Aby sme mohli formulovať Súbor pevných bodov Banachovu vetu o pevnom bode, najprv si osviežime niektoré základy z Grundlagen funkcionálnej analýzy.
'Banachov priestor
je lineárny normalizovaný vektorový priestor (s vektorovou normou skr
), skr je úplný[1].
''Definícia 2.2 (vektorový priestor)
Trojuholníkovú nerovnosť možno ľahko zovšeobecniť (pomocou matematickej indukcie vzhľadom na skr číslo skr Summanskn) na konečný súčet,
Jednoduchým príkladom Banachovho priestoru je vektorový priestor skr
vybavený vektorovými normami skr nasledujúcimiskn.
- Euklidov štandard
![{\displaystyle \|x\|_{2}:=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6f9d61a3a1656f4e0528915f6364cb0cd26f6fd)
- Štandardná suma
![{\displaystyle \|x\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f100673e67dcee9eaca132603e2a858c9135ae1a)
- Maximálny štandard
![{\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max _{i=1,\ldots ,n}|x_{i}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8d9b0b46adb17cb4cf7ec0fdbcddd23cb56408)
Folgensks lema poskytuje analógiu k zovšeobecnenej trojuholníkovej nerovnosti skr norma.
Nech
je rozklad Demontáž intervalu
. Potom konečný súčet
konverguje voči
pre
. Keďže norma je spojité zobrazenie, dostaneme
pre dostatočne veľké
a nakoniec
podobne, z endliche Summe konvergencie Integral konečného súčtu voči integrálu dostaneme
a nasledujúce
Teraz z (2.5) pomocou skr zovšeobecnenej trojuholníkovej nerovnosti a (2.6) vyplýva, že
a nakoniec s
výrok sks Lemmy. ◻
Ďalším príkladom Banachovho priestoru je skr priestor
skr spojitých funkcií
. Normu na
skdefinujeme ako maximálnu normu:
kde
je ľubovoľná vektorová norma v
, pozri vyššie.
Teraz uvažujeme mapovanie
,
Banachov priestor, a sledujemesk rovnicu pevného bodu: Finsk a
s
Lösung tejto rovnice možno nájsť pomocou nasledujúceho iteračného prístupuskmskn. Sei
gegeben,
Konvergencia tejto iterácie a následne riešiteľnosť skr rovnice pevného bodu je zaručená nasledujúcouskr vetou.
Nastavenie 2.1 (Banachova veta o pevnom bode)
'Nech
je Banachov priestor a
uzavretá množina v
. Sei ferner
eine Abbildung mit
, d.h.
sa mapuje do sebasknd,
je kontrakcia, t. j. existuje konštanta
s
.
Potom
má presne jeden pevný bod v
, iteračná postupnosť (2. 7) konverguje voči Uvod2
z
a platia nasledujúcesk odhady:
Dôkaz.
Dôkaz skBanachovej vety o pevnom bode možno nájsť napríklad v M. Ružička: Nelineárne Functional Analysis, Theorem 1.5, finskn. ◻
Teraz sa ukáže konvergencia skr Piccard-Linsklöfovej iterácie (2.2) pomocou sks Banachovej vety o pevnom bode, čím sa dokáže existencia jedinej Uvod2 skr Volterrovej integrálnej rovnice (2.1). V nasledujúcomskn je zrejmé, že podmienky sks Banachovej vety o pevnom bode sú splnené len v určitom okolí počiatočnej hodnoty
, a teda je dokázaná "len" lokálna existencia a jednoznačnosť skr Uvod2.
Pre
sk definujeme
Pozri obrázok 2.1. Teraz sformulujeme existenčnú vetu skn pre Uvod4 (1.6).
''Satz 2.2 ("Lokálna existencia a jednoznačnosť Uvod2 Uvod2 skr Uvod4")
Predpoklad
a platí aj nasledujúce
je rovnomerne Lipschitzovo spojité v
vzhľadom na
, t. j. es existuje konštanta
, takže
gilt ![{\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|\leq L|y_{1}-y_{2}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3205a717283bfb6489c25a84738130f41e17a78)
- für
je
kde
.
Potom existuje jedinečná skutige Uvod2
skr Uvod4
a iterácia (2. 2) konverguje k
rovnomerne voči
za predpokladu
,
.
Dôkaz.
Označíme
a považujeme
za spojité. V priestore skr spojité funkcie na
skdefinujeme normu ako váženú normu
Priestor všetkých spojitých funkcií na
, vybavený vyššie uvedenou váženou maximálnou normou, je Banachov priestor
.
Ďalej skpre
definujeme uzavretú sféru
(Pre
sk definujeme
).
Najprv dokážeme, že mapovanie
skv (2.3) mapuje sféru
na seba samu, t. j.
