Matrius i geometria Ll1

Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics.

Matrius

Les matrius són valors reals agrupats en una quadrícula rectangular o recuadre.

Exemples de matrius segons el tipus de valors i possible procedència.

Matriu de nombres binaris: ${\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$ Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ${\begin{pmatrix}1&-{\frac {1}{5}}\\{\frac {3}{2}}&0\end{pmatrix}}$ Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ${\begin{pmatrix}\pi &0\\0&e\\-1&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ Podrien aparèixer només en problemes molt particulars.

Notació

Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes $a_{i\,j}$ de les dues següents maneres:

$A={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}&a_{1\,4}&\cdots &a_{1\,n}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}&a_{2\,4}&\cdots &a_{2\,n}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&\cdots &a_{3\,n}\\a_{4\,1}&a_{4\,2}&a_{4\,3}&a_{4\,4}&\cdots &a_{4\,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&a_{m\,2}&a_{m\,3}&a_{m\,4}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}=(a_{i\,j})_{m\times n}$

• En direm matriu de dimensió $m\times n$, els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n.

Nota: No es considera matriu si té dimensió $1\times 1$

El conjunt de totes les matrius $m\times n$ s'escriu $M_{m\times n}.$

• Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... .

Exemples

1) Donada una matriu $4\times 5$ tenim que és de la forma:

$A={\begin{pmatrix}2&0&0&-1&0\\0&3&0&6&0\\-5&4&8&10&2\\0&7&0&-4&0\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}&a_{1\,4}&a_{1\,5}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}&a_{2\,4}&a_{2\,5}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&a_{3\,5}\\a_{4\,1}&a_{4\,2}&a_{4\,3}&a_{4\,4}&a_{4\,5}\end{pmatrix}}=(a_{i\;j})_{4\times 5}$

Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com:

• Matrius columna $c_{4}(A)={\begin{pmatrix}-1\\6\\10\\-4\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\a_{2\,4}\\a_{3\,4}\\a_{4\,4}\end{pmatrix}}=(a_{i\,4})_{4}.$

• Matriu fila $f_{3}(A)={\begin{pmatrix}-5&4&8&10&2\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}&a_{3\,4}&a_{3\,5}\end{pmatrix}}=(a_{3\;j})_{5}.$

• Elements de la diagonal són els elements $(a_{i\,i})$ com $a_{1\,1}=2,$ $a_{2\,2}=3,$ $a_{3\,3}=8$ o també $a_{4\,4}=-4.$

• Matriu transposada és la matriu resultant de convertir totes les columnes $c_{i}$ en files $f_{i}$ de forma que els elements $a_{i\,j}$ ara ocupen el lloc simètric $b_{j\,i}$ dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu $5\times 4$:

${\begin{pmatrix}2&0&-5&0\\0&3&4&7\\0&0&8&0\\-1&6&10&-4\\0&0&2&0\end{pmatrix}}=(b_{i\,j})_{5\times 4}$

2) Matrius quadrades si $m=n$, és a dir que l'amplada és igual a l'altura.

• Matriu diagonal si fora de la diagonal són tots zeros:

${\begin{pmatrix}2&0&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

• Matriu triangular superior si sota la diagonal són tots zeros:

${\begin{pmatrix}3&-3&1&0&0\\0&-2&0&-3&-3\\0&0&0&8&1\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&-7\end{pmatrix}}$

• Matriu triangular inferior si sobre la diagonal són tots zeros:

${\begin{pmatrix}-3&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\-2&1&1&0&0\\0&-5&0&2&0\\2&7&2&0&0\end{pmatrix}}$

• Matriu simètrica si els elements $a_{i\,j}=a_{j\,i}:$

${\begin{pmatrix}0&3&5&8&-4\\3&-4&1&-1&-5\\5&1&0&4&2\\8&-1&4&-2&9\\-4&-5&2&9&-3\end{pmatrix}}$

• Matriu antisimètrica si els elements $a_{i\,j}=-a_{j\,i}:$

${\begin{pmatrix}-7&-3&-5&-8&4\\3&1&-1&0&5\\5&1&1&-4&-2\\8&0&4&1&-9\\-4&-5&2&9&1\end{pmatrix}}$

3) Matriu zero o nul·la si tots els elements són zeros i el seu nom és excepcionalment 0:

${\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}=0$

Operacions

Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera.

Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem $(a_{1\,1}\;\dots \;a_{1\,8})$ en comptes de $(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).$

Suma de matrius

Suma de dues matrius A i B es defineix per:

$A+B$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1\,1}&\cdots &b_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m\,1}&\cdots &b_{m\,n}\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}+b_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}+b_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}+b_{m\,n}\end{pmatrix}}$ $=(a_{i\,j}+b_{i\,j})$

Propietats: Propietat associativa: $A+(B+C)=(A+B)+C,$ en aquest cas podem escriure simplement $A+B+C$. Propietat commutativa: $A+B=B+A.$ Element neutre: $A+0=A,$ en aquest cas direm que la matriu 0 és l'element zero. Element invers: Donat $A,$ existeix un element $-A$ tal que $A+(-A)=0,$ en aquest cas direm element oposat o negatiu, i podem escriure $A-A=0.$

D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.

Exemples

1) $={\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1+0&0+2\\-2+0&1+1\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}1&2\\-2&2\end{pmatrix}}$

Producte per escalar

Producte d'un valor real k per una matriu A es defineix per:

$k\cdot A$ $=k\cdot {\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1}&\cdots &k\cdot a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\k\cdot a_{m\,1}&\cdots &k\cdot a_{m\,n}\end{pmatrix}}$ $=(k\cdot a_{i\,j})$

Propietats: Propietat distributiva respecte la suma de matrius: $a(A+B)=aA+aB.$ Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: $(a+b)A=aA+bA.$ Propietat associativa: $(a\cdot b)A=a(b\cdot A).$ Element neutre respecte el producte: $1\cdot A=A,$ l'anomenarem element unitat o u.

