Definició algebraica de polinomi, es donen els conceptes elementals del que és un polinomi i la seva identificació extensament.
Definicions [ edit ] Un monomi o terme és un conjunt de valors constants(coeficients) i variables amb potències enteres que es multipliquen.
Exemple de monomis: [ edit ] 1)
3
⋅
x
{\displaystyle 3\cdot x}
3
x
{\displaystyle 3x}
2) -7 3)
x
y
{\displaystyle xy}
4)
a
8
x
5
{\displaystyle a8x^{5}}
5)
−
5
x
2
y
3
2
{\displaystyle -5x^{2}y^{3}2}
−
10
x
2
y
3
{\displaystyle -10x^{2}y^{3}}
Un polinomi no és més que sumes de monomis o termes i, per tant, veurem que són multiplicacions separades per sumes i restes. A la imatge veiem assenyalats els termes del polinomi
−
2
x
2
+
20
−
x
+
3
y
{\displaystyle -2x^{2}+20-x+{\sqrt {3}}y}
Exemples de polinomis: [ edit ] 1)
−
3
x
z
+
5
y
x
3
−
12
x
y
2
z
−
3
{\displaystyle -3xz+5yx^{3}-12xy^{2}z-3}
2)
2
−
3
x
+
x
2
+
5
x
3
+
7
x
4
−
9
x
5
{\displaystyle 2-3x+x^{2}+5x^{3}+7x^{4}-9x^{5}}
Forma algebraica general d'un polinomi p(x):
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
=
a
n
x
n
+
⋯
+
a
6
x
6
{\displaystyle =a_{n}x^{n}+\dots +a_{6}x^{6}}
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
1
+
a
0
x
0
{\displaystyle +a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}}
on tots els coeficients
a
i
{\displaystyle a_{i}}
−
5
,
0
,
5
,
−
3
7
{\displaystyle -5,0,{\sqrt {5}},-{\tfrac {3}{7}}}
2
3
{\displaystyle 2{\sqrt {3}}}
n és un nombre natural(només assegura que el polinomi tingui una quantitat finita de termes).
Exemples donant les
a
{\displaystyle a}
1) Quin és el polinomi
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
a
1
=
−
2
{\displaystyle a_{1}=-2}
a
6
=
−
5
{\displaystyle a_{6}=-5}
a
8
=
12
5
{\displaystyle a_{8}={\tfrac {12}{5}}}
2) Quin és el polinomi
r
(
x
)
{\displaystyle r(x)}
a
3
=
−
1
{\displaystyle a_{3}=-1}
a
4
=
12
{\displaystyle a_{4}=12}
a
5
=
1
{\displaystyle a_{5}=1}
a
6
=
2
{\displaystyle a_{6}={\sqrt {2}}}
Solució:
Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat:
r
(
x
)
{\displaystyle r(x)}
=
2
x
6
+
1
x
5
+
12
x
4
+
(
−
1
)
x
3
+
0
x
2
+
0
x
1
+
0
x
0
{\displaystyle ={\sqrt {2}}x^{6}+1x^{5}+12x^{4}+(-1)x^{3}+0x^{2}+0x^{1}+0x^{0}}
Simplificant els termes multiplicats per zero, tenim que:
r
(
x
)
=
2
x
6
+
1
x
5
+
12
x
4
+
(
−
1
)
x
3
{\displaystyle r(x)={\sqrt {2}}x^{6}+1x^{5}+12x^{4}+(-1)x^{3}}
q
(
x
)
=
2
x
6
+
x
5
+
12
x
4
−
x
3
.