Zvolíme si
a skúmame, či
pre všetky
. Pomocou (2.3) a (2.4) dostaneme
Ak
platí
, potom
. Ak
, je splnená aj podmienka
. Celkovo pre všetky
vyplýva, že
math>).
Ďalej ukážeme, že
je kontrahovanésk mapovanie vzhľadom na skr maximálnou normou
. Pomocou (2.3) a skr Lipschitzovej spojitosti
vzhľadom na
dostaneme
Teraz wenskn použijeme definíciu normy skr a dostaneme z vyššie uvedeného
kde
Pri vhodnej voľbe váhovej funkcie skr
,
a tým sa mapovanie
stáva kontrakčným. Najjednoduchšia voľba
vedie k
V tomto prípade je mapovanie
kontrakčné pre
. To by všaksk ukladalo ďalšiu podmienku na
(okrem ii)). Výhodnejšia voľba skr váhovej funkcie je
. V tomto prípade platí
nd a nakoniec
pre všetky
. To znamená, že mapovanie
je kontrakčné. Aus skm Banachovej vety o pevnom bode vyplýva existencia a jednoznačnosť skr Uvod2 skr rovnice pevného bodu
, resp. skr Volterra'schen Integralgleichung (2.1), ako aj konvergenciu skr iterácie (2.2). ◻
Poznámky
- Uvedený dôkaz možno podobne aplikovať na interval
takto pomocou sks Banachovej vety o pevnom bode dostaneme celkovú lokálnu existenciu a jednoznačnosť na
s
,
.
- Ak
(t. j.
je globálne Lipschitzovo spojité), podmienku
(potrebnú pre vlastnosť "mapovanie do seba") môžeme vynechať. Potom získate globálnu existenciu a jednoznačnosť skr skr Uvod2 skr Uvod4 (1.6) na
.
- Ak
je iba spojitý, platí Schauskr veta o pevnom bode [2] existenciu Uvod2, ale nie jednoznačnosť a žiadne tvrdenie o konvergencii skr iterácie (2.2). Tento výsledok existencie je známy ako skr Peanova veta.
- Dôkaz vety 2.2 možno aplikovať na systémy (1. 7),
, nahradením súčtov
normou
v
.
- Teoreticky možno použiť Piccard-Linsklöf iteráciu (2.2) na výpočet aproximácie skr Uvod2, vskm, ktorá sa po niekoľkých iteráciách zruší, pozri príklady 1.2, 1.3 (kapitola 1). Integrály na pravej strane skr možno nahradiť numericky pomocou kvadratúrnych vzorcov; tento prístup sa nazýva "konečná Piccardova iterácia". V opačnom prípade sa tieto integrály musia vypočítať presne, čo je možné, ale menej praktické. Cieľom prednášky je zostrojiť také numerické metódy, ktoré sa dajú použiť v dostatočnom počte bodov
medzi
a
,
poskytujú aproximácie
bez väčšej námahy.
''Príklad 2.1
Uvažujme lineárny systém obyčajných sk5
kde
je daná spojitá maticová funkcia a
je daná vektorová funkcia.
Teraz overíme Lipschitzovu spojitosť skr pravej strany vzhľadom na skr
normu.
Posledná nerovnosť vychádza z vlastnosti skr maticovej normy
, skr kompatibilita skr maticovej normy s vektorovou normou
:
kde maticová norma je definovaná (indukovaná) vektorovou normou ako
sk.
Konkrétne pre
s
, ist
To znamená, že kompatibilita maticovej normy skr s vektorovou normou skr
.
Keďže norma
je tiež spojité zobrazenie, nadobúda svoje maximum v
. Dann ist
die Lipschitz-Konstante für die rechte Seite sks linearen Systems und damit besitz dieses System nach Satz 2.2 eine einskutige Uvod2.
''Príklad 2.2
Riešenie ![{\textstyle y'={\sqrt {|y|}},\ y(0)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45175f439f51b94e8cb1332fb4c9eaab20f14b86)
S oddeľovačom premenných skr dostanete Uvod2
Ďalšie netriviálne Uvod2 sú napríklad pre ľubovoľný
:
Všimnite si, že funkcia skr pravej strany
v okolí skr
nie je Lipschitzovo spojitá.
- ↑ Úplný normalizovaný priestor
je jeden, in skm jesk každá Cauchyho postupnosť prvkov z
konverguje k prvku z
(v norme skr
).
- ↑ Vetu o pevnom bode Schauskr možno nájsť napr. v práci M. Ružičku,
Nichtlineare Funktionalanalysis,(https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-62191-2 )Satz 2.46 finskn. V podmienkach skn sa tu vynecháva zmluvnásk vlastnosť skr mapovania
(ktorá vyplýva z skr Lipschitzovej spojitosti
).