Phương trình đạo hàm dao động sóng sin giảm dần đều

Dạng tổng quát

$a{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)+b{\frac {d}{dt}}f(t)+cf(t)=0$

Nghiệm phương trình

• Một nghiệm thực khi $\alpha =\beta$

$f(t)=Ae^{-\alpha t}$

• Hai nghiệm thực khi $\alpha >\beta$

$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}$

• Hai nghiệm phức khi $\alpha <\beta$

$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$

Chứng minh

$a{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)+b{\frac {d}{dt}}f(t)+cf(t)=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)+{\frac {b}{a}}{\frac {d}{dt}}f(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-2\alpha {\frac {d}{dt}}f(t)-\beta f(t)$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\alpha =\beta \gamma ={\frac {b}{2a}}$

$\gamma ={\frac {b}{2c}}$