Polinomis III

Els polinomis són expressions algèbriques molt utilitzades a la resolució de problemes complexos. La seva classificació i manipulació és molt senzilla, ajudant a millorar diferents problemes. Aquest fet fa que es vulgui convertir qualsevol expressió algèbrica a una forma polinòmica.

Expressions algèbriques

Les expressions algèbriques apareixen en sintetitzar diferents problemes per exemple:

1) El perímetre d'un quadrat es la suma de longituds dels seus 4 costats:

Expressió algèbrica és: P=x+x+x+x que també es pot escriure com P=4x.

2) La diagonal d'un quadrat de costat desconegut:

Expressió algèbrica: $D={\sqrt {2}}\times x$

3) L'àrea d'un quadrat és el producte dels seus dos costats:

Expressió algèbrica és: $A=x\times x$ que també es pot escriure com $A=x^{2}.$

4) El volum d'un cub és el producte de les tres dimensions que té:

Expressió algèbrica: $V=x\times x\times x$ o també $V=x^{3}.$

Polinomis

Una de les expressions algèbriques més habituals són els polinomis que són sumes i restes de termes que estan separats per sumes o restes encerclades com a la imatge. Els termes són números o constants(coeficients com ${\sqrt {2}}$ o ${\frac {1}{3}}$ que es com dividir) multiplicats per incògnites(literals sempre multiplicant). El terme sense incògnita es diu terme independent.

• Dels polinomis amb un sol terme en direm monomis, com per exemple $2x^{2}$

• Dels polinomis amb dos termes en direm binomis, com per exemple $x^{3}+2x$

• Dels polinomis amb tres termes en direm trinomi, com per exemple $2x^{2}+x-3$

Els noms més habituals per distingir polinomis són: P(x), Q(x), R(x), S(x), ... només són noms i no podeu operar o manipular la x que té entre parèntesis ja que forma part del nom com indicador de incògnita.

• El polinomi $P(x)=0$ se'n diu polinomi nul.

• El polinomi $P(x)=7$ o qualsevol altre constant diferent de 7, se'n diu polinomi constant. Com a terme se'n diu terme independent ja que no porta x.

Exercicis

1) Quants termes tenen els polinomis donats:

a) $100\cdot x^{2}-1$?

b) $x^{5}-\pi +{\sqrt {5}}-x^{3}+x^{2}-13$?

Per estudiar expressions polinòmiques hem d'ordenar i deixar agrupats termes amb les mateixes incògnites i potències com a una sola sense duplicitats i termes ordenats segons el valor de les potències de més gran a més petit. Els polinomis que d'aquesta secció són de la forma:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.$

Parlar de $a_{i}$ és parlar dels coeficients $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},....$. La n només es refereix al terme de potència més gran i ha d'existir, sinó no es parla de polinomis, inversament si parlem de polinomis diem que existeix un valor de n que és un nombres natural.

Exemples:

1) Donats els polinomis següents esbrina els valors de totes les $a_{i}.$ a) $x^{5}-x^{4}+x+1$ b) $2x^{6}+3x^{5}$ c) $-1+x-3x^{2}$

a) $a_{5}=1,a_{4}=-1,a_{3}=0,a_{2}=0,a_{1}=1,a_{0}=1$ b) $a_{6}=2,a_{5}=3,a_{4}=0,a_{3}=0,a_{2}=0,a_{1}=0,a_{0}=0$ c) $a_{2}=-3,a_{1}=1,a_{0}=-1$

2) Arregla i digues quina de les expressions següents és un polinomi segons la definició donada i identifica els coeficients i la part literal:

a) $x\cdot x\cdot x\cdot 5$	b) ${\frac {3}{70}}x$	c) ${\frac {2}{x}}$
d) $x^{0}$	e) $0$	f) $6-4^{x}$

Grau d'un polinomi

Per calcular el grau d'un polinomi en general, només hem de comptar quantes incògnites té multiplicant a cada termes i escollir la quantitat més gran, exemple:

• Grau de ( $0$ ) = 0, ja que el polinomi nul no té cap x multiplicant.

• Grau de ( $100\cdot x\cdot y$ ) = 2, ja que tenim dos incògnites multiplicant, la x i la y.

• Grau de ( $-5x^{3}y^{4}$ ) = 7, ja que tenim 7 incògnites multiplicant: $x\cdot x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y.$

• Grau de ( $9x-x^{3}$ ) = 3, ja que el primer terme és de grau 1 i el segon terme hi ha tres x multiplicant-se per tant és de grau 3, i per tant el més gran de 1 i 3, és 3.

• Grau de ( $x\cdot y\cdot x-x^{5}+y^{4}-10x^{2}+50$ ) = 5, ja que tenim els graus 3, 5, 4, 2 i 0, per tant el més gran és 5.

Per a polinomis treballats en aquesta secció, els grau és simplement la potència més gran.

Suma de polinomis

Els polinomis es poden sumar verticalment com si fos una suma de nombres o horitzontalment, veiem com es fa en aquest tutorial i deixem uns exemples fets.

