Repartiments I ESO

Aquesta secció analitza com s'efectuen els repartiments en general a la vida diària i les eines que podem utilitzar per millorar la eficiència descriptiva i analítica per a una acció comunicativa.

Objectius:

• Utilitzar diverses estratègies per repartir unitats o quantitats.

• Utilitzar mètodes d'aproximació decimal.

• Utilitzar diversos procediments per presentar els resultats.

• Utilitzar els múltiples i divisors de forma natural per abordar diversos problemes.

• Mostrar l'ampli us i aplicació de les matemàtiques a la vida quotidiana.

• Animar a la investigació amb totes aquestes eines.

• Conèixer fets històrics més rellevants adequant anècdotes.

• Apreciar i valorar cadascun dels objectius.

Es deixen plegats els possibles comentaris o explicacions que es poden fer, o determinades solucions que poden ser interessants. Es recomana no fer totes les explicacions plegades ja que moltes són elementals o redundants amb perill d'avorriment alt. Gradualment s'introduiran enllaços a noves direccions necessàries per accedir a nou coneixement. La següent temporització està basat en que el material web s'hagi finalitzat amb tota la seva amplitud. La diferència entre les hores depèn del tipus d'alumnat, l'estratègia del docent i la suma d'hores esperada. Introducció: repàs de primaria si escau segons el tipus de classe de 0 a 1h. Història: amb una llegida i que l'interessat pugui preguntar o analitzar ½h a 1h. Algunes activitats pràctiques dins l'esperit creatiu de l'alumne inspirat en els antics, lliure segons el docent. Repartiments d'unitats: sobre les fraccions unitat de 0 a 2h. Notació general de la fracció: utilització de la notació de fracció entera, 1h. Fraccions enteres: entendre i recordar conceptes de primaria per fixar-los, 1h. Producte i divisió de fraccions enteres: amb fraccions equivalents de 2h a 3h. Sumes i restes de fraccions enteres: amb mcm i mcd de 2h a 4h. -en construcció-.

Introducció

Recordatori o bases intuïtiva de les operacions inverses.

Donada la suma 4+3=7. A partir del 7 quina operació permet recuperar el 4 o el 3 inicials?

Si 4+3=7 llavors l'operació és la resta 7-3 = 4 o també 7-4 = 3 i ja està.

Donada la resta 5-2=3. A partir del 3 quina operació permet recuperar el 5 inicial?

Si 5-2=3 llavors l'operació és la suma 3+2 = 5 i ja està.

Podem concloure que la resta desfà la suma i que la suma desfà la resta?

Sí clarament, només cal respectar l'ordre de les operacions. Es pot resumir el concepte com: si jo sumo una unitat per desfer-ho he de restar una unitat i a l'invers.

Donada la multiplicació $4\cdot 3=12.$ A partir del 12 quina operació permet recuperar el 3 o el 4 inicials?

Si $4\cdot 3=12,$ llavors l'operació és la divisió $12\div 3=4$ o també $12\div 3=4$ i ja està.

Donada la divisió $6\div 3=2$. A partir del 2 quina operació permet recuperar el 6 inicial?

Si $6\div 3=2,$ llavors l'operació és la multiplicació $2\cdot 3=6$ recuperant el valor esperat.

Mostres i exemples:

1.-Cal repartir 5 pomes per a cada una de les 8 persones d'una reunió.

• Quantes pomes hem repartit en total? Doncs en total són $5\times 8=40$ pomes.

