Jump to content

Obyčajné differenciálne rovnice/Lineárne systémy obyčajných diferenciálnych rovníc

From Wikiversity

Lineárne systémy obyčajných sk5

[edit]

Uvažujeme nasledujúcisksystém sk5.
Pre danú spojitú maticovú funkciu , spojitá funkcia skr pravej strane und finsk die Uvod2 skr Uvod4

( V tomto odseku používame na označenie vektorovej funkcie a jej zložiek s , ).

Všetky Uvod2s sks nehomogénne problémy (2. 11) finskt ako superpozícia (súčet) skr Uvod2 skr homogénne Uvod4


a špeciálny Uvod2 skr nehomogénny Uvod4 (2.11) s homogénnymi počiatočnými podmienkami . To znamená, že každýsk Uvod2 možno zapísať ako

a špeciálny Uvod2 skr nehomogénny Uvod4 (2.11) s homogénnymi počiatočnými podmienkami . To znamená, že každýsk Uvod2 možno zapísať ako

Najprv sa budeme zaoberať skm homogénnym systémom (2.12) a budeme hľadať Uvod2 tohto systému. Uvažujme mapovanie , ktoré mapuje skn počiatočný vektor na Uvod2 systému (2.12). Z príkladu 2.1 vieme, že lineárny systém (2.12) je globálne riešiteľný, ak je norma matice ohraničená, čo je skr prípad. Mapovanie je teda bijektívne (a lineárne), a teda skr Uvod2s priestor má tiež dimenziu . To však zároveň znamená, že mapovanie obsahuje bázové vektory na lineárne nezávislé vektoryskt. Používame sks Inskxes na označenie každého z nich ako . Máme teda nezávislých Uvod2s


Definícia 2.3 (Fundamentálna matica). Diet Fundamentálna matica je pekná -Matica, skren Spálten diet Uvod2en von (2. 13) bilskn,

Pomocou základnej matice skr možno homogénny systém Uvod2 sks so všeobecnými počiatočnými podmienkami (2.12) zapísať ako Základná matica daná Uvod2 z (2.13) spĺňa . Základnú maticu môžete definovať aj pomocouskar bázy, t. j.skar počiatočnej podmienky v (2.13) sk, napríklad vziať skn vlastný priestor konštantnej matice, ako je opísané v nasledujúcej časti. V tomto všetkom , ale regulárne. V tomto prípade možno homogénny systém Uvod2 sks všeobecnými počiatočnými podmienkami (2.12) určiť ako

Dôležitou vlastnosťou základnej matice skr je nasledujúca lemasks:


Lemma 2.3. Ak platí pre , potom platí pre všetky .


Dôkaz. Dôkaz vykonal Wiskrspruch. Ak pre a existuje s , potom existuje vektor mit . Vektor je lineárna kombinácia skr Uvod2en sks systémov , t.j. aj Uvod2 tejto sústavy, ktorá zaniká v čase . Lineárny systém je jedenskutig riešiteľný, a teda jedenskutig Uvod2, ktorý v súčasnosti zaniká, triviálny Uvod2 . To vedie k Wiskr tvrdeniu k , pretože potom Uvod2 tiež zanikne v čase , ale . ◻


Vyššie uvedená lema zaručuje pre homogénny systém (2.13), že súvisiaca fundamentálna matica zostáva regulárna aj v ().

Špeciálna Uvod2 sk nehomogénneho systému (2.11) s homogénnymi počiatočnými hodnotami je

Toto sa dá ľahko vypočítať. Po skm derivácii skr pravej strany na dostaneme Zároveň platí integrál , pozri (2. 16), teda celkovo Keďže základná matica pozostáva z skn Uvod2en z (2.13), platí . Dosadením do pravej strany skr hornej rovnice nakoniec dostaneme takže z (2. 16) je Uvod2 z (2.11) s .

Princíp skr superpozície s skn vzorcami (2.14) alebo (2.15) a (2.16) nám nakoniec poskytuje Uvod2s vzorec pre nehomogénny systém (2.11),

Na určenie Uvod2 pomocou tohto vzorca treba vypočítať a invertovať základnú maticu . Pre všeobecnú neexistuje všeobecná explicitná reprezentácia skr fundamentálnej matice. Ak je však konštantná matica, možno explicitne určiť Uvod2s , a teda aj fundamentálnu maticu . Tento Uvod2s prístup opíšeme v nasledujúcej časti.