Obyčajné differenciálne rovnice/Úvod do Runge-Kutta metód
Runge-Kutta metódy
[edit]Metódy Runge-Kutta (RKV) sú špeciálne jednokrokové metódy, ktoré vďaka svojej štruktúre umožňujú vyšší stupeň konzistencie, a tým aj vyššiu presnosť numerického riešenia. Tieto metódy vyvinul nemecký matematik Wilhelm Kutta v roku 1901 na základe článku Carla Rungeho z roku 1895.
Ak sa pozrieme na rovnicu , vyšší rád konzistencie metódy Runge-Kutta je spôsobený vyšším počtom vyhodnotení funkcie (pravá strana rovnice) v bodoch medzi und dosiahnuté. Medziľahlé body voláme Kroky, oder Body podpory, pričom a je prírastok.
V doteraz študovaných ESV, ako sú Eulerova metóda, lichobežníkové pravidlo, pravidlo stredového bodu (v explicitnej alebo implicitnej forme), sa v každom kroku použilo jedno alebo dve vyhodnotenia v bodoch alebo . V RKV sa počet bodov mriežky zvyšuje a ich poloha sa určuje primerane, aby sa dosiahol čo najvyšší poriadok konzistencie. Die bisher bekannten ESV können als die einfachsten Runge-Kutta Verfahren einordnet werden.
'Definícia 4.1. ("Runge-Kutta metóda").
Nech je počet stupňov/podporných bodov, je koeficientová matica so zápismi , nech vektor váh a vektor výberových bodov.
Metóda s pravidlom sa nazýva s-kroková Runge-Kutta metóda.
Metódy Runge-Kutta sa dajú špecifikovať aj schematicky v takzvanej Butcherovej tabuľke:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Butcher_4.0_1.png/180px-Butcher_4.0_1.png)
oder kurz
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Butcher_4.0_2.png/120px-Butcher_4.0_2.png)
.
Príklad 4.1.
Ohodnotenie funkcie RKV pre je kde je druhý riadok matice a
Nová hodnota numerického riešenia po jednom kroku RKV (nazývanom aj Runge-Kutta aktualizácia) sa vypočíta podľa (4.2) ako
Porovnanie tejto rovnice s Volterrovou integrálnou rovnicou (2.1) na intervale ,
vedie k nasledujúcim úvahám: Ak integrál zmysluplne nahradíme súčtom takým, že
na výpočet novej hodnoty sa použije kvadratúra . Tu sú uzly tejto kvadratúry v bodoch mriežky (pozri (4.1)) a sú váhy kvadratúry. Skonštruovať RKV teda znamená nájsť vhodnú kvadratúru integrálu . Najjednoduchšie RKV (ide o jednokrokové metódy uvedené v kapitole 3) zahŕňajú aplikáciu kvadratúr, ako je pravidlo obdĺžnika, stredového bodu a lichobežníka pre integrál (pozri poznámku 3.1 bod iii) a obrázky 3.1, 3.2, 3.3, 3.4). Butcherovu tabuľku možno interpretovať takto: Vektor opisuje body mriežky a vektor opisuje váhy príslušnej kvadratúry na intervale . Die Matrix spiegelt in gewissem Sinne die Differentialgleichung zurück. Dies kann wie folgt begründet werden:
Nach der Definition der Runge-Kutta Verfahren, siehe (4. 1), und mithilfe der Differentiagleichung kann darauf geschlossen werden, dass die die Ableitungen der gesuchten Funktion an den Stützstellen approximieren, sodass mit und - fest,
platí. Keďže na výpočet sa používa matica , automaticky sa tým vyjadruje diferenciálna rovnica vo vyššie opísanom zmysle.
Na rozlíšenie explicitných a implicitných metód RK možno použiť maticu :
- Explicitná Runge-Kutta metóda (eRKV):
Ak je matica dolná trojuholníková matica, ide o explicitnú RKV. V tomto prípade sa v každom kroku na výpočet použije iba predtým vypočítaná . V tomto prípade môžete explicitne vypočítať vložením ako
- 'Implicitná Runge-Kutta metóda (iRKV):
Implicitná Runge-Kutta metóda (iRKV):
Ak je matica plne vyplnená matica, potom všeobecne závisí od všetkých pre každé . Výpočet sa potom vykoná riešením (lineárnej alebo prípadne nelineárnej) sústavy rovníc. V tomto prípade je výpočet jednoduchší alebo lacnejší, ak je trojuholníková matica. V tomto prípade sa rozlišuje medzi
- DIRK-metóda: ’diagonálna implicitná metóda RK’:
- DIRK-metóda: ’diagonálna implicitná metóda RK’:
Matrix je trojuholníková matica s ,
- SDIRK-metóda: ’jednoducho diagonálna implicitná metóda RK’:
- SDIRK-metóda: ’jednoducho diagonálna implicitná metóda RK’:
matica je trojuholníková matica s ist eine Einheitsmatrix,
- SIRK-metóda ’jednoducho implicitný postup RK’:
- SIRK-metóda ’jednoducho implicitný postup RK’:
matica je plne vyplnená matica, pričom a horná trojuholníková matica tiež pozostáva z 's.
Teraz uvedieme niekoľko konkrétnych príkladov Runge-Kutta metód:
Explicitná Eulerova metóda, :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/Butcher_4.0_3.png/100px-Butcher_4.0_3.png)
Implicitná Eulerova metóda, :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Butcher_4.0_4.png/100px-Butcher_4.0_4.png)
Vylepšená Eulerova metóda (explicitné pravidlo stredového bodu), :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Butcher_4.0_5.png/180px-Butcher_4.0_5.png)
Klasický Runge-Kutta postup, :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Butcher_4.0_6.png/220px-Butcher_4.0_6.png)
- Pravidlo, :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Butcher_4.0_7.png/220px-Butcher_4.0_7.png)
Ďalšie dve explicitné 3-stupňové RKV sú dané nasledujúcimi Butcherovými tabuľkami:
Heunova metóda, (1900): 3-stupňová eRKV
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Butcher_4.0_8.png/250px-Butcher_4.0_8.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Butcher_4.0_9.png/250px-Butcher_4.0_9.png)