Visualment:

+ + + + + + +

=

$8\times$

=

$8\times 5\times$

=

$40\times$

Pluja d'idees d'adaptacions didàctiques. Nivell de primaria. Literalment, el dibuix mostra que 8 agrupacions idèntiques es poden canviar per un 8 que multiplica a la agrupació de 5 pomes. En un segon pas mostra com la agrupació de 5 pomes es pot canviar per un 5 que multiplica a una poma. Finalment observem que només hem de multiplicar 8 per 5 que dona 40 que és la quantitat de pomes que hem repartit en total. Es pot entendre com el primer factor comú que es pot fer intuïtivament: + + + + + + + = $(1+1+1+1+1+1+1+1)\times$ = $8\times$ = $8\times (1+1+1+1+1)\times$ = $8\times 5\times$ = $40\times$ Quan es pot fer això?: Quan són diferents? iguals? creixents o decreixents? Amb quins elements es pot aplicar?: Diferents elements o iguals? Quines característiques es poden comparar per trobar igualtats?: Forma, volum, pes, disposició, composició, olor, quantitat o nombre, color, textura, lluentor, pertinença, ... i qualsevol detall identificable per fer una comparació.

2.-Tenim un espai rectangular de 6 m d'amplada i 7 m de llarg.

• Quants metres quadrats té aquest espai? Doncs en total tenim $6\times 7=42\,\,m^{2}.$

7 6

=

6

=

$6\times$

= $6\times 7\times$

=

$42\times$

Pluja d'idees d'adaptacions didàctiques. Nivell de primaria. Literalment, es vol veure quants quadradets té aquest rectangle. Així: Es pot identificar que hi ha 6 tires idèntiques, llavors fem el recompte amb 6 multiplicat per una tira, però llavors com cada tira té 7 quadradets, llavors és el mateix que 6 multiplicat per 7 donant el nombre total de quadradets. Aquest és el procediment més fàcil per calcular àrees rectangulars.

Pràctica immediata

1.-S'ha repartit 40 pomes entre 8 persones. Quantes pomes toca a cadascú?

Doncs $40\div 8=5$ pomes a cada persona.

2.-Tenim un espai amb un àrea de $42\,\,m^{2}$ i 7 m de llarg. Quina és l'amplada de l'espai?

Doncs $42\div 7=6\,\,m.$

3.-Càlcul aritmètic ràpid:	a) $8\times 2\div 8=$	a=2, b=2.
	b) $2\div 3\times 3=$

Aquests fets i molts d'altres porten la necessitat de partir o fer parts, trossejar, dividir o fraccionar en peces iguals o en valors iguals diverses quantitats idealment per distribuir-les o repartir-les i inversament també porten a ajuntar, agrupar, unir, encaixar o reconstruir objectes diversos. Aquesta necessitat té com a conseqüència la introducció dels múltiples, divisors, fraccions i aproximacions com a eines necessàries per abordar diferents problemes.

Història

Les fraccions apareix amb naturalitat amb el llenguatge. Hi ha registres d'aquestes fraccions a les primeres escriptures de les antigues civilitzacions. Els registres més coneguts són els quantitatius, on s'utilitzen diversos objectes amb valors fixos per anotar la mesura, permetent considerar unes mides com a fraccions d'unes altres gràcies a la relació exacta que té un objecte amb un altre. Els primers registres es van fer sobre diferents suports ja sigui en fang, escultures, escrits en papirs o altres mètodes de registre.

• Els sumeris, que ja escrivien entorn del 5000 a.c. i va anar evolucionant a la cuneïforme, van utilitzar peces de fang amb diferents formes i també inscripcions al fang amb dibuixos que és el nom del que han contat.

• Els protoelamites veïns dels sumeris ja comerciaven amb aquestes fraccions:

• Els babilonis, que es van apropiar de l'escriptura sumèria, van utilitzar fraccions de 60 parts d'una unitat que més tard va acabar en un sistema sexagesimal molt potent.

• Els egipcis van utilitzar fraccions d'una unitat amb una especie de quocient arbitrari. També van utilitzar símbols concrets com l'ull d'Horus per fer fraccions de potències de 2.

• En altres latituds els Asteques havien registrat longituds de terrenys, utilitzant mitjos i cinquenes parts de la unitat de forma reduïda.

