Jump to content

Polinomi adaptació Ll1

From Wikiversity

Definició algebraica de polinomi, es donen els conceptes elementals del que és un polinomi i la seva identificació extensament.

Definicions

[edit]

Un monomi o terme és un conjunt de valors constants(coeficients) i variables amb potències enteres que es multipliquen.

Exemple de monomis:

[edit]
1) el punt de multiplicació es pot estalviar
2) -7
3)
4)
5) els valors es poden multiplicar

Un polinomi no és més que sumes de monomis o termes i, per tant, veurem que són multiplicacions separades per sumes i restes. A la imatge veiem assenyalats els termes del polinomi

Exemples de polinomis:

[edit]
1) és un polinomi en arbitrari amb 4 termes.
2) és el tipus de polinomis que més usarem amb 6 termes.

Forma algebraica general d'un polinomi p(x):

on tots els coeficients són constants i poden ser qualsevol nombre real: o , i on n és un nombre natural(només assegura que el polinomi tingui una quantitat finita de termes).

Exemples donant les amb cada subíndex:

1) Quin és el polinomi si els únics coeficients diferents de zero són , , i ?
Solució:
Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat:

Simplificant els termes multiplicats per zero i , tenim que:

, és a dir,

2) Quin és el polinomi si els únics coeficients diferents de zero són , , i ?
Solució:
Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat:

Simplificant els termes multiplicats per zero, tenim que:

, és a dir,

Operacions

[edit]

Suma de polinomis

[edit]

Els polinomis es poden sumar directament de forma horitzontal o posant un sota l'altre i sumar-lo com si fos una suma de nombres:

Cal tenir en compte que només es poden sumar els termes amb el mateix tipus de variable i potència. Exemple:
no es pot sumar perquè un terme té variable amb potencia 5 i l'altre terme té variable amb potència 15.
perquè tenen variable amb la mateixa potència i per tant aquest sí que es pot sumar.

Quan els polinomis són llargs, i per sumar farem servir el següent sistema.

Per sumar verticalment tindrem en compte:
1) Cal ordenar el polinomi amb les potencies decreixents, deixant zeros en cas de faltar alguna potència.
2) En posar el segon polinomi a sota cal fer correspondre les potencies iguals.

Producte per escalar

[edit]

Podem multiplicar un polinomi, per un nombre,

Vegem la multiplicació:

Per multiplicar el polinomi per un escalar és el mateix que fer la propietat distributiva, fixeu-vos que el nombre -2 multiplica als 4 termes:

Resta de polinomis

[edit]

La raó que porta a fer la resta després de la multiplicació és deguda a que convertirem la resta en suma. Suposem que volem restar a el polinomi llavors el que fem es multiplicar el polinomi que resta per -1, és a dir, i ja es pot sumar, vegem la diferencia:

Recordeu que la segona proposta es per estalviar errors, en cas d'usar la primera forma directament, si ho fa correctament, també està bé.

Producte de polinomis

[edit]

Podem anar més enllà que un producte per escalar i multiplicar el polinomi, per tot un monomi qualsevol com

Vegem la multiplicació:

Per multiplicar el polinomi per un monomi és la mateixa propietat distributiva, fixeu-vos que el nombre multiplica als 4 termes:

Ara veiem com es multipliquen dos polinomis en general com si fos el producte de dos nombres qualsevols i .

Per multiplicar el polinomi en aquest cas surten tres files, que fan els tres termes del segon polinomi i són les següents:

Si hem col·locat ordenadament les fileres, fent correspondre les potències iguals, llavors ja podem sumar-les.

Producte notables o identitats notables

[edit]

Encara que hi ha molts productes notables, ens interesa el cas de productes de polinomis(binomis) freqüents:

Del producte , que el podem fer com si fos un producte de polinomis, podem obtenir les següents identitads:

1)

2)

3)

4)

Divisió de polinomis

[edit]

Per dividir polinomis farem servir també el sistema de divisió numèric estès, és a dir, amb una resta explícita.

Donats els polinomis i volem fer la divisió

Passos:
El primer pas ha sigut trobar la de forma que en restar el producte doni un zero sota les

Un cop feta cada resta podem baixar els termes restants del polinomi a l'alçada de En aquest cas només he baixat un zero per que no té termes amb perquè ajuda a espaiar les operacions, si els baixo tots quedaria el polinomi res més.