{\displaystyle q(x)={\sqrt {2}}x^{6}+x^{5}+12x^{4}-x^{3}.}
Operacions [ edit ] Suma de polinomis [ edit ] Els polinomis es poden sumar directament de forma horitzontal o posant un sota l'altre i sumar-lo com si fos una suma de nombres:
Cal tenir en compte que només es poden sumar els termes amb el mateix tipus de variable i potència. Exemple:
(
3
x
5
)
+
(
8
x
15
)
{\displaystyle (3x^{5})+(8x^{15})}
(
3
x
13
)
+
(
−
2
x
13
)
=
(
3
−
2
)
x
13
=
1
x
13
=
x
13
{\displaystyle (3x^{13})+(-2x^{13})=(3-2)x^{13}=1x^{13}=x^{13}}
Quan els polinomis són llargs,
p
(
x
)
=
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
{\displaystyle p(x)=-x^{3}+3x^{2}+x-1}
q
(
x
)
=
x
4
+
x
3
−
x
2
−
2
x
+
6
,
{\displaystyle q(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6,}
p
(
x
)
+
q
(
x
)
{\displaystyle p(x)+q(x)}
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
+
x
4
+
x
3
−
x
2
−
2
x
+
6
x
4
0
2
x
2
−
x
+
5
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&x^{4}&+x^{3}&-x^{2}&-2x&+6\\\hline &x^{4}&0&2x^{2}&-x&+5\\\end{array}}}
Per sumar verticalment tindrem en compte:
1) Cal ordenar el polinomi amb les potencies decreixents, deixant zeros en cas de faltar alguna potència. 2) En posar el segon polinomi a sota cal fer correspondre les potencies iguals.
Producte per escalar [ edit ] Podem multiplicar un polinomi,
p
(
x
)
=
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
,
{\displaystyle p(x)=-x^{3}+3x^{2}+x-1,}
−
2.
{\displaystyle -2.}
Vegem la multiplicació:
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
×
−
2
+
2
x
3
−
6
x
2
−
2
x
+
2
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&-2\\\hline &+2x^{3}&-6x^{2}&-2x&+2\\\end{array}}}
Per multiplicar el polinomi per un escalar és el mateix que fer la propietat distributiva , fixeu-vos que el nombre -2 multiplica als 4 termes:
(
−
2
)
⋅
p
(
x
)
=
−
2
⋅
(
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
)
{\displaystyle (-2)\cdot p(x)=-2\cdot (-x^{3}+3x^{2}+x-1)}
=
(
−
2
)
⋅
(
−
x
3
)
+
(
−
2
)
⋅
(
3
x
2
)
+
(
−
2
)
⋅
(
x
)
−
(
−
2
)
⋅
(
1
)
{\displaystyle =(-2)\cdot (-x^{3})+(-2)\cdot (3x^{2})+(-2)\cdot (x)-(-2)\cdot (1)}
=
+
2
x
3
−
6
x
2
−
2
x
+
2
{\displaystyle =+2x^{3}-6x^{2}-2x+2}
Resta de polinomis [ edit ] La raó que porta a fer la resta després de la multiplicació és deguda a que convertirem la resta en suma. Suposem que volem restar a
p
(
x
)
=
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
{\displaystyle p(x)=-x^{3}+3x^{2}+x-1}
q
(
x
)
=
x
4
+
x
3
−
x
2
−
2
x
+
6
,
{\displaystyle q(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6,}
-1 , és a dir,
(
−
1
)
⋅
(
x
4
+
x
3
−
x
2
−
2
x
+
6
)
{\displaystyle (-1)\cdot (x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6)}
=
−
x
4
−
x
3
+
x
2
+
2
x
−
6
{\displaystyle =-x^{4}-x^{3}+x^{2}+2x-6}
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
−
x
4
+
x
3
−
x
2
−
2
x
+
6
−
x
4
−
2
x
3
4
x
2
+
3
x
−
7
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline -\\\hline \end{array}}&x^{4}&+x^{3}&-x^{2}&-2x&+6\\\hline &-x^{4}&-2x^{3}&4x^{2}&+3x&-7\\\end{array}}}
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
+
−
x
4
−
x
3
+
x
2
+
2
x
−
6
−
x
4
−
2
x
3
4
x
2
+
3
x
−
7
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&-x^{4}&-x^{3}&+x^{2}&+2x&-6\\\hline &-x^{4}&-2x^{3}&4x^{2}&+3x&-7\\\end{array}}}
Recordeu que la segona proposta es per estalviar errors, en cas d'usar la primera forma directament, si ho fa correctament, també està bé.
Producte de polinomis [ edit ] Podem anar més enllà que un producte per escalar i multiplicar el polinomi,
p
(
x
)
=
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
,
{\displaystyle p(x)=-x^{3}+3x^{2}+x-1,}
p
(
x
)
=
4
x
3
.
