Proporcionalitat III

Breu recordatori sobre proporcionalitat de primer i segon d'ESO.

Proporcionalitat directa

Una regla de tres determina i és sempre una proporcionalitat directa, veiem exemples:

1) Es completa la taula següent que relaciona el preu amb les unitats comprades.

Euros $\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$ Caixes 5 € $\longmapsto$ 2 10 € $\longmapsto$ x y $\longmapsto$ 8 z $\longmapsto$ 10

2) Es completa la taula següent que relaciona el preu amb els metres de fil comprats.

Euros $\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$ Metres 2 € $\longmapsto$ 30 m 7 € $\longmapsto$ x y $\longmapsto$ 300 z $\longmapsto$ 1000 m

Regla de tres i l'àlgebra

Una regla de tres té associada una expressió algèbrica fàcil de resoldre, veiem aquest paral·lelisme:

Suposem que amb 2 € comprem 5 plàtans, llavor tenim:

Esquema de regla de tres Euros $\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$ Platans 2 € $\longmapsto$ 5 x € $\longmapsto$ 7 0 € $\longmapsto$ 0 40 € $\longmapsto$ 100

Visió algèbrica ${\frac {2}{x}}={\frac {5}{7}}$

Resolució $x={\frac {2\cdot 7}{5}}$

Amb aquesta equivalència clarament podem fer el següent canvi per aïllar ràpidament la x i veure que és exactament la mateixa operació que amb regla de tres:

Euros $\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$ Platans x € $\longmapsto$ 7 2 € $\longmapsto$ 5

${\frac {x}{2}}={\frac {7}{5}}$

$x=2\cdot {\frac {7}{5}}=$ ${\frac {2\cdot 7}{5}}$

S'observa que:

• Per resoldre l'equació ${\frac {x}{2}}={\frac {7}{5}}$ només cal canviar de costat de la igualtat el 2 que divideix que passa la igualtat a multiplicar els ${\frac {7}{5}}.$

• La resolució per regla de tres és exactament la mateixa que la resolució algèbrica.

• L'equació equivalent per evitar divisions per zero és $x\cdot 5=2\cdot 7$ que surt de multiplicar en creu.

Representació

Exemples de representació i observacions típiques.

1) Comparem el nombre de treballadors i els diners gastats.

Suposem que un empresari paga als seus treballadors 1000 €.

taula+gràfic

2) Comparem els diners al banc i els interessos a 10 anys idealment.

Suposem que els interessos són del 20%:

taula+gràfic

Proporcionalitat inversa

Diem que la proporcionalitat inversa necessita un concepte o una dada fixada per determinar-la.

1) Suposem que es vol construir un únic mur de 10 metres de llarg i sabem que 2 operaris el farien en 5 hores, per tant.

Taula Operaris $\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$ Temps 2 o $\longmapsto$ 5 h 1 o $\longmapsto$ 10 h 0 o $\longmapsto$ Impossible 5 o $\longmapsto$ 2 h 10 o $\longmapsto$ 1 h

gràfic

2) Suposem que la distància de casa a la feina siguin 20 kilòmetres i volem comparar la velocitat i el temps utilitzat.

Taula Velocitat $\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$ Temps 2 km/h $\longmapsto$ 10 h 1 km/h $\longmapsto$ 20 h 0 km/h $\longmapsto$ Impossible 5 km/h $\longmapsto$ 4 h 10 km/h $\longmapsto$ 2 h

gràfic