Ordenació i espaiat imaginari

Presentem una forma còmoda d'ordenar termes d'un polinomi indicant com poden ser els espais.

• Sempre de potencia més gran a potència més petita $x^{0}$ o 1, sobretot per efectuar sumes.

• Si falta una de les potències deixem un espai per cada terme que falta.

$\dots$	$x^{5}$	$x^{4}$	$x^{3}$	$x^{2}$	$x$	1

Disposició vertical per sumar els polinomis $P(x)=-x^{3}+3x^{2}+x+4$ i $Q(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6$

${\begin{array}{ccc}&&-x^{3}&+3x^{2}&+x&+4\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&x^{4}&+x^{3}&-x^{2}&-2x&+6\\\hline &x^{4}&0&2x^{2}&-x&+10\\\end{array}}$

Per sumar verticalment tindrem en compte: 1) Cal ordenar el polinomi amb les potencies decreixents, deixant zeros o espais en cas de faltar alguna potència. 2) En posar el segon polinomi a sota cal fer correspondre les potencies iguals o sigui del mateix tipus. 3) Mireu de no sumar termes amb diferent potència i no existeixen les sumes portants tot queda dins una mateixa vertical, com si a l'exemple hi hagués 5 sumes petites i individuals.

Exemples

1) Suma els polinomis $P(x)=x^{5}+2x^{3}+8x$ i $Q(x)=x^{5}+x^{3}-2x^{2}-6$

${\begin{array}{ccc}&x^{5}&+2x^{3}&&+8x&\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&x^{5}&+x^{3}&-2x^{2}&&-6\\\hline &2x^{5}&+3x^{3}&-2x^{2}&+8x&-6\\\end{array}}$

2) Suma els polinomis $P(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ i $Q(x)=-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$

${\begin{array}{ccc}&x^{5}&+x^{4}&+x^{3}&+x^{2}&+x&\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&&-x^{4}&-x^{3}&-x^{2}&-x&-1\\\hline &x^{5}&+0x^{4}&+0x^{3}&+0x^{2}&+0x&-1\\\end{array}}$ Per tant la solució és finalment $x^{5}-1$ i no cal posar els termes nuls o zeros.

3) Suma els polinomis $P(x)=x^{10}$ i $Q(x)=x$

${\begin{array}{ccc}&x^{10}&\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&&x\\\hline &x^{10}&+x\\\end{array}}$ Per tant la solució és finalment $x^{10}+x$ i per aquesta raó porta a fer sumes horitzontals que són més ràpides ja que es veuen ràpidament i no cal escriure tant.

4) Suma els polinomis $P(x)=x$ i $Q(x)=-x$

${\begin{array}{ccc}&x\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&-x\\\hline &0\\\end{array}}$ Per tant la solució és 0 i que podem anomenar polinomi nul.

Disposició horitzontal per sumar, només cal indicar amb parèntesis els polinomis a sumar

Exemple

1) Suma els polinomis $P(x)=-x^{2}+9x+3$ i $Q(x)=-x+7$ llavors fem:

$(-x^{2}+9x+3)+(-x+7)$

Primer pas: treure directament els parèntesis positius o que sumen.

$-x^{2}+9x+3-x+7$

Segon pas: sumar els termes del mateix tipus o potència que són 9x amb -x i 7 amb 3.

$-x^{2}+8x+10$

Ja no cal sumar més per que tots són de diferent tipus.

Multiplicació de polinomis

Disposició vertical típica per multiplicar polinomis:

${\begin{array}{ccc}&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&\;\;\;1\\\hline &-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\\end{array}}$

Multiplicar un polinomi per 1, es exactament igual que multiplicar un nombre per 1: ${\begin{array}{ccc}&5&3&8&7\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&1\\\hline &5&3&8&7\\\end{array}}$

${\begin{array}{ccc}&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&-1\\\hline &+x^{3}&-3x^{2}&-x&+1\\\end{array}}$

Multiplicar un polinomi per -1 només vol dir que canviem tots els signes del polinomi, la taula és: ${\begin{array}{ccc}+&\cdot &+&=&+\\-&\cdot &+&=&-\\+&\cdot &-&=&-\\-&\cdot &-&=&+\\\end{array}}$

${\begin{array}{ccc}&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&\;\;x\\\hline &-x^{4}&+3x^{3}&+x^{2}&-x\\\end{array}}$

Multiplicar un polinomi per una sola x només vol dir un sol increment de la potència: $-1\times x=-1x=-x$ $+x\times x=+x^{1+1}=+x^{2}$ $+3x^{2}\times x=+3x^{2+1}=+3x^{3}$ $-x^{3}\times x=-x^{3+1}=-x^{4}$

Mètode general per multiplicar polinomis

Polinomi per monomi

${\begin{array}{ccc}&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&\color {blue}3x\color {black}\\\hline &-3x^{4}&+9x^{3}&+3x^{2}&-3x\\\end{array}}$