Producte de matrius

Bàsicament un producte de matrius repeteix el concepte de fila per columna i només en aquest ordre.

Producte d'una matriu fila, f, $1\times n$ per una matriu columna, c, $n\times 1$:

$A\cdot B$ $={\begin{pmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$ $=f(A)\cdot c(B)$ $=a_{1}\cdot b_{1}+\ldots +a_{n}\cdot b_{n}$ $=d.$

Més àmpliament el producte de matrius en general, que també és composició d'aplicacions $f\circ g=f(g)$, queda determinat de la següent manera:

$A\cdot B$ $={\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,p}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,p}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1\,1}&\cdots &b_{1\,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p\,1}&\cdots &b_{p\,m}\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}f_{1}(A)\cdot c_{1}(B)&\cdots &f_{1}(A)\cdot c_{m}(B)\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n}(A)\cdot c_{1}(B)&\cdots &f_{n}(A)\cdot c_{m}(B)\end{pmatrix}}$ $={\begin{pmatrix}d_{1\,1}&\cdots &d_{1\,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n\,1}&\cdots &d_{n\,m}\end{pmatrix}}$

Propietats: No sempre commuta el producte de matrius $AB\neq BA.$ Propietat associativa: $A(BC)=(AB)C.$ Propietat distributiva: $A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.$ Element neutre: $I_{1}A=AI_{2}=A$, l'anomenarem matriu identitat. $I_{1}$ i $I_{2}$ son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. $Id_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},$ $Id_{3\times 3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},$ $Id_{4\times 4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}},\;\dots$ Les matrius identitat són matrius diagonal i quadrades amb 1 a tota la diagonal i zero a la resta de llocs. El producte d'una matriu $n\times p$ per una matriu $p\times m$ donant una matriu $n\times m$: Es parla d'invers només d'una matriu quadrada, $n\times n$, si donat A podem obtenir $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ que no sempre hi ha.

Exercicis de matrius

1) Efectua les operacions proposades i digues o informa de les dimensions dels resultats com a mètode de comprovació obligat:

$A_{n\times p}\;\cdot \;B_{p\times m}=C_{n\times m}$

a)$(1\;2\;3\;4\;5)\cdot {\begin{pmatrix}6\\7\\8\\9\\10\end{pmatrix}}=$

b)${\begin{pmatrix}1&-1&0&-2&3\\-1&1&0&3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\end{pmatrix}}=$

c)${\begin{pmatrix}2&-1\\3&1\\-1&0\\1&1\\2&-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}=$

d)$(1\;\;-1\;\;2\;\;-2){\begin{pmatrix}3&4\\5&6\\7&8\\9&10\end{pmatrix}}=$

e)$(1\;\;2){\begin{pmatrix}3&4&5&6\\7&8&9&10\end{pmatrix}}=$

f)${\begin{pmatrix}2&3\\4&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&5\\6&7\end{pmatrix}}=$

g)${\begin{pmatrix}1&3&2\\4&6&5\\7&9&8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\4&-5&-3\end{pmatrix}}=$

h)${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&-3&0\\-4&2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&4\\6&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}=$

2) Calcula cada matriu B que compleix cadascuna de les equacions $A={\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}}$

a)$A\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}$

b)$A\;B=Id$

c)$2A+B=A^{2}$

d)$A=2\;(B-Id)$

Sistemes lineals

Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim $A_{mn}\cdot X=B,$ tenim la equivalència:

${\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

$\Leftrightarrow$

${\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_{1}&\cdots &a_{1\,n}\cdot x_{n}&=b_{1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m\,1}\cdot x_{1}&\cdots &a_{m\,n}\cdot x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$

Direm que el l'equació $A_{mn}\cdot X=B$ equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual.

Resolució de sistemes lineals

Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior:

${\begin{pmatrix}2&1&-3&5&-4\\0&-1&3&-2&2\\0&0&-3&0&1\\0&0&0&1&-2\\0&0&0&0&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-2\\4\end{pmatrix}}$

$\Leftrightarrow$

${\begin{matrix}2x+y-3z+5t-4s&=0\\\;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s&=0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s&=0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s&=-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s&=4\end{matrix}}$

Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació:

$4s=4$ $\Rightarrow s=1$

$t-2s=-2$ $\Rightarrow t-2(1)=-2$ $\Rightarrow t=0$

$-3z+0t+s=0$ $\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0$ $\Rightarrow z={\tfrac {1}{3}}$

$-y+3z-2t+2s=0$ $\Rightarrow -y+3\left({\tfrac {1}{3}}\right)-2(0)+2(1)=0$ $\Rightarrow y=3$

$2x+y-3z+5t-4s=0$ $\Rightarrow 2x+(3)-3\left({\tfrac {1}{3}}\right)+5(0)-4(1)=0$ $\Rightarrow x=1$

Per tant la solució és ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\\{\tfrac {1}{3}}\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Triangulació

Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents:

1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles.

1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret.

2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles.

3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació.

És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució.

Exemple

Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z.

${\begin{matrix}5x+y-7z=11\\2x-5y+3z=4\\x-2y+z=3\end{matrix}}{\Bigg \}}$

El primer pas és reordenar les equacions $eq_{1}\leftrightarrow eq_{3}$ per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal:

${\begin{matrix}x-2y+z=3\\2x-5y+3z=4\\5x+y-7z=11\end{matrix}}{\Bigg \}}$ $\xrightarrow {\;eq_{2}-2\cdot eq_{1}\;\;} {\begin{matrix}x-2y+z=3\\\;\;0-y\;+z=-2\\5x+y-7z=11\end{matrix}}{\Bigg \}}$ $\xrightarrow {\;eq_{3}-5\cdot eq_{1}\;\;} {\begin{matrix}x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\0+11y-12z=-4\end{matrix}}{\Bigg \}}$ $\xrightarrow {\;eq_{3}+11\cdot eq_{2}\;\;} {\begin{matrix}x-2y+z=3\;\;\;\\0\;-y\;+z=-2\\0\;+0-z=-26\end{matrix}}{\Bigg \}}$

Ara ja podem resoldre els sistema:

$z=26$

$-y+z=-2$ $\rightarrow -y+(26)=-2$ $\rightarrow y=28$

$x-2y+z=3$ $\rightarrow x-2(28)+(26)=3$ $\rightarrow x=33$

Per tant els sistema té una única solució $(26,28,33).$

Determinant

El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:

1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes.

2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes.

3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros.

Tot això es va aconseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes.

Determinant de matrius 2x2

Signatura

El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així:

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ $=ad-cb.$

La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut.

Exemple

$\det {\begin{pmatrix}1&3\\5&8\end{pmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}1&3\\5&8\end{vmatrix}}$ $=1\cdot 8-3\cdot 5$ $=-7.$

Determinant de matrius 3x3

Signatura alternativa.

El determinant d'una matriu 3x3 fem:

$\det {\begin{pmatrix}a_{1\;1}&a_{1\;2}&a_{1\;3}\\a_{2\;1}&a_{2\;2}&a_{2\;3}\\a_{3\;1}&a_{3\;2}&a_{3\;3}\end{pmatrix}}$ $=\color {blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color {black}{-(}\color {red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color {black}{).}$

La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions

Exemple

$\det {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&-1\end{pmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&-1\end{vmatrix}}$ $=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)$ $=-5+84+96-(105-8+48)$ $=175-(142)=33.$

Determinant de matrius nxn

Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles:

1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes.

Exemple: $2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2}+f_{1}}$ $={\begin{vmatrix}1&3&0\\1&5&0\\3&1&1\end{vmatrix}}=5-3=2$

2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Ídem columna.

Exemple: $2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2}\cdot 5}\rightarrow$ ${\begin{vmatrix}1&5\cdot 3&0\\0&5\cdot 2&0\\3&5\cdot 1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&15&0\\0&10&0\\3&5&1\end{vmatrix}}=10=2\cdot 5$

3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Ídem columna.

Exemple: $2={\begin{vmatrix}1&3&0\\0&2&0\\3&1&1\end{vmatrix}}_{f_{2}\leftrightarrow f_{3}}\rightarrow$ ${\begin{vmatrix}1&3&0\\3&1&1\\0&2&0\end{vmatrix}}=-2$

4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Ídem columna.

Exemple: $2={\begin{vmatrix}0&5&10^{2}\\0&\pi &3\\0&-1&12\end{vmatrix}}$ $=0$

5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: ${\begin{pmatrix}+&-&+&-&+&\cdots \\-&+&-&+&-&\cdots \\+&-&+&-&+&\cdots \\-&+&-&+&-&\cdots \\+&-&+&-&+&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}$

Exemple: $\det(A)={\begin{vmatrix}4&-3&1&9\\0&5&6&1\\0&2&0&0\\0&3&4&7\end{vmatrix}}$ $=(+(4)){\begin{vmatrix}5&6&1\\2&0&0\\3&4&7\end{vmatrix}}$ $=(+(4))(-(2)){\begin{vmatrix}6&1\\4&7\end{vmatrix}}$ $=4\cdot (-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.$

Propietats

1) $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$

2) En general $\det(A+B)\neq \det(A)+\det(B)$

Tipus de sistemes

Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior.

Observació d'una equació lineal.

Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba.

Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació.

Direm que un sistema té rang=r quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només r equacions.

Direm que una matriu té rang=r quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només r files.

Direm que la matriu associada a un sistema lineal és ampliada si s'afegeix una nova columna corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que rang=r*.

Sistema ${\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_{1}&\cdots &a_{1\,n}\cdot x_{n}&=b_{1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m\,1}\cdot x_{1}&\cdots &a_{m\,n}\cdot x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$

$\leftrightarrow$

Matriu del sistema ${\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}\end{pmatrix}}$

$\leftrightarrow$

Matriu ampliada ${\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m\,1}&\cdots &a_{m\,n}&b_{m}\end{pmatrix}}$

Exemple

Donat el següent sistema, calculeu el seu rang:

${\begin{cases}\;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\\;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\-x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}}$ $\xrightarrow {\;eq_{3}-2\cdot eq_{2}\;\;} {\begin{cases}\;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\\;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\-x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}}$ $\xrightarrow {\;eq_{5}+eq_{1}\;\;} {\begin{cases}x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}}$ $\xrightarrow {\;eq_{4}+eq_{2}\;\;} {\begin{cases}x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}}$ $\xrightarrow {\;eq_{5}-3\cdot eq_{4}\;\;} {\begin{cases}x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2u=2\\\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}}$ $\leftarrow$ rang = 4.

Classificació dels sistemes lineals amb n incògnites.

$Sistema\;\;lineal={\begin{cases}{\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}}{\begin{cases}{\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix}}\\\\{\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix}}\end{cases}}\\\\{\begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}}\end{cases}}$

SCD: Una única solució, un punt.

SCI: Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r.

SI: Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes.

Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat.

Sistemes lineals de dos incògnites

Si un sistema lineal de dos incògnites és SCD, llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions.

Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes:

Si un sistema lineal de dos incògnites és SCI, llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació.

Si un sistema lineal de dos incògnites és SI, llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles.

Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta.

Sistemes lineals de tres incògnites

Si un sistema lineal de tres incògnites és SCD, llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions.

Si un sistema lineal de tres incògnites és SCI, llavors vol dir que podria ser des de equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions.

Si un sistema lineal de tres incògnites és SI, llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles.

Regla de Cramer

Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode.

Donat un sistema lineal nxn:

${\begin{pmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

La solució general de $x_{i}$ és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna (i) per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així:

$x_{i}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,i-1}&b_{1}&a_{1\,i+1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,i-1}&b_{n}&a_{n\,i+1}&\cdots &a_{n\,n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&\cdots &a_{1\,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&\cdots &a_{n\,n}\end{vmatrix}}}$

Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és SCD.

L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest.

Resolució de sistemes 2x2

Donat el sistema:

${\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$

Llavors:

$x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{1\,2}\\b_{2}&a_{2\,2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}\end{vmatrix}}}$

i

$x_{2}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1\,1}&b_{1}\\a_{2\,1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}\end{vmatrix}}}$

Exemples

Busquem solucions al sistema ${\begin{matrix}x-y&=3\\2x+y&=6\end{matrix}}$

$\det(A)$ $=\det {\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}$ $=1\cdot 1-(2\cdot (-1))$ $=3.$

$x$ $={\frac {\begin{vmatrix}3&-1\\6&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}}}\;\;\;\;$ i $\;\;\;\;y$ $={\frac {\begin{vmatrix}1&3\\2&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}}}.$

$x={\frac {9}{3}}=3\;\;\;\;$ i $\;\;\;\;y={\frac {0}{3}}=0$

Resolució de sistemes 3x3

Donat el sistema:

${\begin{pmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$

Llavors:

$x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\b_{2}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\b_{3}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}}$

,

$x_{2}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1\,1}&b_{1}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&b_{2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&b_{3}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}}$

i

$x_{3}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&b_{1}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&b_{2}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}&a_{1\,2}&a_{1\,3}\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&a_{2\,3}\\a_{3\,1}&a_{3\,2}&a_{3\,3}\end{vmatrix}}}$

Exemples

Busquem les solucions del sistema ${\begin{cases}x+y=1\\x+z=2\\y+z=3\end{cases}}$

$x={\frac {\begin{vmatrix}1&1&0\\2&0&1\\3&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}}$ $={\frac {0}{-2}}=0$

$y={\frac {\begin{vmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&3&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}}$ $={\frac {-2}{-2}}=1$

$z={\frac {\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&2\\0&1&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}}$ $={\frac {-4}{-2}}=2$

Inverses de matrius per Gauss-Jordan

Per aplicar mètode i fer la inversa de la matriu A, s'ha de fer la següent construcció:

$(A\,|\,I)$ $=\left({\begin{array}{cccc|cccc}a_{1\,1}&a_{1\,2}&\dots &a_{1\,n}&1&0&\dots &0\\a_{2\,1}&a_{2\,2}&\dots &a_{2\,n}&0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n\,1}&a_{n\,2}&\dots &a_{n\,n}&0&0&\dots &1\end{array}}\right)$ $=\cdots$ $=\left({\begin{array}{cccc|cccc}1&0&\dots &0&b_{1\,1}&b_{1\,2}&\dots &b_{1\,n}\\0&1&\dots &0&b_{2\,1}&b_{2\,2}&\dots &b_{2\,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1&b_{n\,1}&b_{n\,2}&\dots &b_{n\,n}\end{array}}\right)$ $=(I\,|\,A^{-1})$

Per fer aquesta conversió indicada amb punts suspensius aplicarem:

1) Es pot intercanviar files sense cap problema.

2) Es pot multiplicar les files per un nombre diferent de zero.

3) A tota fila es pot sumar una altra multiplicada per un nombre.

Estratègia habitual:

a) S'ha de fer zeros sota la diagonal.

b) continuar fent zeros sobre la diagonal.

c) intentem deixar uns a la diagonal.

En cas de voler fer diversos canvis en un mateix pas, recordeu que les files que es modifiquen no poden intervenir novament en una nova modificació al mateix pas. Millor fer un pas per cada nou canvi.

Exemple

1) Calcula la invers de $A={\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}}$

Sigui:

${\begin{pmatrix}1&1&\vdots &1&0\\2&1&\vdots &0&1\end{pmatrix}}$

fem $f_{2}\rightarrow f_{2}-2\cdot f_{1}$

${\begin{pmatrix}1&1&\vdots &1&0\\0&-1&\vdots &-2&1\end{pmatrix}}$

fem $f_{1}\rightarrow f_{1}+f_{2}$

${\begin{pmatrix}1&0&\vdots &-1&1\\0&-1&\vdots &-2&1\end{pmatrix}}$

fem $f_{1}\rightarrow -1\cdot f_{1}$

${\begin{pmatrix}1&0&\vdots &-1&1\\0&1&\vdots &2&-1\end{pmatrix}}$

Solució $A^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}}$

Exercicis

1) Calculeu les inverses de les matrius donades:

a) $A={\begin{pmatrix}2&1&3\\-1&2&4\\0&1&3\end{pmatrix}}$ Tutorial alternatiu aquí

b) $B={\begin{pmatrix}1&5&4\\-4&5&2\\3&1&2\end{pmatrix}}$ Tutorial alternatiu aquí

Geometria

La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes.

Elements

Els punts

Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes.

Exemples

• Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt $\mathbb {R}$ i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc.

• Un punt sobre el pla real és un element del conjunt $\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$ i la seva forma d'escriure és $(3,5)$ on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt.

• Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$ i la seva forma d'escriure és $(1,-3,7)$ on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues).

Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques.

Els vectors

El concepte de vector a la geometria està lligat a dos punts, per simplificar, al batxillerat pensarem que és un segment, és a dir, que geomètricament és físicament una línia recta o un camí entre dos punts dins una línia recta així podrem allargar-la(o equivalentment multiplicar-la per nombres enters) o escurçar-la( o equivalentment dividir-la) simplement multiplicant-la amb nombres més grans que 1 o nombres més petits que 1 respectivament.

Definició i notació:

Donat dos punts A i B de $\mathbb {R} ^{2}$, direm que un vector amb origen $A=(a_{1},\;a_{2})$ i destí $B=(b_{1},\;b_{2})$ és i està format com segueix:

${\vec {v}}={\vec {AB}}=B-A=(b_{1}-a_{1},\;b_{2}-a_{2})$

Donat dos punts A i B de $\mathbb {R} ^{3}$, direm que un vector amb origen $A=(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})$ i destí $B=(b_{1},\;b_{2},\;b_{3})$ és i està format com segueix:

${\vec {v}}={\vec {AB}}=B-A=(b_{1}-a_{1},\;b_{2}-a_{2},\;b_{3}-a_{3})$

Observació

Amb la mateixa operació de resta de matrius files s'obté una matriu fila que serà un vector. Llavors es generen les excepcions conceptuals següents: Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. S'interpreta algebraicament i respectivament com: $B={\vec {v}}+A$ ${\vec {v}}=B-A$ $A=B-{\vec {v}}$

Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius:

Suma de vectors

Donats dos vectors ${\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2})$ i ${\vec {v}}=(v_{1},\;v_{2})$ en $\mathbb {R} ^{2}$ la suma és:

${\vec {w}}={\vec {u}}+{\vec {v}}=(u_{1}+v_{1},\;u_{2}+v_{2}).$

Donats dos vectors ${\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3})$ i ${\vec {v}}=(v_{1},\;v_{2},\;v_{3})$ en $\mathbb {R} ^{3}$ la suma és:

${\vec {w}}={\vec {u}}+{\vec {v}}=(u_{1}+v_{1},\;u_{2}+v_{2},\;u_{3}+v_{3}).$

Propietats de la suma

1) Propietat commutativa: ${\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}$

2) Propietat associativa: ${\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})=({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}$

Nota: Com a conseqüència podem escriure simplement ${\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}.$

3) Existeix element neutre ${\vec {0}}$ si sempre ${\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {u}}={\vec {u}}.$

4) Tot vector, ${\vec {u}},$ té invers additiu, $-{\vec {u}},$ si ${\vec {u}}+(-{\vec {u}})={\vec {u}}-{\vec {u}}={\vec {0}}.$

Producte per escalar

Donat un vectors ${\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2})$ en $\mathbb {R} ^{2}$ i un escalar $\lambda$ de $\mathbb {R}$ el seu producte és:

${\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {u}}=(\lambda \cdot u_{1},\;\lambda \cdot u_{2}).$

Donat un vectors ${\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3})$ en $\mathbb {R} ^{3}$ i un escalar $\lambda$ de $\mathbb {R}$ el seu producte és:

${\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {u}}=(\lambda \cdot u_{1},\;\lambda \cdot u_{2},\;\lambda \cdot u_{3}).$

Propietats del producte per escalar

1) Propietat associativa: $\lambda \cdot (\beta \cdot {\vec {u}})=(\lambda \cdot \beta )\cdot {\vec {u}}.$

Nota: Com a conseqüència podem escriure simplement $\lambda \beta {\vec {u}}.$

2) Existeix l'element neutre 1 si sempre $1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}\cdot 1={\vec {u}}.$

3) Les propietats distributives: $(\lambda +\beta ){\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}+\beta {\vec {u}}$ i $\lambda ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\lambda {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}$

Exemples:

1) Estic en el punt $A=(5,\;5)$ i casa meva està en el punt $B=(2,\;3).$ Si camino en línia recta 5 vegades aquesta distància arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? Resolució El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ${\vec {AB}}=B-A=(2,\;3)-(5,\;5)=(-3,\;-2).$ Per tant si camino, des d'on estic i en línia recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: $A+5\cdot {\vec {AB}}$ $=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)$ $=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))$ $=(5,\;5)+(-15,\;-10)$ $=(-10,\;-5).$ Solució: La biblioteca està al punt $C=(-10,\;-5).$ 2) Dos arbres estan en els punts $A=(2,\;3)$ i $B=(4,\;1),$ però a mig camí d'un a l'altre hi ha un tresor. ¿On? Resolució El camí de A a B és: ${\vec {AB}}$ $=B-A$ $=(4,\;1)-(2,\;3)$ $=(2,\;-2).$ Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ${\frac {\vec {AB}}{2}}={\frac {(2,\;-2)}{2}}$ $={\tfrac {1}{2}}(2,\;-2)$ $=({\tfrac {1}{2}}2,\;{\tfrac {1}{2}}(-2))$ $=(1,\;-1).$ Solució: el punt que busquem és $C$ $=A+{\frac {\vec {AB}}{2}}$ $=(2,\;3)+(1,\;-1)$ $=(3,\;2).$

Producte a escalar

Sintèticament el producte a escalar és:

Donats dos vectors ${\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2})$ i ${\vec {v}}=(v_{1},\;v_{2})$ en $\mathbb {R} ^{2}$ el seu producte és:

$k={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(u_{1},\;u_{2}){\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}=u_{1}\cdot v_{1}+u_{2}\cdot v_{2}.$

Donats dos vectors ${\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3})$ i ${\vec {v}}=(v_{1},\;v_{2},\;v_{3})$ en $\mathbb {R} ^{3}$ el seu producte és:

$k={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3}){\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}=u_{1}\cdot v_{1}+u_{2}\cdot v_{2}+u_{3}\cdot v_{3}.$

Propietats del producte a escalar

1) ${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\geqslant 0$ sempre.