{\displaystyle p(x)=4x^{3}.}
Vegem la multiplicació:
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
×
4
x
3
−
4
x
6
+
12
x
5
+
4
x
4
−
4
x
3
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&4x^{3}\\\hline &-4x^{6}&+12x^{5}&+4x^{4}&-4x^{3}\\\end{array}}}
Per multiplicar el polinomi per un monomi és la mateixa propietat distributiva , fixeu-vos que el nombre
p
(
x
)
=
4
x
3
{\displaystyle p(x)=4x^{3}}
(
4
x
3
)
⋅
p
(
x
)
=
(
4
x
3
)
⋅
(
−
x
3
+
3
x
2
+
x
−
1
)
{\displaystyle (4x^{3})\cdot p(x)=(4x^{3})\cdot (-x^{3}+3x^{2}+x-1)}
=
(
4
x
3
)
⋅
(
−
x
3
)
+
(
4
x
3
)
⋅
(
3
x
2
)
+
(
4
x
3
)
⋅
(
x
)
−
(
4
x
3
)
⋅
(
1
)
{\displaystyle =(4x^{3})\cdot (-x^{3})+(4x^{3})\cdot (3x^{2})+(4x^{3})\cdot (x)-(4x^{3})\cdot (1)}
=
−
4
x
6
+
12
x
5
+
4
x
4
−
4
x
3
{\displaystyle =-4x^{6}+12x^{5}+4x^{4}-4x^{3}}
Ara veiem com es multipliquen dos polinomis en general com si fos el producte de dos nombres qualsevols
p
(
x
)
=
−
x
2
+
x
−
1
{\displaystyle p(x)=-x^{2}+x-1}
q
(
x
)
=
3
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle q(x)=3x^{2}+2x+1}
Producte notables o identitats notables [ edit ] Encara que hi ha molts productes notables, ens interesa el cas de productes de polinomis(binomis) freqüents:
Del producte
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
c
+
a
d
+
b
c
+
b
d
{\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}
1)
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
=
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
.
{\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab.}
2)
(
x
+
a
)
(
x
+
a
)
=
x
2
+
2
a
x
+
a
2
.
{\displaystyle (x+a)(x+a)=x^{2}+2ax+a^{2}.}
3)
(
x
+
a
)
(
x
−
a
)
=
x
2
−
a
2
.
{\displaystyle (x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}.}
4)
(
x
−
a
)
(
x
−
a
)
=
x
2
−
2
a
x
+
a
2
.
{\displaystyle (x-a)(x-a)=x^{2}-2ax+a^{2}.}
Divisió de polinomis [ edit ] Per dividir polinomis farem servir també el sistema de divisió numèric estès, és a dir, amb una resta explícita.
Donats els polinomis
p
(
x
)
=
x
4
−
1
{\displaystyle p(x)=x^{4}-1}
q
(
x
)
=
x
−
1
{\displaystyle q(x)=x-1}
p
(
x
)
÷
q
(
x
)
{\displaystyle p(x)\div q(x)}
Exercicis:
1) Efectueu les divisions següents seguint els passos anteriors:
a)
3
x
4
−
x
3
−
2
x
2
+
1
x
+
1
=
{\displaystyle {\frac {3x^{4}-x^{3}-2x^{2}+1}{x+1}}=}
b)
x
4
+
5
x
3
+
7
x
2
+
2
−
x
+
2
=
{\displaystyle {\frac {x^{4}+5x^{3}+7x^{2}+2}{-x+2}}=}
Ruffini [ edit ] Ruffini és un mètode especial per accelerar divisions particulars, usat per cercar o assajar possibles solucions d'equacions polinòmiques.
Volem convertir polinomis del tipus
x
2
+
3
x
+
2
{\displaystyle x^{2}+3x+2}
(
x
+
2
)
(
x
+
1
)
{\displaystyle (x+2)(x+1)}
x
2
+
3
x
+
2
=
(
x
+
2
)
(
x
+
1
)
{\displaystyle x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1)}
x
2
+
3
x
+
2
x
+
2
=
(
x
+
1
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+2}{x+2}}=(x+1)}
x
2
+
3
x
+
2
x
+
1
=
(
x
+
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+2}{x+1}}=(x+2)}
Per tant volem convertir polinomis en producte de binomis fent poc a poc divisions fins que no quedin més possibilitats, vegem el mètode:
Passos:
Primer de tot, per descompondre un polinomi en producte de binomis, cal fixar-se en el terme independent ja que conté la multiplicació de tots els termes independents dels binomis que volem trobar.