El següent pas és fer zeros sota les llavors:

Continuem fent zeros sota les llavors:

Per últim vegem que dona en continuar fent zeros:

Per tant com que el reste és zero llavors vol dir que la divisió és exacta, és a dir:

O també que:

Exercicis:

1) Efectueu les divisions següents seguint els passos anteriors:

a)
b)

Ruffini

[edit]

Ruffini és un mètode especial per accelerar divisions particulars, usat per cercar o assajar possibles solucions d'equacions polinòmiques.

Volem convertir polinomis del tipus en expressions del tipus ja que sabem , per tant es poden fer amb les divisions del tipus:

o també

Per tant volem convertir polinomis en producte de binomis fent poc a poc divisions fins que no quedin més possibilitats, vegem el mètode:

Passos:
Primer de tot, per descompondre un polinomi en producte de binomis, cal fixar-se en el terme independent ja que conté la multiplicació de tots els termes independents dels binomis que volem trobar.
Observació: Quin són els candidats a termes independents dels binomis:

per tant els termes independents, dels binomis, multiplicats dona abc que és el terme independent del polinomi resultant.

Donat el polinomi farem els següents passos:

I) En la descomposició del terme independent 4 dona i per tant els posibles divisors de 4 són -1, 1, -2, 2 i 4.

II) Escriure la capsa següent convertint el polinomi en una expressió sense desprovista de x però posant zeros en la posició on manquen potencies de x, és a dir,

  • La línia horitzontal és la de sumar.
  • La línia vertical separa el multiplicador, en aquest cas és 2, que correspon al terme independen del polinomi divisor conviat de signe.
  • Baixem el primer terme del polinomi 1 com la fletxa indica.

II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel valor 1 baixat i el resultat el sumem a la següent columna.

II.2) Fem la suma per fer obtenint el següent valor que multiplicarem.

Repetició dels passos II.1 i II.2 fins omplir tota la taula
II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel 2 obtingut en la suma anterior

II.2) Fem la suma

II.1)

II.2)

II.1)

II.2)

Finalment obtenim la taula plena:

Si la última suma dona zero llavors vol dir que la divisió és exacta i la cadena resultant sense l'últim zero és i el podem traduir com un polinomi amb terme independent és aquest -2, per tant el polinomi el reconstruirem com Ara podem afirmar que:

També podem dir que és un divisor del polinomi

Factorització de polinomis

[edit]

Factoritzar polinomis és fer una descomposició en productes de binomis de del tipus ax+b, i apareixen tants com la màxima potència és a dir:

No sempre es poden factoritzar els polinomis, per tant, factoritzarem polinomis que es poden factoritzar fàcilment per Ruffini:

Exemple: Donat el polinomi es demana factoritzar-lo:

Per tant diu que
Per tant diu que
Per tant diu que i ja hem acabat.

En resum podem dir que les taules de Ruffini es poden ajuntar(tutorial) i el polinomi finalment queda com:

Equacions polinòmiques

[edit]

Com que les equacions no tenen un mètode general persolucionar-les, podem utilitzar factorització polinòmica per trobar solucions.

Suposem que tenim l'equació:

Per factorització polinòmica tenim que en realitat és:

Sabem que una multiplicació és zero si i només si un dels multiplicands és zero, es a dir que:

o bé (x-1)=0, o bé (x+1)=0, o bé (x+2)=0, o bé (2x-3)=0 i no cal que ho siguin a la vegada.
Si (x-1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=1.
Si (x+1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-1.
Si (x+2)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-2.
Si (2x-3)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és

i així es com trobarem les seves solucions.

Valoració de polinomis

[edit]

Per valorar polinomis com si fos una funció només hem de canviar totes les x per el valor que es decideixi(tutorial).

Exemple: Suposem que volem valorar el polinomi per x=0. Quin es el seu resultat?

per tant el resultat de valorar el polinomi en x=0 és 6.

Suposem ara que el valorem en x=2:

per tant el resultat de valorar el polinomi en x=2 és 6.

Veiem ara que passa si x=-2:

per tant el resultat de valorar el polinomi en x=-2 és 0. D'això en diem

que el -2 és un zero del polinomi o també que -2 és arrel del polinomi.

Funció polinòmica

[edit]

Degut al fet que donat un valor de x obtenim una valoració y d'un polinomi, podem presentar tot polinomi com a funció.

Exemple:

Notes

[edit]