Sempre ordenats de potència més gran a més petita: $-1\times \color {blue}3x\color {black}=-3x$ $+x\times \color {blue}3x\color {black}=+3x^{1+1}=+3x^{2}$ $+3x^{2}\times \color {blue}3x\color {black}=+9x^{2+1}=+9x^{3}$ $-x^{3}\times \color {blue}3x\color {black}=-3x^{3+1}=-x^{4}$

Polinomi per polinomi

${\begin{array}{ccc}&&-x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&\color {green}3x^{2}&\color {BrickRed}+2x&\color {blue}+1\color {black}\\\hline &&\color {blue}-x^{2}&\color {blue}+x&\color {blue}-1\\&\color {BrickRed}-2x^{3}&\color {BrickRed}+2x^{2}&\color {BrickRed}-2x&\\\color {green}-3x^{4}&\color {green}+3x^{3}&\color {green}-3x^{2}&&\\\hline -3x^{4}&+x^{3}&-2x^{2}&-x&-1\\\end{array}}$

En multiplicar dos polinomis han d'estar ordenats internament i hem de fer els buits en forma d'escala típics com a la multiplicació de nombres necessaris per fer la suma final, però no és una multiplicació portant. Comencem multiplicant el segon polinomi des de el terme de grau més petit fins al més gran multiplican-lo pel primer polinomi deixant a sota els seu resultat; horitzontalment fent servir la propietat distributiva el veuríem així: $(-x^{2}+x-1)\cdot (\color {blue}1\color {black})=-x^{2}+x-1.$ $(-x^{2}+x-1)\cdot (\color {blue}2x\color {black})=-2x^{3}+2x^{2}-2x.$ $(-x^{2}+x-1)\cdot (\color {blue}3x^{2}\color {black})=-3x^{4}+3x^{3}-3x^{2}.$ Si hem col·locat ordenadament les fileres, fent correspondre les potències iguals, llavors ja podem sumar-les.

Exemples:

1) $P(x)=x^{3}-x^{2}+1$ multiplicat per $Q(x)=-2x^{2}+2$

${\begin{array}{ccc}&&x^{3}&-x^{2}&+1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&-2x^{2}&+2\\\hline &&2x^{3}&-2x^{2}&&+2\\-2x^{5}&+2x^{4}&&-2x^{2}&&\\\hline -2x^{5}&+2x^{4}&+2x^{3}&-4x^{2}&&+2\\\end{array}}$

2) $P(x)=2x^{4}-3x^{3}+x$ multiplicat per $Q(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$

${\begin{array}{ccc}&&&2x^{4}&-3x^{3}&+x\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&x^{3}&+x^{2}&+x&+1\\\hline &&&2x^{4}&-3x^{3}&&+x\\&&+2x^{5}&-3x^{4}&&+x^{2}&\\&+2x^{6}&-3x^{5}&&+x^{3}&&\\+2x^{7}&-3x^{6}&&+x^{4}&&&\\\hline 2x^{7}&-x^{6}&-x^{5}&+0&-2x^{3}&+x^{2}&+x\\\end{array}}$

3) $P(x)=-x^{4}+x^{2}+x-5$ multiplicat per $Q(x)=x^{3}+2x^{2}+3x-1$

${\begin{array}{ccc}&&-x^{4}&&+x^{2}&+x&-5\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&x^{3}&+2x^{2}&+3x&-1\\\hline &&&+x^{4}&&-x^{2}&-x&+5\\&&-3x^{5}&&+3x^{3}&+3x^{2}&-15x&\\&-2x^{6}&&+2x^{4}&+2x^{3}&-10x^{2}&&\\-x^{7}&&+x^{5}&+x^{4}&-5x^{3}&&&\\\hline -x^{7}&-2x^{6}&-2x^{5}&+4x^{4}&+0&-8x^{2}&-16x&+5\\\end{array}}$

Exercicis de multiplicacions:

1) $P(x)=x^{2}+x+1$ multiplicat per $Q(x)=2x+2$

2) $P(x)=x^{4}+x^{2}+1$ multiplicat per $Q(x)=x^{2}-2$

3) $P(x)=x^{5}+x^{3}+x$ multiplicat per $Q(x)=x^{3}-x^{2}$

Resta de polinomis

Per restar polinomis el que es fa és convertir la resta en suma de polinomis, es pot pensar que (3)-(4) és el mateix que (3)+(-4) i l'únic que hem de fer es introduir la resta dins del parèntesis del polinomi:

Per restar al polinomi $P(x)=-x^{3}+3x^{2}+x+4$ el polinomi $Q(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6$ escriurem:

$(-x^{3}+3x^{2}+x+4)-(x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6)=$

Aquí es veu que $-(x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6)$ es pot escriure com $-1\cdot (x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6)$ i per tant només cal multiplicar-lo per -1 aquest polinomi donant $+(-x^{4}-x^{3}+x^{2}+2x-6)$ i ja tenim la resta preparada per fer-la com una suma.