2) ${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=0\Leftrightarrow {\vec {u}}={\vec {0}}$

3) ${\vec {u}}\cdot ({\vec {v}}+{\vec {w}})={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {w}}$

Exemples:

1)Sigui ${\vec {u}}=(1,\;2)$ i ${\vec {v}}=(3,\;4)$ llavors el producte és: $k={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(1,\;2){\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}=1\cdot 3+2\cdot 4=11$ $\Rightarrow k=11.$ 2)Sigui ${\vec {u}}=(3,\;4,\;5)$ i ${\vec {v}}=(1,\;0,\;2)$ llavors el producte és: $k={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(3,\;4,\;5){\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 2=13.$ $\Rightarrow k=13.$ No es gaire difícil pensar en la mateixa operació per a vectors de 4 valors o més.

Longitud d'un vector

La longitud d'un vector més coneguda com mòdul d'un vector és el resultat de considerar el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenuses segons el cas.

Donat un vector ${\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2})$ en $\mathbb {R} ^{2},$ la seva longitud és:

$l_{\vec {u}}=|{\vec {u}}|={\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\sqrt {(u_{1},\;u_{2}){\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}}}$ $={\sqrt {u_{1}\cdot u_{1}+u_{2}\cdot u_{2}}}$ $={\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}.$

Donat un vector ${\vec {u}}=(u_{1},\;u_{2},\;u_{3})$ en $\mathbb {R} ^{3},$ la seva longitud és:

$l_{\vec {u}}=|{\vec {u}}|={\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\sqrt {(u_{1},\;u_{2},\;u_{3}){\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}}}$ $={\sqrt {u_{1}\cdot u_{1}+u_{2}\cdot u_{2}+u_{3}\cdot u_{3}}}$ $={\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}}.$

Exemples:

1) La longitud o mòdul del vector ${\vec {u}}=(1,\;1),$ aplicant la fórmula tenim: $l_{\vec {u}}={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}$ Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) La longitud de ${\vec {u}}=(3,0)$ és $L_{\vec {u}}={\sqrt {3^{2}+0^{2}}}=3,$ és el cas intuïtiu en que no és hipotenusa. 3) Longitud del vector ${\vec {w}}=(1,\;-1,\;0),$ aplicant la fórmula tenim: $l_{\vec {w}}={\sqrt {1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}}={\sqrt {2}},$ cas en que el vector a l'espai té un valor nul, llavors la longitud es la mateixa que un vector de dos valors. 4) Longitud del vector ${\vec {w}}=(3,\;4,\;12),$ aplicant la fórmula tenim: $l_{\vec {w}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}=13,$

Vectors unitaris

Per obtenir un vectors unitaris o vectors de longitud 1 a partir d'un vector qualsevol no nul, simplement s'ha d'extreure la seva longitud dividint el vector per la seva longitud:

${\hat {u}}={\frac {\vec {u}}{l_{u}}}$

Construït així, aquest vector ${\hat {u}}$ té longitud 1.

Exemples:

1) Càlcul de vectors unitaris: ${\vec {u}}=(5,12)$ i ${\vec {v}}=(1,1,1)$ a) ${\hat {u}}={\frac {\vec {u}}{l_{u}}}={\frac {(2,12)}{\sqrt {5^{2}+12^{2}}}}={\frac {(2,12)}{13}}=({\tfrac {2}{13}},{\tfrac {12}{13}}).$ b) ${\hat {v}}={\frac {\vec {u}}{l_{u}}}={\frac {(1,1,1)}{\sqrt {1^{2}+1^{2}+1^{2}}}}=({\frac {1}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}}).$ Per comprovar això, calculant ara la seva longitud ha de donar 1.

Angle entre dos vectors

Per calcular l'angle entre dos vectors qualssevol ${\vec {u}}$ i ${\vec {v}}$ s'utilitza la fórmula:

$cos(\alpha )={\hat {v}}\cdot {\hat {u}}={\frac {\vec {v}}{l_{\vec {u}}}}\cdot {\frac {\vec {u}}{l_{\vec {v}}}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}}{l_{\vec {u}}\cdot l_{\vec {v}}}}$

Per calcular l'angle entre vectors fa falta convertir-los en unitaris ${\hat {v}}$ i ${\hat {u}},$ només cal aplicar la idea del producte i utilitzar la fórmula trigonomètrica del cosinus dins la circumferència unitat. A la imatge s'observa l'angle entre l'eix x, ${\hat {v}},$ i el vector taronja, ${\hat {u}},$ on el cosinus és la longitud del vector vermell:

Vectors ortogonals

Dos vectors ${\vec {u}}$ i ${\vec {v}}$ són perpendiculars, formen un angle recte o són ortogonals si:

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$

Exemple: Els vectors (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1) són ortogonals.

Exercici:

1) Quins dels vectors següents són perpendiculars? notació es fa ${\vec {a}}\bot {\vec {b}}$ per indicar perpendicularitat entre dos vectors.

${\vec {u_{1}}}=(1,0,0),\;{\vec {u_{2}}}=(0,1,0),\;{\vec {u_{3}}}=(0,1,1),{\vec {u_{4}}}=(0,1,-1)$

Projecció d'un vector

Per projectar un vector ${\vec {v}}$ en la direcció ${\vec {u}},$ es pren el vector unitari ${\hat {u}}$ que ens indica purament la direcció de projecció, així:

• Longitud del vector projectat és: $l_{\vec {p}}={\vec {v}}\cdot {\hat {u}}.$

• Vector projectat és: ${\vec {p}}=l_{\vec {p}}\cdot {\hat {u}}.$

Base

Les bases són conjunts reduïts de vectors que s'utilitzen per construir qualsevol possibles vectors d'un espai de treball de manera única.

Com podem definir una base amb més detall? necessitem les següents eines.