Repartiments d'unitats

Donat un formatge sencer es vol repartir entre 6 persones.

Acció demanada: dividir aquesta unitat de formatge en 6 parts iguals. Possibles solucions: Fer una divisió radial del formatge en 6 parts iguals. Si el formatge pesa 600 grams llavors només cal donar 100 grams a cadascú sense importar la forma, però els seu pes serà la característica que ha de ser igual. El símbol ideal que s'utilitza és la fracció ${\frac {1}{6}}$, on l'u al numerador fa referència a un formatge sencer i el sis del denominador indica les parts en que s'ha dividit.

Notació de fracció entera unitaria

Per escriure que una unitat es divideix en una quantitat de parts iguals s'ha d'utilitzar nombres sense decimals al denominador, es a dir nombres enters i diferents de zero, i fem servir la notació:

${\frac {1}{n}}$, on 1 és el numerador, dividend o valor a dividir, i n és el denominador, divisor o valor enter que divideix però $n\neq 0.$

Tota fracció és un nombre decimal. Per calcular el seu valor decimal amb la calculadora s'ha d'escriure: ${\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline /\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline n\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline =\\\hline \end{array}}$ També ${\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline \div \\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline n\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline =\\\hline \end{array}}$. Exemple: ${\frac {1}{6}}=0,166666666666666666666...=0,1{\widehat {6}}$ Els egipcis van desenvolupar un altra notació que indica les parts d'una unitat arbitràriament: 𓐝 $={\frac {1}{2}},$ 𓏼𓂋 $={\frac {1}{3}},$ 𓏽𓂋 $={\frac {1}{4}},$ 𓐃𓂋 $={\frac {1}{5}},$ 𓏿𓂋 $={\frac {1}{6}},$ ... 𓎆𓂋 $={\frac {1}{10}}$ A el regla de la imatge teniu escrites i detallades les fraccions sobre una vara de fusta especial i sota les fraccions es pot apreciar l'esforç artesà de dividir la unitat fixada.

Exemples de fracció unitària

Símbol		Circulars	Ortoèdrics	Rectangulars		Mètric	Objectes
Fracció	Decimal	Radial		Agrupats	Tires	Longituds	Unitats
${\frac {1}{2}}$	0,5
${\frac {1}{4}}$	0,25
${\frac {1}{5}}$	0,2
${\frac {1}{8}}$	0,125
${\frac {1}{100}}$	0,01
Detallat per columnes $\Rightarrow$ Es mostra a la primera columna les fraccions i a la següent columna el seu valor decimal, de fet aritmèticament són el mateix, però una fracció aporta molta més informació, i de fet indica la procedència d'aquest valor decimal. A la tercera columna hi ha la divisió radial del cercle, on el cercle és la unitat, també té moltes variants una d'aquestes és la divisió radial del semicercle utilitzat per les eleccions al parlament per la semblança amb aquest físicament. A la quarta columna es representen les divisions dins d'un ortoedre(les cares fan 90 graus amb les veïnes com un maó o un bric sense cares inclinades) o també un cub clarament es com tallar un formatge, en forma de cub que és la unitat, en cubs o ortoedres més petits. A la cinquena columna es presenten divisions dins d'una figura plana que és la unitat dividit en parts iguals segons convingui, tenen variants o agrupacions molt curioses. A la sisena columna tenim divisions dins una tira que és la unitat, representat com a una cadena de rectangles. A la setena columna tenim la identificació de les fraccions sobre la unitat longitudinal del sistema mètric com si fos una tira. A la octava columna tenim la identificació de la fracció de 8 figures que representen la unitat. S'ha de deixar molt clar quina és la unitat, sense ella no hi ha manera de començar a fer particions. S'han deixat dos imatges per considerar-se no necessàries.

Aplicació de les fraccions

L'objectiu primari de les fraccions és aplicar-les directament a les quantitats destinades.

Com s'apliquen aquestes fraccions?

Doncs multiplicant-les pel valor a repartir:

• Si es vol repartir dos metres de cinta adhesiva entre 8 persones, llavors hi ha dos opcions equivalents:

• Dividint $2\div 8$ donant 0,25 metres o 25 centímetres.

• Multiplicant $2\times {\tfrac {1}{8}}$ és a dir $2\times 0,125$ donant 0,25 metres o 25 centímetres.

• Si es vol repartir 350 litres de llet entre 10 persones, llavors:

• Dividint $350\div 10$ donant 35 litres.

• Multiplicant $350\times {\tfrac {1}{10}}$ és a dir $350\times 0,1$ donant 35 litres.

Que es pugui fer de dues maneres és perquè podem multiplicar 350 per l'u abans que dividir $350\times {\tfrac {1}{10}}=350\times 1\div 10=350\div 10$ això justifica la notació general:

$a\times {\tfrac {1}{b}}={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {a}{b}}\\\hline \end{array}}={\tfrac {1}{b}}\times a$

on estudiarem $a$ i $b$ sense decimals.

La inversa de la multiplicació de nombres per calculadores científiques és $n^{-1}={\tfrac {1}{n}}=(1\div n)$

Exemple: Si es vol repartir 140 caramels entre 20 persones llavors multiplico per la inversa $140\times 20^{-1}$ $=140\times (1\div 20)$ $=140\times 0'05$ = 7 caramels per cadascú. Algunes calculadores científiques poden fer directament ${\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline 0\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline 0\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline x^{-1}\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline =\\\hline \end{array}}$

Multiplicació per augmentar o reduir?

En multiplicar 3 per un nombre positiu més gran que 1 com el 10, llavors aquest 3 creix o augmenta fins a 30.

$3\xrightarrow {\;\;\;\times 10\;\;\;} 30$

En multiplicar 3 per un nombre positiu més petit que 1 com el 0'2, llavors aquest 3 decreix o disminueix fins a 0'6.

$3\xrightarrow {\;\;\;\times 0'2\;\;\;} 0,6$

Fraccions enteres

Aquesta secció presenta la notació actual de fracció que evita o simplifica la multiplicació d'una fracció unitària per un nombre o també evita la suma de moltes fraccions unitàries idèntiques estalviant així temps i agilitzant operacions secundàries.

Notació de fracció

Tipus de fraccions
Model	Nom
${\frac {1}{b}}$	unitària
${\frac {a}{b}}\,\,i\,\,a<b$	pròpia
${\frac {a}{b}}\,\,i\,\,a>b$	impròpia

Per escriure que un valor arbitrari es divideix en una quantitat de parts iguals fem servir la notació general de fraccions:

${\dfrac {a}{b}}$, on ɑ és el numerador, dividend o valor a dividir, i b és el denominador, divisor o valor que divideix però no nul, es a dir, diferent de zero, $b\neq 0.$

