Obyčajné differenciálne rovnice/Podmienky pre rád Runge-Kutta metód
Poriadkové podmienky pre Runge-Kutta metódy
[edit]Doteraz sme vždy predpokladali, že pre explicitné Runge-Kutta metódy. Táto podmienka nie je zvolená ľubovoľne, ale vyplýva z určitej požiadavky na medzistupne . Ako uvidíme v nasledujúcom odseku, takáto požiadavka zabezpečuje presnosť RKV pre lineárne funkcie . To znamená, že numerické riešenie RKV , ktoré sa nachádza v bodoch mriežky, nie je ovplyvnené žiadnymi diskretizujúcimi chybami. Je teda presne rovnaké ako analytické riešenie.
S ohľadom na poriadok konzistencie stanovíme ďalšie (nelineárne) sústavy rovníc pre Rungeho-Kuttove koeficienty (pozri (4.4)), tzv. poriadkové podmienky. Poriadkové podmienky sú tiež formulované v maticovom tvare pomocou matice a vektorov všeobecne a bez rozlišovania explicitných a implicitných RCO.
Na tento účel analyzujeme jednoduchý AWA
s analytickým riešením ako lineárnou funkciou .
Na RKV kladieme tieto požiadavky:
(A) Ev RKV poskytuje presné výsledky pre lineárne riešenia .
Keďže v bode (4.5) pre to znamená, že v prípade diferenciálnej rovnice () po vložení lineárnej funkcie :
Prvá podmienka na Runge-Kutta koeficienty teda vyplýva z podmienky '(A) pre lineárne riešenia:
Tu upozorňujeme, že táto podmienka bola odvodená z požiadavky konzistencie v prípade všeobecnej úlohy s počiatočnou hodnotou, ktorá bola demonštrovaná v príklade 4.2 pomocou Taylorovho rozšírenia. Preto je pre RKV podmienka konzistencie ekvivalentná exaktnosti pre lineárne funkcie.
(B) Požiadavky na medzistupne der RKV:
Ako sme spomenuli na začiatku tejto kapitoly, aproximujú derivácie hľadanej funkcie v bodoch vzorkovania, Teraz sa od lineárnych funkcií vyžaduje, aby nielen aproximovali derivácie na medzistupňoch , ale aby s nimi aj súhlasili, t. j. aby
platí. Pretože , dostaneme z tejto podmienky
a po porovnaní (druhých) argumentov funkcie , lineárne riešenie
Po dosadení lineárnej funkcie na ľavú stranu a použití (1.6) dostaneme druhú podmienku uloženú na Runge-Kutta koeficienty:
Táto podmienka zaručuje, že derivácie lineárnej funkcie sú vypočítané presne aj v medziľahlých bodoch.
Poznámka 4.3
V príklade 4.2 sme videli, že táto podmienka () je automaticky splnená pre dvojstupňovú explicitnú RKV, aby bolo možné dosiahnuť druhý stupeň konzistencie. Preto sa (4.7) považuje za rozumnú podmienku pre Runge-Kutta koeficienty a predpokladá sa v ďalšom texte. To znamená, že všetky nami analyzované RKV poskytujú presné výsledky pre lineárne funkcie. Podmienka (4.7) znamená, že súčet -tého riadku matice Butcherovej tabuľky dáva -tý zápis vektora . Pri explicitnom RKV z tejto podmienky vyplýva, že , pretože prvý riadok matice je nulový riadok.
Podmienky (4.6), (4.7), ktoré vyplývajú z požiadaviek (A), (B), sú podmienkami pre konzistentnú RKV prvého rádu. Ak označíme , podmienky poradia pre RKV vyššieho rádu môžeme reprezentovať v nasledujúcom maticovo-vektorovom tvare:
Aby sme to mohli urobiť, musíme úlohu počiatočnej hodnoty (1.6) previesť na jej autonómnu formu diferenciálnych rovníc,
a musí sa vykonať viacrozmerná analýza Taylorovým rozšírením. Tento postup je podrobnejšie vysvetlený v [1].
V nasledujúcom prehľade uvádzame podmienky poradia až do štvrtého rádu konzistencie. Podmienky pre konkrétny rád konzistencie vyplývajú z podmienok pre predchádzajúci rád pridaním (znak ) ďalších podmienok.
1. poradie: | |
---|---|
2. poradie: | |
3. poradie: | |
4. poradie: |
Pre pre mocniny alebo súčiny vektorov tu bol použitý nasledujúci výraz:
und
Podmienky usporiadania platia pre všeobecnú RKV s úrovňami (implicitnými alebo explicitnými). V nasledujúcom texte sa obmedzíme na explicitné RKV. V odvodení koeficientov eRKV tretieho rádu je potrebných päť (nelineárnych) rovníc podľa vyššie uvedených rádových podmienok (porovnaj (4.4) [1] odstránená). Pomocou explicitnej metódy štvrtého rádu sa získa osem rovníc. Ak je matica dolnou trojuholníkovou maticou a sa použije v podmienkach rádu, nasledujúca sústava rovníc pre koeficienty explicitnej RKV so 4 úrovňami
Počet rovníc v sa neúmerne a nelineárne zvyšuje s poradím konzistencie. Platí tiež, že nie je možné dosiahnuť ľubovoľný poriadok konzistencie s daným počtom krokov , počet krokov tiež neúmerne rastie s poriadkom konzistencie. Tabuľka 1 poskytuje prehľad počtu poradí konzistencie a počtu krokov metódy eRK.
Rád | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
úrovne | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 11 | ||
Ord-Bed. | 1 | 2 | 4 | 8 | 17 | 37 | 85 | 200 | 486 | 1205 |
Nasledujúca veta sa vzťahuje na počet úrovní a poradie konzistencie pre eRKV:
(mäsiarstvo Bariere)
Pre poradie konzistentnosti neexistuje explicitná RKV s úrovňami.
Neexistuje explicitný RKV pre poradie konzistencie s úrovní.
Pre poradie konzistencie neexistuje explicitná RKV s úrovňami.
"Dôkaz. Bez dôkazu ◻
Pomer poradia konzistencie , ktoré treba dosiahnuť, k počtu úrovní je pre implicitné RCC rôzny. Vo všeobecnosti iRKV vyžadujú pre vyššie rády menej stupňov. Avšak (implicitný) výpočet medzistupňov je podstatne komplikovanejší, pretože v každom stupni treba riešiť , (prípadne nelineárne) rovnice (4.1). Koeficienty iRKV možno odvodiť pomocou poriadkových podmienok , ale existujú aj iné (prípadne jednoduchšie) prístupy na dosiahnutie čo najpresnejšej alebo najstabilnejšej iRKV s daným počtom krokov. Tie sú vysvetlené v nasledujúcich častiach.
- ↑ Podmienka tu už bola použitá a je z tohto systému (4.1)