Observació: Quin són els candidats a termes independents dels binomis:
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
(
x
+
c
)
=
(
x
+
a
)
(
x
2
+
(
b
+
c
)
x
+
b
c
)
=
x
3
+
(
a
+
b
+
c
)
x
2
+
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
x
+
a
b
c
{\displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)=(x+a)(x^{2}+(b+c)x+bc)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x{\begin{array}{|c|}\hline +abc\\\hline \end{array}}}
per tant els termes independents, dels binomis, multiplicats dona abc que és el terme independent del polinomi resultant.
Donat el polinomi
x
4
−
5
x
2
+
4
{\displaystyle x^{4}-5x^{2}{\begin{array}{|c|}\hline +4\\\hline \end{array}}}
I) En la descomposició del terme independent 4 dona
4
=
2
2
{\displaystyle 4=2^{2}}
II) Escriure la capsa següent convertint el polinomi
x
4
−
5
x
2
+
4
{\displaystyle x^{4}-5x^{2}+4}
x però posant zeros en la posició on manquen potencies de x , és a dir,
1
+
0
−
5
+
0
+
4
{\displaystyle 1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4}
2
1
+
0
−
5
+
0
+
4
↓
1
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\downarrow \\\hline \end{array}}\\&1\\\end{array}}}
La línia horitzontal és la de sumar.
La línia vertical separa el multiplicador, en aquest cas és 2 , que correspon al terme independen del polinomi divisor
x
−
2
{\displaystyle x-2}
Baixem el primer terme del polinomi 1 com la fletxa indica. II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel valor 1 baixat i el resultat el sumem a la següent columna.
2
1
+
0
−
5
+
0
+
4
2
⋅
1
1
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;2\cdot 1\\\hline \end{array}}\\&1\\\end{array}}}
II.2) Fem la suma per fer obtenint el següent valor que multiplicarem.
2
1
+
0
−
5
+
0
+
4
+
2
1
+
2
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\\\end{array}}}
Finalment obtenim la taula plena:
2
1
+
0
−
5
+
0
+
4
+
2
+
4
−
2
−
4
1
+
2
−
1
−
2
+
0
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\;\;\;-4\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\;\;\;\;+0\\\end{array}}}
Si la última suma dona zero llavors vol dir que la divisió és exacta i la cadena resultant sense l'últim zero és
1
+
2
−
1
−
2
{\displaystyle 1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2}
-2 , per tant el polinomi el reconstruirem com
1
x
3
+
2
x
2
−
1
x
−
2.
{\displaystyle 1x^{3}+2x^{2}-1x-2.}
x
4
−
5
x
2
+
4
=
(
x
−
2
)
(
1
x
3
+
2
x
2
−
1
x
−
2
)
{\displaystyle x^{4}-5x^{2}+4=(x-2)(1x^{3}+2x^{2}-1x-2)}
També podem dir que
x
−
2
{\displaystyle x-2}
x
4
−
5
x
2
+
4.
{\displaystyle x^{4}-5x^{2}+4.}
Factorització de polinomis [ edit ] Factoritzar polinomis és fer una descomposició en productes de binomis de del tipus ax+b , i apareixen tants com la màxima potència és a dir:
a
n
x
n
+
⋯
+
a
3
x
3
{\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{3}x^{3}}
+
a
2
x
2
+
a
1
x
1
+
a
0
x
0
{\displaystyle +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}}
=
a
n
(
x
+
b
1
)
(
x
+
b
2
)
(
x
+
b
3
)
⋅
⋯
⋅
(
x
+
b
n
)
{\displaystyle =a_{n}(x+b_{1})(x+b_{2})(x+b_{3})\cdot \dots \cdot (x+b_{n})}
No sempre es poden factoritzar els polinomis, per tant, factoritzarem polinomis que es poden factoritzar fàcilment per Ruffini:
Exemple: Donat el polinomi
2
x
4
+
x
3
−
8
x
2
−
x
+
6
,
{\displaystyle 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6,}
1
2
+
1
−
8
−
1
+
6
+
2
+
3
−
5
−
6
2
+
3
−
5
−
6
+
0
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;1\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}2\;\;\;+1\;\;\;-8\;\;\;-1\;\;\;+6\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\\\hline \end{array}}\\&2\;\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\;\;\;\;+0\\\end{array}}}