La fracció demana les vegades que el valor $b$ està dins del valor $a$ amb aquesta pregunta es pot reconstruir el mecanisme de les divisions que coneixem. Es vol repartir 19€ entre 8 persones, per tant, tenim la fracció ${\frac {19}{8}}$ i vull obtenir el seu valor decimal per saber quant toca a cadascú: Es veu que 8 cap 2 vegada com a màxim dins de 19, es a dir, que $8\times 2<19$ i sobra un 3 que falta dividir entre 8 que s'escriu com: ${\frac {19}{8}}=2+{\frac {3}{8}}$ Es llegeix com que cada persona rep 2€ i falten 3€ a repartir entre les 8 persones. S'ha de descanviar 3€ en dècimes d'euro, així, 3€ = 30 dècimes per repartir-les entre 8 persones, per tant, tenim la fracció ${\frac {30}{8}}.$ Novament es veu que 8 cap 3 vegades com a màxim dins de 30, és a dir, que $8\times 3\subset 30$ i sobra un 6 que falta dividir entre 8 que s'escriu com: ${\frac {30}{8}}$ $=3+{\frac {6}{8}}$ Es llegeix com que cada persona rep 3 dècimes d'euro i falta 6 dècimes a repartir entre 8 persones. S'ha de descanviar 6 dècimes d'euro, així, 6 dècimes = 60 cèntims per repartir-les entre 8 persones, per tant, tenim la fracció ${\frac {60}{8}}.$ Novament es veu que 8 cap 7 vegades com a màxim dins de 60, és a dir, que $8\times 7\subset 60$ i sobra un 4 que falta dividir entre 8 que s'escriu com: ${\frac {60}{8}}$ $=7+{\frac {4}{8}}$ Es llegeix com que cada persona rep 7 cèntims i sobren 4 cèntims a repartir entre 8 persones. S'ha de descanviar 4 cèntims, així, 4 cèntims són 40 mil·lèsimes d'euro, unitat que no existeix, per tant, tenim la fracció ${\frac {40}{8}}.$ Novament es veu que 8 cap exactament 5 vegades dins de 40 ja que $8\times 5=40.$ ${\frac {40}{8}}$ $=5$ Es llegeix com que cada persona rep 5 mil·lèsimes d'euro. El resultat és docs ${\frac {19}{8}}=2+0'3+0'07+0'005=2,375\mathrm {\euro}$ són les vegades que 8 està dins de 19 amb tots els decimals es a dir $19\mathrm {\euro} \div 8$. Tota fracció impròpia es pot escriure com un nombre més una fracció pròpia $s+{\tfrac {a}{b}}$ $=s\;\;^{a}/_{b},$ on $a<b$ d'aquesta suma en diem nombres mixtos: $3,5=3+{\tfrac {1}{2}}=3\;\;^{1}/_{2}$ es pot desfer fent $={\dfrac {3\times 2+1}{2}}={\dfrac {7}{2}}.$ $2,75=2+{\tfrac {3}{4}}=2\;\;^{3}/_{4}$ es pot desfer fent $={\dfrac {2\times 4+3}{4}}={\dfrac {11}{4}}.$ $7,8=7+{\tfrac {4}{5}}=7\;\;^{4}/_{5}$ es pot desfer fent $={\dfrac {7\times 5+4}{5}}={\dfrac {39}{5}}.$ S'ha d'interpretar i conèixer bé aquesta notació, ja que, és una forma d'escriure el mateix: $a\div b={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {a}{b}}\\\hline \end{array}}$ $a\times {\frac {1}{b}}={\frac {a\times 1}{b}}={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {a}{b}}\\\hline \end{array}}$ ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {1\times a}{b}}={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {a}{b}}\\\hline \end{array}}$ $1=a\div a={\dfrac {a}{a}}$ Exemple intuïtiu: Si repartim 310 pans entre 310 persones hem de fer ${\dfrac {310\,\,Pans}{310\,\,Persones}}$ $={\dfrac {1\,\,Pa}{1\,\,Persona}}$ $=1{\dfrac {Pa}{Persona}}$ $=1\;\;^{Pa}/_{Persona}$ que es llegeix un pa per cada persona. Si multipliquem una fracció pel número 1 no tenim cap canvi. ${\frac {a}{b}}\times 1={\frac {a\times 1}{b}}={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {a}{b}}\\\hline \end{array}}$ $1\times {\frac {1}{b}}={\frac {1\times a}{b}}={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {a}{b}}\\\hline \end{array}}$

Exemples d'aplicació de la notació

1) Sumes de fraccions iguals ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}=?$

Es demana ajuntar parts o trossos iguals per tant ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}$ $=5\times {\frac {1}{3}}$ $={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {5}{3}}\\\hline \end{array}}$ Utilitzant decimals és més elaborat: $0'{\widehat {3\,}}+0'{\widehat {3\,}}+0'{\widehat {3\,}}+0'{\widehat {3\,}}+0'{\widehat {3\,}}$ $=5\times 0'{\widehat {3\,}}$ $={\begin{array}{|c|}\hline 1'{\widehat {6\,}}\\\hline \end{array}}$ és a dir que en realitat $5\div 3$ $=1'{\widehat {6\,}}.$ Quin és el millor? doncs depèn de la situació pot ser un o l'altre.

2) Sumes de fraccions mateix denominador: ${\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}=?$

Només cal interpretar cada fracció per separat per adonar-se que són totes iguals: ${\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}$ $={\bigg (}{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{7}}{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{7}}{\bigg )}$ $={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {5}{7}}\\\hline \end{array}}$ S'ha de recordar que com que tot són sumes llavors podem treure els parèntesis i es sumar tranquil·lament.

3) Restes de fraccions mateix denominador: ${\frac {4}{5}}-{\frac {3}{5}}=?$

Només cal interpretar cada fracció per separat per adonar-se que són totes iguals: ${\frac {4}{5}}-{\frac {3}{5}}$ $={\bigg (}{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}+{\bigg (}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{5}}{\bigg )}$ $={\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {1}{5}}\\\hline \end{array}}$ Podem treure els parèntesis i es resta tranquil·lament.

4) Quants setens hi ha a l'expressió: ${\frac {13}{7}}?$

Només cal entendre que el numerador parla de quants setens tenim, en aquest cas 13 setens.

Interpretacions de ${\frac {a}{b}}:$

Quantitat de vegades que b cap dins de ɑ. $\Rightarrow {\frac {a}{b}}=6$

Exemple 1: Es vol fer un estudi més general sobre distribució d'espai, en primer lloc s'analitzen 13 places d'aparcament de cotxes i es vol estudiar quants grups de 3 cotxes cap a dins, és a dir, omplir-lo de 3 en 3, visualment amb un dibuix ja es veu la solució: 300 Amb una divisió entera també tindrem la solució ${\begin{matrix}13&{\begin{array}{|c}3\\\hline \end{array}}\\1&4\end{matrix}}$ i el resultat diu que cap 4 grups de 3 cotxes i sobra un espai. Amb calculadora ${\frac {13\;places}{3\;places\;agrupades}}=4,{\widehat {3\,}},$ per tant, són 4 agrupacions i els decimals $0'{\widehat {3\,}}$ només indiquen que han sobrat espais, per recuperar aquest espai residual s'ha de multiplicar per 3 donant $0'{\widehat {3\,}}\times 3=1$ lloc. Exemple 2: S'estudia una ouera per a una dotzena d'ous i 5 gallines que donen 1 ou diari cadascuna. Es vol saber en quants dies s'ocupa aquesta ouera i, per tant, necessitaré una nova ouera. Esquema on visualment ja es veu la solució: Amb una divisió entera també tindrem la solució ${\begin{matrix}12&{\begin{array}{|c}5\\\hline \end{array}}\\2&2\end{matrix}}$ i el resultat diu que en 2 dies s'omple la ouera i sobren 2 espais, i per tant necessitarem una de nova. Amb calculadora ${\frac {12\;espais}{5\;espais\;per\;dia\;ocupats}}=2'4,$ per tant, en 2 dies s'ocupa aquesta primera ouera i els decimals 0'4 només indiquen que han sobrat espais, en aquest cas sobren $0'4\times 5=2$ llocs. Nota: Aquests exemples són expressament molt fàcils i es poden veure a ull però amb valors més grans és difícil de fer-lo a ull. Identifiqueu la idea més simple que dona. També es por fer un resum amb les pròpies paraules.