Conjunts de vectors anomenats base canònica:

Base canònica a $\mathbb {R} ^{2}$ és: ${\hat {i}}=(1,\;0)\;\;i\;\;{\hat {j}}=(0,\;1)$

Base canònica a $\mathbb {R} ^{3}$ és: ${\hat {i}}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;{\hat {j}}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;{\hat {k}}=(0,\;0,\;1)$

Base qualsevol ${\vec {u}}=(1,\;2,\;3)\;,\;\;{\vec {v}}=(2,\;0,\;-1)\;\;i\;\;{\vec {s}}=(1,\;0,\;1)$

A partir de qualsevol base si volem construir altres vectors es necessita entendre el següent concepte de combinació lineal.

Combinació lineal de vectors

Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar.

$a\cdot {\vec {u}}+b\cdot {\vec {v}}+c\cdot {\vec {s}}$

Exemple:

Donats els vectors ${\vec {u}}=(1,\;-2,\;0)$, ${\vec {v}}=(0,\;5,\;-1)$ i ${\vec {s}}=(-3,\;1,\;4)$ calculeu ${\vec {w}}:$

1) Si ${\vec {w}}$ és la combinació lineal ${\vec {w}}={\vec {u}}-{\vec {v}}+3\cdot {\vec {s}}$ llavors:

${\vec {w}}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)$ $=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)$ $=(-8,\;-4,\;13)$

Tenim que ${\vec {w}}=(-8,\;-4,\;13)$

2) Si ${\vec {w}}$ és la combinació lineal ${\vec {w}}=5\cdot {\vec {u}}+2\cdot {\vec {v}}-4\cdot {\vec {s}}$ llavors:

${\vec {w}}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)$ $=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)$ $=(17,\;-4,\;-18)$

Tenim que ${\vec {w}}=(17,\;-4,\;-18)$

Coordenades

Donada una base ${\vec {u}}\;,\;\;{\vec {v}}\;\;i\;\;{\vec {s}}$ inventada, llavors:

Si ${\vec {w}}=3\cdot {\vec {u}}-5\cdot {\vec {v}}+7\cdot {\vec {s}}$ direm que 3,-5 i 7 són les coordenades de ${\vec {w}}$ en aquesta base i per tant ${\vec {w}}=(3,-5,7)$ en aquesta base.

Dependència i independència lineal

Donats els vectors ${\vec {u}}\;,\;\;{\vec {v}}\;\;i\;\;{\vec {s}};$

Direm que són linealment dependents si hi ha a,b i c no tots nuls tals que ${\vec {0}}=a\cdot {\vec {u}}+b\cdot {\vec {v}}+c\cdot {\vec {s}}$

Direm que són linealment independent si no hi ha a,b i c no tots nuls tals que ${\vec {0}}=a\cdot {\vec {u}}+b\cdot {\vec {v}}+c\cdot {\vec {s}}$

Definició: Direm una base és un conjunt de vectors linealment independents i que generen, fent combinacions lineals de forma única, tot altre vector de l'espai del qual són base.

Producte vectorial

El producte vectorial de dos vectors ${\vec {u}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\;\;i\;\;{\vec {v}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ és:

${\vec {u}}\land {\vec {v}}={\bigg (}\;{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\;,\;-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\;,\;{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\;{\bigg )}$

El producte vectorial genera un vector perpendicular als dos inicials, ideal per fer mesures entre elements geomètrics.

Propietats

a) ${\vec {u}}\land {\vec {v}}=-{\vec {v}}\land {\vec {u}}$

b) Si el moviment de ${\vec {u}}$ a ${\vec {v}}$ és horari el vector perpendicular surt darrera del seu pla, respecte l'observador.

c) Si el moviment de ${\vec {u}}$ a ${\vec {v}}$ és antihorari el vector perpendicular surt endavant del seu pla, respecte l'observador.

d) $a({\vec {u}}\land {\vec {v}})=(a{\vec {u}})\land {\vec {v}}={\vec {u}}\land (a{\vec {v}}).$

Distància entre elements

Principals elements a geometria des de el punt de vista dels punts i vectors:

Els punts només són un lloc a l'espai en el que viuen.

- Al pla, de dos dimensions, $\mathbb {R} ^{2}$ és de la forma: $A=(a_{1},a_{2})$ - A l'espai, de tres dimensions, $\mathbb {R} ^{3}$ és de la forma: $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ Hi ha punts de més dimensions però no entren a batxillerat.

Per generar una recta necessitem o bé dos punts o bé un punt i un vector,i que tenen expressions implícites també.

- A $\mathbb {R} ^{2}$ amb $A=(a_{1},a_{2})$ i $B=(b_{1},b_{2})$ dos punts de la recta o ${\vec {u}}={\overrightarrow {(u_{1},u_{2})}}$ un vector de dins de la recta(vector director), tenim les següents expressions: $r:(x,y)=A+\lambda {\overrightarrow {AB}}$ $r:{\frac {x-a_{1}}{b_{1}-a_{1}}}={\frac {y-a_{2}}{b_{2}-a_{2}}}$ Si apareix un zero al denominador es fa servir l'expressió, d'on surt l'equació de la recta vertical o horitzontal. $r:(x,y)=A+\lambda {\vec {u}}$ $r:{\frac {x-a_{1}}{u_{1}}}={\frac {y-a_{2}}{u_{2}}}$ ídem. - A $\mathbb {R} ^{3}$ amb $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ i $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$ dos punts de la recta o ${\vec {u}}={\overrightarrow {(u_{1},u_{2},u_{3})}}$ un vector de dins de la recta(vector director), tenim les següents expressions: $r:(x,y,z)=A+\lambda {\overrightarrow {AB}}$ $r:{\frac {x-a_{1}}{b_{1}-a_{1}}}={\frac {y-a_{2}}{b_{2}-a_{2}}}={\frac {z-a_{3}}{b_{3}-a_{3}}}$ ídem. $r:(x,y)=A+\lambda {\vec {u}}$ $r:{\frac {x-a_{1}}{u_{1}}}={\frac {y-a_{2}}{u_{2}}}={\frac {z-a_{3}}{u_{3}}}$ ídem.

