Obyčajné differenciálne rovnice/Diferenciálne rovnice

1.1 Diferenciálne rovnice

Diferenciálne rovnice sú rovnice, v ktorých sa vyskytuje neznáma funkcia a jej derivácie. Takéto rovnice predstavujú vzťah medzi priebehom určitého procesu opísaného danou funkciou a zmenou tohto procesu v priestore alebo čase. Diferenciálne rovnice sa často vyskytujú, keď sa má matematicky modelovať fyzikálny, chemický, biologický alebo sociálny proces. Fyzikálne odvodenie diferenciálnej rovnice je preklad fyzikálnych zákonov do matematického jazyka: do diferenciálnej rovnice alebo do systému niekoľkých diferenciálnych rovníc.

Ak hľadaná funkcia závisí len od jednej premennej, t. j. ${\textstyle y=y(t)}$, t. j. modelovaný proces závisí napríklad len od času, diferenciálna rovnica sa označuje ako obyčajná diferenciálna rovnica. Ak modelovaná funkcia závisí od viacerých premenných, napríklad od priestorových súradníc ${\textstyle x\in {\mathbb {R} }^{3}}$, alebo navyše od času ${\textstyle t}$, t. j. ${\textstyle y=y(t,x),\,x\in {\mathbb {R} }^{3}}$, diferenciálna rovnica sa nazýva parciálna diferenciálna rovnica. Vyskytujú sa tu parciálne derivácie funkcie ${\textstyle y}$ podla ${\textstyle t}$ a ${\textstyle x}$.

Príklad 1.1 (Traktrix, Leibniz 1693).

Uvažujeme reťiazkové hodinky s dĺžkou reťiazky ${\textstyle a}$, ktoré ležia na stole tak, že ich retiazka je na začiatku ${\textstyle t=t_{0}}$ je kolmá na okraj stola. Koniec reťiazky sa pomaly ťahá po okraji stola. Po ktorej krivke sa pohybujú hodinky? (Polomer hodín tu môžeme zanedbať, takže polohu hodín môžeme opísať pomocou ich stredu)

Riešenie:

Obr. 1.1: Aproximácia krivky opísanej reťazovými hodinkami pomocou explicitného prístupu riešenie

Neznámu polohu hodín v určitom čase $t\in (t_{0},T)$ opíšeme funkciou $y(t)$. Tu $t_{0}$ zodpovedá času začiatku (napríklad $t_{0}=0$) a $T$ času konca nášho pozorovania. Hrana tabuľky, ktorá bola na začiatku kolmá na reťazec hodín, predstavuje os $t$. Napätá hodinová reťaz predstavuje dotyčnicu k nami hľadanej krivke $y(t)$. Keďže táto má vždy rovnakú dĺžku $a$, hľadaná krivka sa nazýva aj ekvidištantná krivka (trajektória). Poloha hodín je načrtnutá na obrázku 1.1.

Používame $s(t)$ na označenie priesečníka hodinového reťazca s osou $t-$ a $M_{1}$ na označenie polohy stredu hodín v čase $t_{1}$. Potom pre bod v čase $t_{1}\in (t_{0},T),\,t_{1}>t_{0}$ platí pri uvažovaní trojuholníka $t_{1},s(t_{1}),M_{1}$ $a^{2}=y^{2}(t_{1})+(s(t_{1})-t_{1})^{2}\quad \implies s(t_{1})-t_{1}={\sqrt {a^{2}-y^{2}(t_{1})}}.\qquad (1.1)$

Teraz sa pozrieme na polohu reťazca v inom časovom bode $t_{2}\in (t_{0},T),\,t_{2}>t_{1}$, kde $\Delta t=t_{2}-t_{1}$. Ak zvolíme $\Delta t$ dostatočne malú, stred hodín $M_{2}$ leží v čase $t_{2}$ približne na hypotenuse $y(t_{1}),\,s(t_{1})$, teda v $M_{3}$. Z podobnosti trojuholníkov $t_{1},\,s(t_{1}),M_{1}$ a $t_{2},\,s(t_{1}),\,y(t_{2})$ potom vychádza ${\frac {y(t_{2})}{y(t_{1})}}={\frac {t_{2}-s(t_{1})}{t_{1}-s(t_{1})}}.$

Nulový súčet $\pm t_{1}$ v čitateli skr pravej strany uvesknej rovnice a násobenie $y(t_{1})$ potom vedie k $y(t_{2})=y(t_{1})(1+{\frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-s(t_{1})}})$, a nakoniec dostaneme ${\frac {y(t_{2})-y(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {y(t_{1})}{t_{1}-s(t_{1})}}.$

Keďže funkcia $s(t)$ je neznáma, treba ju z skr vyššie uvesknej rovniceskn vylúčiť. To však umožňuje rovnica (1.1). Po zovšeobecnení skr skr sa postupuje od času $t_{1}$ k času $t_{2}$, v skm určíme polohu hodín skr v čase $t_{i+1}$ počnúc $t_{i}$, dostaneme rovnicu ${\frac {y(t_{i+1})-y(t_{i})}{t_{i+1}-t_{i}}}={\frac {-y(t_{i})}{\sqrt {a^{2}-y^{2}(t_{i})}}},\ i=0,1,\ldots N,t_{N}=T.\qquad (1.2)$

