\0&5\cdot 2&0\\3&5\cdot 1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&15&0\\0&10&0\\3&5&1\end{vmatrix}}=10=2\cdot 5$

3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Idem columna.

Exemple: $2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2}\leftrightarrow f_{3}}\rightarrow$ ${\begin{vmatrix}1&3&0\\3&1&1\\0&2&0\end{vmatrix}}=-2$

4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Idem columna.

Exemple: $2={\begin{vmatrix}0&5&10^{2}\\0&\pi &3\\0&-1&12\end{vmatrix}}$ $=0$

5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: ${\begin{pmatrix}+&-&+&-&+&\cdots \\-&+&-&+&-&\cdots \\+&-&+&-&+&\cdots \\-&+&-&+&-&\cdots \\+&-&+&-&+&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}$

Exemple: $\det(A)={\begin{vmatrix}4&-3&1&9\\0&5&6&1\\0&2&0&0\\0&3&4&7\end{vmatrix}}$ $=(+(4)){\begin{vmatrix}5&6&1\\2&0&0\\3&4&7\end{vmatrix}}$ $=(+(4))(-(2)){\begin{vmatrix}6&1\\4&7\end{vmatrix}}$ $=4\cdot (-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.$

Propietats

1) $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$

2) En general $\det(A+B)\neq \det(A)+\det(B)$