Nech je matica
v (2.11) konštantná,
Princíp skr superpozície a z neho vyplývajúci vzorec sk (2.17) platí v tomto špeciálnom prípade a poskytuje Uvod2 sks nehomogénnu úlohu (2.11). skr homogénna rovnica
súvisiaca fundamentálna matica pozostáva z
nezávislých vektorovo-hodnotových funkcií
skn Uvod2s
zodpovedajú . Každúsk anskre Uvod2 tejto homogénnej diferenčnej rovnice možno reprezentovať ako kombináciu
týchto Uvod2s. Konštanty
súskn neskôr určené počiatočnou podmienkou, sknn musí platiť
Uvod2 z (2.18) určíme pomocou vlastných čísel (EW) a vlastných vektorov (EV) skr matice
. Pre vlastné hodnoty a vlastné vektory matice
platí nasledovné:
kde
oskr
skr
- a
oskr
skr je príslušný vlastný vektor,
. Po skm preformulovaní skr uvedenej rovnice dostaneme
z čoho vyplýva, že matica
je singulárna. To je ekvivalentné s
. Determinant
je polynóm
-tej grasks v
, tzv. charakteristický polynóm
. Vlastné čísla
sú teda nuly
. V nasledujúcomskn najprv uvažujeme skn prípade skr jednoduché nuly
,
Teraz hľadáme skr Uvod2 z (2.18). Ak skr Uvod2svektor
z skm (konštantná) časť vlastného vektora
a skm skalárna časť
, potom na skr pravá strana (2. 18)
, a skr nekonštantná,
závislá, skalárna časť
musí obsahovať skn výraz
. Takto sa dostaneme k Uvod2
(uistite sa, že
).
Nakoniec sk definujeme základnú maticu pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel.
Definícia 2.4 (Fundamentálna matica pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel
Definícia 2.4 (Fundamentálna matica pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel
Nech vlastné hodnoty matice skr
sú jednoduché,
Fundamentálna matica skr homogénnej diferenciálnej rovnice (2.18) je jednoduchá,
. 18) má potom nasledujúcisk tvar
kde
sú (jednoduché) vlastné hodnoty a príslušné vlastné vektory
.
Teraz môžeme určiť jedenskutige Uvod2 sks problém počiatočnej hodnoty. Nech
je Uvod2 z (2.18) s
. Potom
, kde
sú stĺpce skr základnej matice (2. 19) a konštanty
sú určené ako Uvod2 sks nasledujúci Lösung lineárny systém,
Tento lineárny systém presne zodpovedá podmienke skr
pretože
.
Príklad 2.3. Finsk the Uvod2 skr Uvod4 tretí rád
Po skm preformulujte túto rovnicu do
sústavy Dgl pre
dostaneme
Určíme vlastné hodnoty a vlastné vektory skr matice systému. Charakteristický polynóm tejto matice je
Nuly
sú
Zodpovedajúcesk vlastné vektory pre tieto vlastné hodnoty sú (prepočítajte!)
(oskr nemeniacich sasknsk násobkov
). Teraz môžeme vypočítať všeobecnú Uvod2 našej sústavy pomocou (2. 19) ako ľubovoľnú kombináciu skr stĺpcov skr základnej matice
,
Téme Uvod2 našej pôvodnej diferenciálnej rovnice tretieho rádu zodpovedá skr prvá zložka
t.j.
. Z počiatočných podmienok skn
nakoniec vyplýva
.
Hľadané Uvod2 je
.
Teraz uvažujeme skn prípad, keď matica
v (2.18) má viac vlastných hodnôt. Nech
je
-násobok vlastných čísel
,
. Preto charakteristický polynóm
(stupňa
) má najviac
rôznychskne núl
. Predpokladajme, že neexistujú žiadne ďalšie násobné nuly
. Potom dostaneme
vyriešením
na
celkom
nezávislých vlastných vektorov. [1]. Základnú maticu (2.19) nemožno úplne zostrojiť. werskn.
Ako vytvoriť zvyšné
nezávislé stĺpce
?
Aby sme mohli odpovedať na túto otázku, musíme sa bližšie pozrieť na násobnosť vlastného čísla. Rozlišuje sa medzi
- algebraická násobnosť (AVf) von
: toto je násobok skr nuly
, v našom prípade je to
.