Limitný prechod s $\Delta t:=t_{i+1}-t_{i}$ smerom k 0, t. j. $t_{i+1}\to t_{i}$ v (1. 2) nakoniec vedie k nasledujúcejskr obyčajnej diferenciálnej rovnici (za predpokladu, že krivku $y(t)$ možno opísať diferencovateľnou funkciouskn): $y'(t)={\frac {-y(t)}{\sqrt {a^{2}-y^{2}(t)}}},\qquad (1.3)$

ktorý je vybavený počiatočnou podmienkou skr ${\textstyle y(t_{0})=a}$. V skm explicitnom Uvod2s prístupe opísanom vyššie sme budúcu polohu skr hodín aproximovali pomocou skr aktuálnej polohy. Tento prístup sa odráža aj rovnici skr (1.2); po vyriešení ${\textstyle y(t_{i+1})}$ predstavuje táto rovnica iteračný postup, pričom každú novú polohu hodín možno určiť zo starej polohy: $$y(t_{i+1})=y(t_{i})-\Delta t{\frac {-y(t_{i})}{\sqrt {a^{2}-y^{2}(t_{i})}}},\ i=0,1,\ldots N.$$ $y(t_{i+1})$ predstavuje táto rovnica iteračný postup, pomocou ktorého môžete určiť hodiny skr zo starej polohy skr pre každúsk novú polohu: $y(t_{i+1})=y(t_{i})-\Delta t{\frac {-y(t_{i})}{\sqrt {a^{2}-y^{2}(t_{i})}}},\ i=0,1,\ldots N.$

Obrázok 1.2: Aproximácia krivky skr skr hodinového reťazca implicitným (spätným) prístupom

Prístupskr Uvod2 by bol implicitný prístup. Tu by sa pozícia hodín skr opísala spätne v čase skr. Vychádzajúc z budúcej polohy skr hodín skr (v ${\textstyle t_{i+1}}$) určiť aktuálnu polohu (v ${\textstyle t_{i}}$). V tejto situácii (pozri obrázok 1. 2) by smesk uvažovali trojuholník ${\textstyle t_{2},s(t_{2}),M_{2}}$ a predchádzajúcu polohu skr hodiny ${\textstyle y(t_{1})}$ na skr predĺžení skr hypotenuse ${\textstyle M_{2},s(t_{2})}$ , t. j. v bosk ${\textstyle M_{2},s(t_{2})}$. t. j. hľadajte v bosk ${\textstyle M_{3}}$. Z skr podobnosti skr trojuholníkov ${\textstyle t_{2},s(t_{2}),M_{2}}$ a ${\textstyle t_{1},s(t_{2}),M_{3}}$ vedie v tomto prípask k $${\frac {y(t_{1})}{y(t_{2})}}={\frac {t_{1}-s(t_{2})}{t_{2}-s(t_{2})}}\implies {\frac {y(t_{2})-y(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {y(t_{2})}{t_{2}-s(t_{2})}}.$$

Pomocou ${\textstyle s(t_{2})-t_{2}={\sqrt {a^{2}-y^{2}(t_{2})}}}$, pozri trojuholník ${\textstyle t_{2},s(t_{2}),M_{2}}$, napokon vyplýva zovšeobecnenie pre všetky kroky podľa skr $${\frac {y(t_{i+1})-y(t_{i})}{t_{i+1}-t_{i}}}={\frac {-y(t_{i+1})}{\sqrt {a^{2}-y^{2}(t_{i+1})}}},\ i=0,1,\ldots N,t_{N}=T.\qquad (1.4)$$ Na získanie novej hodnoty skn je potrebné vyriešiť nelineárnu rovnicu (1.4) pre ${\textstyle y(t_{i+1})}$. Vo všeobecnom prípask isk o náročný problém, ktorý sa v praxi rieši skr iteračnou metódou (Newtonova, bisekčná, oskr sekantová metóda).

Uvod2formuly (1.2),(1.4) predstavujú numerickú aproximáciu skr diferenciálnej rovnice (1.3) pre ekvitangenciálnu krivku. Vzorec (1.2) možno získať aj v skm rovnici (1. 3) v diskrétnych časových krokoch ${\textstyle t_{i},\ i=0,1,\ldots N}$, pričom dericia sa aproximuje v každomskm ${\textstyle t_{i}}$ s doprednou diferenciou, ${\textstyle y'(t_{i+1})\approx {\frac {y(t_{i+1})-y(t_{i})}{t_{i+1}-t_{i}}}}$. Vzorec (1.4) získame analogicky dosaskním ${\textstyle t=t_{i+1}}$ do (1. 3) a nahraskním skr dericia s skr spätne odobratým rozdielom $y'(t_{i+1})\approx {\frac {y(t_{i+1})-y(t_{i})}{t_{i+1}-t_{i}}}$. Uvod2s (1.3), (1.2) a (1.4) sa (vo všeobecnosti) nezhodujú. Možno však predpokladať, že Uvod2 týchto rovníc sa navzájom aproximujú s ${\textstyle \Delta t\to 0}$. Rozlišovať medzi numerickou aproximáciou skr Uvod2 a skr presnou Uvod2, označujeme numerickú aproximáciu skn s ${\textstyle \eta _{i}}$ v ${\textstyle t_{i}}$, $\eta _{i}\approx y(t_{i})$ ...

Riešenie Príkladu Traktrix v Geogebre

Approximatívnu grafickú realizáciu krivky Traktrix (explicitný prístup) možno nájsť ako Interaktives Geogebra-Applet 1, alebo Interaktives Geogebra-Applet 2, v nemeckom jazyku (Autor A. Hundertmark).