Per generar un pla necessitem o bé tres punts no alineats, o bé un punt i dos vectors lineament independents, que seran la base del pla.

$\pi :(x,y,z)=A+\lambda {\vec {u}}+\gamma {\vec {v}}$ L'equació general d'un pla és: $Ax+By+Cz=D$ Primer es comprova que el vector ${\overrightarrow {(A,B,C)}}$ és perpendicular als vectors de dins del pla $Ax+By+Cz=0$ Si es reescriu l'equació del pla com a producte a escalar queda evident: ${\overrightarrow {(A,B,C)}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=0$ Ara s'ha de comprovar que els plans $Ax+By+Cz=D$ i $Ax+By+Cz=0$ són paral·lels si $D\neq 0,$ és a dir, comprovem si tenen la mateixa perpendicular. Si es fa un sistema amb els dos plans, si són paral·lels, el sistema no té solució. Només s'ha d'aplicar reducció: ${\begin{cases}Ax+By+Cz=0\\Ax+By+Cz=D\end{cases}}$ ${\xrightarrow[{e_{2}-e_{1}}]{}}{\begin{cases}Ax+By+Cz=0\\0=D\end{cases}}$ per tant contradicció, Sistema incompatible, són plans paral·lels.

• Per generar tot $\mathbb {R} ^{3}$ necessitem o bé 4 punts no coplanaris, o bé un punt i tres vectors lineament independents anomenats base.

Anomenem distància entre dos elements a la mínima distància entre ells, és a dir, la longitud del camí més curt que hi ha entre aquests elements. Per simplicitat serà la norma del vector més petit que uneix un punt del primer element i un altre punt del segon element, sempre podem trobar aquests vectors amb alguna perpendicularitat.

Notarem com a distància entre dos elements com: $d(Element\;1,Element\;2)\in \mathbb {R}$

Distància punt pla.

La distància d'un pla, $\pi :Ax+By+Cz=D,$ al punt $(0,0,0)$ és $d(\pi ,0)={\frac {D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

Cas $D=0$: Donat un pla $Ax+By+Cz=0$ el vector ${\overrightarrow {(A,B,C)}}$ és perpendicular a tots els vectors ${\overrightarrow {0P}}={\overrightarrow {(x,y,z)}},$ on $P=(x,y,z)$ i $0=(0,0,0)$ són punts del pla. La seva equació és, en realitat, un producte a escalar com: ${\overrightarrow {(A,B,C)}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=0$ $\Leftrightarrow Ax+By+Cz=0$ i com que dona zero vol dir que tots els vectors ${\overrightarrow {0P}}$ de dins del pla són perpendiculars al vector ${\overrightarrow {(A,B,C)}}.$ Cas $D\neq 0$: Donat un pla de $\mathbb {R} ^{3}$ de la forma $Ax+By+Cz=D$ se sap dos coses: primer que és paral·lel al pla $Ax+By+Cz=0$ perquè no tenen punts en comú i que, per tant, el vector ${\vec {n}}={\overrightarrow {(A,B,C)}}$ és perpendicular al pla. És el mateix que escriure: ${\overrightarrow {(A,B,C)}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=D$ Observació: Si es divideix el vector per la seva norma s'obté un vector unitari: ${\hat {n}}={\frac {\overrightarrow {(A,B,C)}}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$ Però si es divideix la seva equació per la norma llavors queda com: ${\frac {Ax+By+Cz}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}={\frac {D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$ llavors, l'expressió del pla queda com: ${\hat {n}}\cdot (x,y,z)={\frac {D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$ El producte a escalar ${\hat {n}}\cdot (x,y,z)$ és mesurar la projecció del vector ${\overrightarrow {0P}}$ en la direcció de ${\hat {n}}$ que és la direcció del camí més curt entre el punt $0=(0,0,0)$ i el pla $\pi .$ En resum: ${\hat {n}}\cdot (x,y,z)={\frac {D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$ parla de quina és la longitud de tots els vectors ${\overrightarrow {0P}}$ en la direcció ${\hat {n}},$ on $P$ són punts del pla.

La distància entre dos plans paral·lels, si $\pi :Ax+By+Cz=D,$ i $\beta :Ex+Fy+Gz=H,$ és: $d(\pi ,\beta )=\left|{\frac {D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}-{\frac {H}{\sqrt {E^{2}+F^{2}+G^{2}}}}\right|$

Trivial després de la proposició anterior, es dibuixen tots els casos i clarament cada projecció en direcció la perpendicular dels plan els distingeix de forma unívoca.

Distància recta pla.

Distància recta recta.

Distància recta punt.

Exercicis:

1) Donat un parell de vectors, ${\vec {u}}={\overrightarrow {(1,2,3)}}$ i ${\vec {v}}={\overrightarrow {(-1,3,-1)}},$ calcula:

a) Un vector ${\vec {w}}$ perpendicular a ambdós.

b) Normalitza el vector perquè sigui unitari, és a dir, de longitud 1.

c) Multiplica ${\hat {w}}$ per ${\vec {u}}$ i ${\vec {v}},$ què s'observa?

2) Tenim un pla generat paramètricament $(1,1,1)+\lambda {\overrightarrow {(1,1,0)}}+\gamma {\overrightarrow {(0,-1,1)}},$ calcula:

a) El vector perpendicular a ambdós vectors de la fórmula paramètrica.

b) Normalitza el vector.

c) Multiplica els vectors que hi ha a la fórmula paramètrica pel vector normal i digues què s'observa?

d) podem trobar la equació del pla de la forma $Ax+By+Cz=D?$