- geometrická násobnosť (GVf)
: das ist die Dimension sks Uvod2sraumes von
, (die Dimension von Kern(
)).
Prípad 1: (GVf=AVf)
Situácia je jednoduchá, ak geometrická násobnosť
zodpovedá algebraickej násobnosti skr (
). Všetky potrebné vlastné vektory pre
potom získame riešením
pre
, sknn die Uvod2en
spannen v
-rozmernom vlastnom priestore k
.
Prípad 2: (GVf<AVf)
Ak je geometrická násobnosť
menšia ako
, musíme doplniť ďalšie vektory, tzv. zovšeobecnené vlastné vektory. Nech (GVf)
. Potom najprv dostaneme
ako v prípade 1
vlastné vektory
riešením
. Ďalšie zovšeobecnené vlastné vektory (nazývané aj hlavné vektory skr 2., 3. atď. úrovne) získame vložením skr už známych vlastných vektorov (oskr hlavných vektorov) do pravej strany a riešením pre
:
Dosadením prvej rovnice skr zhora do rovnice pre posledný vygenerovaný vlastný vektor skn
, dostaneme prvý hlavný vektor
pre skn, že
sksa nazýva aj hlavný vektor skr úrovne 2, pretože
. (Vlastné vektory
werden auch Hauptvektoren der úrovne 1). Postupným vkladaním sa získa úroveň 3 pre skn hlavný vektor
a nakoniec sa získa úroveň
pre skn hlavný vektor
.
Vlastné vektory
spolu s hlavnými vektormi
pokrývajú
-rozmerný vlastný priestor k
a sú použité, na generovanie chýbajúcich
stĺpcov základnej matice, ktoré patria do
-násobku vlastného čísla
.
definícia 2.5 (Fundamentálna matica pre viacnásobné vlastné hodnoty)
Nech
je
-násobok vlastných čísel matice
. Časť fundamentálnej matice (2.18) spojená s vlastnou hodnotou
má nasledujúci tvar
(2.20)
kde
sú vlastné vektory a hlavné vektory
, ktorých konštrukcia je opísaná vyššie v prípadoch 1 a 2.
Príklad 2.4 Daná je matica
s charakteristickým polynómom
. Nuly sú
(trojica),
(trojica). Nech geometrická násobnosť
je
a násobnosť
. Bestimme die Fundamentalmatrix vom System
.
Vlastný priestor pre
:
Riešením
získame vlastné vektory
. Denné vlastné vektory (hlavný vektor 2. úrovne) získame riešením
Vlastný priestor k
:
Riešením
získame vlastný vektor
. Chýbajúce zovšeobecnené vlastné vektory
(hlavné vektory 2. a 3. úrovne) získame riešením
Základná matica je teraz daná
Poznámka 2.1 (Prípad: komplexné vlastné čísla)
Podľa základnej vety algebry má charakteristický polynóm pre
s násobnosťou
núl, t.j.
má
vlastných čísel.
Okrem reálnych núl alebo vlastných čísel, o ktorých sme hovorili vyššie, je možné, že
má komplexné vlastné čísla a komplexné vlastné vektory. To znamená, že
a
sa delia na reálnu a imaginárnu časť. V tomto prípade je
tiež riešením sústavy, ale je komplexne hodnotené. Ako získate reálne riešenia?
Komplexné nuly reálnych polynómov sa vždy vyskytujú v komplexne konjugovaných dvojiciach, preto
je tiež
nula, a teda vlastné číslo. Súvisiace vlastné vektory sú potom tiež navzájom komplexne konjugované
. Preto
je tiež riešením.
Ak teraz dodržíme Eulerovu identitu
nové riešenie s reálnou hodnotou môžeme vypočítať z týchto dvoch riešení pomocou súčtu a rozdielu, reálnych riešení
pre diferenciálnu rovnicu. Haben die komplexen Nullstellen selbst eine höhere Vielfachheit, so geht man dann analog zum reellen Fall vor und muss entsprechend mit
multiplizieren. Hier gehen wir auf diesen Fall nicht weiter ein.
- ↑ Lineárna nezávislosť skr vlastných vektorov súvisí s skr diagonalizovateľnosťou skr matice
:
je diagonalizovateľná
existuje
nesingulárna matica
s
Dá sa ukázať, že symetrické matice sú diagonalizovateľné a majú reálne vlastné hodnoty