Per tant diu que
2
x
4
+
x
3
−
8
x
2
−
x
+
6
{\displaystyle 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6}
=
(
x
−
1
)
(
2
x
3
+
3
x
2
−
5
x
−
6
)
{\displaystyle =(x-1)(2x^{3}+3x^{2}-5x-6)}
−
1
2
+
3
−
5
−
6
−
2
−
1
+
6
2
+
1
−
6
+
0
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;-1\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}2\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\\\;\;\;\;\;\;-2\;\;\;\;-1\;\;\;+6\\\hline \end{array}}\\&2\;\;\;\;+1\;\;\;-6\;\;\;\;+0\\\end{array}}}
Per tant diu que
2
x
3
+
3
x
2
−
5
x
−
6
{\displaystyle 2x^{3}+3x^{2}-5x-6}
=
(
x
+
1
)
(
2
x
2
+
x
−
6
)
{\displaystyle =(x+1)(2x^{2}+x-6)}
−
2
2
+
1
−
6
−
4
+
6
2
−
3
+
0
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;-2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}2\;\;\;+1\;\;\;-6\\\;\;\;\;\;\;-4\;\;\;+6\\\hline \end{array}}\\&2\;\;\;\;-3\;\;\;+0\\\end{array}}}
Per tant diu que
2
x
2
+
x
−
6
{\displaystyle 2x^{2}+x-6}
=
(
x
+
2
)
(
2
x
−
3
)
{\displaystyle =(x+2)(2x-3)}
En resum podem dir que les taules de Ruffini es poden ajuntar(tutorial ) i el polinomi finalment queda com:
2
x
4
+
x
3
−
8
x
2
−
x
+
6
{\displaystyle 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6}
=
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
(
2
x
−
3
)
{\displaystyle =(x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)}
Equacions polinòmiques [ edit ] Com que les equacions no tenen un mètode general persolucionar-les, podem utilitzar factorització polinòmica per trobar solucions.
Suposem que tenim l'equació:
2
x
4
+
x
3
−
8
x
2
−
x
+
6
=
0
{\displaystyle 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0}
Per factorització polinòmica tenim que en realitat és:
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
(
2
x
−
3
)
=
0
{\displaystyle (x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)=0}
Sabem que una multiplicació és zero si i només si un dels multiplicands és zero, es a dir que:
o bé (x-1)=0, o bé (x+1)=0, o bé (x+2)=0, o bé (2x-3)=0 i no cal que ho siguin a la vegada. Si (x-1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=1. Si (x+1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-1. Si (x+2)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-2. Si (2x-3)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és
x
=
−
3
2
.
{\displaystyle x=-{\frac {3}{2}}.}
i així es com trobarem les seves solucions.
Valoració de polinomis [ edit ] Per valorar polinomis com si fos una funció només hem de canviar totes les x per el valor que es decideixi(tutorial ).
Exemple: Suposem que volem valorar el polinomi
p
(
x
)
=
2
x
4
+
x
3
−
8
x
2
−
x
+
6
{\displaystyle p(x)=2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6}
p
(
0
)
=
2
(
0
)
4
+
(
0
)
3
−
8
(
0
)
2
−
(
0
)
+
6
=
0
+
0
+
0
+
6
=
6
,
{\displaystyle p(0)=2(0)^{4}+(0)^{3}-8(0)^{2}-(0)+6=0+0+0+6=6,}
Suposem ara que el valorem en x=2:
p
(
2
)
=
2
(
2
)
4
+
(
2
)
3
−
8
(
2
)
2
−
(
2
)
+
6
=
32
+
8
−
32
−
2
+
6
=
12
,
{\displaystyle p(2)=2(2)^{4}+(2)^{3}-8(2)^{2}-(2)+6=32+8-32-2+6=12,}
Veiem ara que passa si x=-2:
p
(
−
2
)
=
2
(
−
2
)
4
+
(
−
2
)
3
−
8
(
−
2
)
2
−
(
−
2
)
+
6
=
32
−
8
−
32
+
2
+
6
=
0
,
{\displaystyle p(-2)=2(-2)^{4}+(-2)^{3}-8(-2)^{2}-(-2)+6=32-8-32+2+6=0,}
que el -2 és un zero del polinomi o també que -2 és arrel del polinomi.
Funció polinòmica [ edit ] Degut al fet que donat un valor de x obtenim una valoració y d'un polinomi, podem presentar tot polinomi com a funció.
Exemple:
