Lineárne systémy obyčajných sk5
[edit]
Uvažujeme nasledujúcisksystém sk5.
Pre danú spojitú maticovú funkciu
, spojitá funkcia skr pravej strane
und
finsk die Uvod2
skr Uvod4
( V tomto odseku používame
na označenie vektorovej funkcie a jej zložiek s
,
).
Všetky Uvod2s
sks nehomogénne problémy (2. 11) finskt ako superpozícia (súčet) skr Uvod2
skr homogénne Uvod4
a špeciálny Uvod2
skr nehomogénny Uvod4 (2.11) s homogénnymi počiatočnými podmienkami
. To znamená, že každýsk Uvod2 možno zapísať ako
a špeciálny Uvod2
skr nehomogénny Uvod4 (2.11) s homogénnymi počiatočnými podmienkami
. To znamená, že každýsk Uvod2 možno zapísať ako
Najprv sa budeme zaoberať skm homogénnym systémom (2.12) a budeme hľadať Uvod2 tohto systému. Uvažujme mapovanie
, ktoré mapuje skn počiatočný vektor
na Uvod2
systému (2.12). Z príkladu 2.1 vieme, že lineárny systém (2.12) je globálne riešiteľný, ak je norma matice
ohraničená, čo je skr prípad. Mapovanie
je teda bijektívne (a lineárne), a teda skr Uvod2s priestor má tiež dimenziu
. To však zároveň znamená, že mapovanie
obsahuje
bázové vektory
na
lineárne nezávislé vektoryskt. Používame sks Inskxes
na označenie každého z nich ako
. Máme teda
nezávislých Uvod2s
Definícia 2.3 (Fundamentálna matica). Diet Fundamentálna matica je pekná
-Matica, skren Spálten diet Uvod2en
von (2. 13) bilskn,
Pomocou základnej matice skr možno homogénny systém Uvod2 sks so všeobecnými počiatočnými podmienkami (2.12) zapísať ako
Základná matica daná Uvod2 z (2.13) spĺňa
. Základnú maticu môžete definovať aj pomocouskar bázy, t. j.skar počiatočnej podmienky v (2.13) sk, napríklad vziať skn vlastný priestor konštantnej matice, ako je opísané v nasledujúcej časti. V tomto všetkom
, ale regulárne. V tomto prípade možno homogénny systém Uvod2 sks všeobecnými počiatočnými podmienkami (2.12) určiť ako ![{\displaystyle {\vec {y}}_{H}(t)=Y(t)Y(t_{0})^{-1}{\vec {y}}_{0}.\qquad (2.15)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57853182fca0dfb8c1395aaa2fbe8a9d7d603317)
Dôležitou vlastnosťou základnej matice skr je nasledujúca lemasks:
Lemma 2.3. Ak
platí pre
, potom
platí pre všetky
.
Dôkaz. Dôkaz vykonal Wiskrspruch. Ak
pre
a existuje
s
, potom existuje vektor
mit
. Vektor
je lineárna kombinácia skr Uvod2en sks systémov
, t.j. aj Uvod2 tejto sústavy, ktorá zaniká v čase
. Lineárny systém je jedenskutig riešiteľný, a teda jedenskutig Uvod2, ktorý v súčasnosti
zaniká, triviálny Uvod2
. To vedie k Wiskr tvrdeniu k
, pretože potom Uvod2 tiež zanikne v čase
,
ale
. ◻
Vyššie uvedená lema zaručuje pre homogénny systém (2.13), že súvisiaca fundamentálna matica zostáva regulárna aj v
(
).
Špeciálna Uvod2 sk nehomogénneho systému (2.11) s homogénnymi počiatočnými hodnotami
je
Toto sa dá ľahko vypočítať. Po skm derivácii skr pravej strany na
dostaneme
Zároveň platí integrál
, pozri (2. 16), teda celkovo
Keďže základná matica
pozostáva z skn Uvod2en z (2.13), platí
. Dosadením do pravej strany skr hornej rovnice nakoniec dostaneme
takže
z (2. 16) je Uvod2 z (2.11) s
.
Princíp skr superpozície s skn vzorcami (2.14) alebo (2.15) a (2.16) nám nakoniec poskytuje Uvod2s vzorec pre nehomogénny systém (2.11),
Na určenie Uvod2
pomocou tohto vzorca treba vypočítať a invertovať základnú maticu
. Pre všeobecnú
neexistuje všeobecná explicitná reprezentácia skr fundamentálnej matice. Ak je však
konštantná matica, možno explicitne určiť Uvod2s
, a teda aj fundamentálnu maticu
. Tento Uvod2s prístup opíšeme v nasledujúcej časti.