Odvodenie Runge-Kutta metód
[edit]
Runge-Kutta metódy sú konštruované s ohľadom na ich poradie konzistencie, t. j. matica koeficientov
a vektory
sa hľadajú tak, aby lokálna chyba diskretizácie bola čo najmenšia.
Analogicky k definícii 3.2 lokálnej chyby ESV v kapitole 3 možno definovať aj lokálnu chybu skrátenia (chybu diskretizácie) a potom konzistenciu Runge-Kutta metódy.
''Definícia 4.2. ("Poradie konzistencie RKV")
Nech
je dostatočne často spojito diferencovateľná funkcia. Runge-Kutta metóda má konzistentný poriadok
, ak ![{\displaystyle \|h\tau (t;h)\|=:\|\varepsilon (t;h)\|=\|y(t+h)-y(t)-h\phi (t,y,f,h)\|\leq Ch^{p+1},\ C\in {\mathbb {R} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6266d524bfe667dc79aeffa9faac1160e9a6ddb7)
kde
opisuje rozdiel medzi presným riešením a numerickým riešením, počnúc presným riešením, v bode
.
označuje Euklidovu normu na
alebo absolútnu hodnotu.
Aby sme preskúmali poriadok konzistencie všeobecného RKV, budeme teraz uvažovať lokálnu diskretizáciu chyby
. Pre vopred daný poriadok konzistencie
použijeme Taylorov rad od
a
až po prvok s
v
.
Prvý príklad demonštruje maximálny rád konzistencie, ktorý môže dvojstupňová explicitná Runge-Kutta metóda vo všeobecnosti dosiahnuť. Konvergencia a rád konvergencie RKV sa určuje pomocou definície 3.5 a kritéria konvergencie pre všeobecné jednostupňové metódy ( veta 3.1, t. j. v podstate dôkazom Lipschitzovej konzistencie funkcie metódy
).
Príklad 4.2.
Určte 2-stupňovú explicitnú Rungeho-Kuttovu metódu pre počiatočnú hodnotu úlohy (1.6) s
.
.
Keďže ide o eRKV, matica
je dolná trojuholníková matica. Preto
a treba určiť len štyri neznáme
a
:
Predpokladajme, že
a teda
. Určíme poradie konzistencie pomocou Taylorovho radu okolo
:
- Taylorov rozvoj
: Podobne ako v príklade (3.5) dostaneme
Použitím (3.14) a (3.15) tak dostaneme pre prvú časť lokálnej chyby
- Aplikujte Taylorov rozvoj v procesnej funkcii
: ![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t,y,h,f)&=b_{1}k_{1}+b_{2}k_{2}=b_{1}f(t,y(t))+b_{2}f{\Big (}t+c_{2}h,y(t)+ha_{21}f{\big (}t,y(t){\big )}{\Big )}\\&{\stackrel {Taylor}{=}}b_{1}f(t,y)+b_{2}{\Big [}f(t,y)+{\big (}f_{t}(t,y)c_{2}h+f_{y}(t,y)a_{21}hf(t,y){\big )}\\&\quad +{\frac {1}{2!}}{\Big (}f_{tt}(t,y)c_{2}^{2}h^{2}+2f_{ty}(t,y)c_{2}h^{2}a_{21}f(t,y)+f_{yy}(t,y)h^{2}a_{21}^{2}f^{2}(t,y){\Big )}{\Big ]}+{\cal {O}}(h^{3})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd89f762c1cea7c87efdfdbf7720c57908897d73)
Po dosadení Taylorovho radu (rozdielového kvocientu
a v
) do výrazu
a po dosadení príslušných mocnín
dostaneme pre lokálnu chybu
Vhodnou voľbou koeficientov
a
dostaneme výrazy pre mocniny
a čiastočne pri
zaniknú v diskretizácii chyby
. Zistili sme nasledovné:
- Dôsledné eRKV, t. j. s
pre
vedie k voľbe
s
.
- Pre posledné dva členy pri
všeobecne platí, že
, preto tretím rádom konzistencie nie je možné touto metódou dosiahnuť.
Ukázali sme, že maximálny rád konzistencie pre explicitnú RKV druhej úrovne je dva. Pre prvý alebo druhý rád konzistencie musia byť pre koeficienty metódy splnené nasledujúce podmienky:
Táto sústava troch rovníc obsahuje štyri neznáme, takže existuje nespočetné množstvo možností pre procesné koeficienty 2-stupňového eRKV druhého rádu konzistencie. Ak ako parameter vyberiete
, dostanete
- Voľba
vedie k explicitnému pravidlu stredového bodu (tzv. vylepšená Eulerova metóda).
- V prípade
dostaneme explicitné lichobežníkové pravidlo (tzv. Heunova metóda 2. rádu).
- Pri voľbe
si rýchlo uvedomíme, že dass für die ersten drei Terme bei
mit den Koeffizienten (da
)
gilt. To znamená, že hlavný chybový koeficient je obsiahnutý v lokálnej diskretizovanej chybe tejto metódy (tu je to koeficient pri
), a preto je aj chyba minimálna. Platí tu
für ein
. Podľa predpokladov sú derivácie
rovnomerne obmedzené na
a týmto dostávame optimálnu - v zmysle najmenšej lokálnej chyby - metódu druhého rádu konzistencie s ![{\displaystyle \tau (t,h)\leq Ch^{2},\quad {\mbox{kde}}\ C:=\max _{t}{\frac {|f_{t}f_{y}|+|f(f_{y})^{2}|}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0f71cfbcc3be55b953c23ec59e016ced5ab21b)
S cieľom zaručiť Rád konvergencie 2 dvojstupňového eRKV, Lipschitzova spojitosť funkcie procesu vzhľadom na
byť splnené. Nasledujúci výpočet dokazuje, že je to dôsledok Lipschitzovej spojitosti
. Toto tvrdenie sa dá zovšeobecniť. Lipschitzovu spojitosť funkcie metódy
možno odvodiť z
spojitosti
pre všetky explicitné a implicitné Runge-Kutta metódy.
Predpokladajme, že
a
sú dve numerické riešenia AWA (1.6) v
.
Pre rozdiel v procesnej funkcii analyzovanej dvojstupňovej eRKV platí:
, kde bola pre absolútnu hodnotu niekoľkokrát použitá trojuholníková nerovnosť.
Vo výpočte vyššie sme ukázali, že procesná funkcia
analyzovaného eRKV je Lipschitzovo spojitá vzhľadom na
, kde Lipschitzova konštanta
je odvodená od
konštanty funkcie
. Explicitná 2-kroková Runge-Kutta metóda je teda konvergentná s rádom konvergencie 2 a vyšší rád konvergencie sa nedá dosiahnuť.
V predchádzajúcom príklade sme videli, že 2-krokovou explicitnou Runge-Kutta metódou možno dosiahnuť druhý rád konzistencie a konvergencie. Táto analógia však všeobecne neplatí pre všetky eRKV. Neplatí, že rád konzistencie
možno dosiahnuť pomocou
úrovní. Na to sa neskôr odvoláme pomocou vety. V prípade implicitného RKV je situácia iná, pretože matica
môže byť plne naplnená, a teda existuje niekoľko možností, ako koeficientmi postupu dosiahnuť vyšší rád konzistencie.
Poznámka 4.2.
Pre koeficienty eRKV platí nasledovné:
- Poradie konzistencie
je všeobecne opísané
možno dosiahnuť úrovne.
- Pri pevnom poradí konzistencie existujú možnosti výberu koeficientov
. To znamená, že existuje niekoľko eRKV s rovnakým poradím konzistencie alebo rovnakým počtom úrovní.
Podobne ako v príklade 4.2 možno odvodiť nasledujúcu sústavu rovníc pre koeficienty eRKV s
úrovňami a
,