Valor de cadascuna de les b parts iguals que es poden fer del valor ɑ. $\Rightarrow {\frac {a}{b}}=4$

Exemple 1: Es vol destinar un espai de 60 metres per a estacionament de vehicles en línia (un davant de l'altre). Quants metres tindria cada aparcament si es vol fer-ne 15? i si es vol fer-ne 18? Si es vol 15, s'ha de fer la divisió ${\frac {60\;m}{15\;espais}}=4{\frac {m}{espai}},$ per tant 4 metres per espai. Si es vol 18, s'ha de fer la divisió ${\frac {60\;m}{18\;espais}}=3,{\widehat {3\,}}{\frac {m}{espai}},$ per tant 3,333 metres per espai aproximadament. Nota: Evidentment si es vol anar directament a una mesura com 3 metres per aparcament s'aplica la idea anterior ${\frac {60\;m}{3\;m}}=20\;aparcaments.$

Per cada b elements d'un conjunt n'agafem ɑ elements o ,equivalentment, agafem ɑ elements per cada b elements d'un conjunt. ${\frac {2}{20}}$ del motiu és verd.

Aquí només cal dir que es considera que el fris decoratiu és molt gran, llavors només cal identificar el motiu que es repeteix i construir una fracció a partir del que es demana d'ell. També es pot fer una equivalència amb: b és el total de elements d'un conjunt unitat divisible, i ɑ és la quantitat que es necessita. ${\frac {parts\;escollides}{total\;de\;parts\;escollibles}}$ ${\frac {elements\;seleccionats}{tots\;els\;elements\;seleccionables}}$ ${\frac {parts\;pintades}{total\;de\;parts\;pintables}}$

A partir de b s'obté el tipus d'elements utilitzats i ɑ els elements que es necessiten.

Aquesta darrera interpretació és la més general i la que produeix fraccions impròpies de forma natural. Quan es diu que a partir de b s'obté el tipus d'elements, està parlant de que els elements són ${\frac {1}{b}}$ com a una unitat fraccionària. Si es demanen 400 pans d'un quart, ¿Quant pesa?. Llavors el que es fa és $400\times {\frac {1}{4}}=$ ${\frac {400}{4}}=$ 100 kg. A algunes aplicacions parlen que és necessari ${\frac {5}{5}}$ per arribar a un objectiu, només cal observar que la unitat desitjada està formada per 5 elements, llavors: Si es diu que hi ha ${\frac {1}{5}}$ del que es desitja, vol dir que hi ha la cinquena part de la unitat de 5 elements, és a dir, tens un sol element i es demanen 5. Si es diu que hi ha ${\frac {55}{5}}$ del que es desitja, vol dir que hi ha 55 cinquenes parts de la unitat de 5 elements, és a dir, sobren 50 elements.

Exemples

1) Un comprador fa una comanda de 15 trossos d'un mateix tipus de formatge, aquest formatge es ven en mitjos de formatge. A quants formatges sencers equival la compra feta realment? escriu-lo en nombres mixtos i després en nombres decimals.

Com que 15 no es pot dividir entre 2 llavors apartem un dels 15 i obtenim 14. Directament separem un mig dels 15 que tinc $15\times {\frac {1}{2}}$ $={\frac {14}{2}}+{\frac {1}{2}}$ Es calcula els 14 mitjos: $={\frac {14}{2}}+{\frac {1}{2}}$ $={\begin{array}{|c|}\hline 7+{\dfrac {1}{2}}.\\\hline \end{array}}$ I amb decimals $=7+{\frac {1}{2}}$ = 7 + 0'5 $={\begin{array}{|c|}\hline 7'5.\\\hline \end{array}}$ De fet la divisió entera ens diu com és el nombre, el residu 1 és l'u d'aquest un mig: ${\begin{matrix}15&{\begin{array}{|c}2\\\hline \end{array}}\\1&7\end{matrix}}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;{\frac {15}{2}}=7+{\frac {1}{2}}$

2) Un home es menja la meitat d'una pizza, després té més gana però només es menja l'equivalent a un quart de la pizza inicial. Quina fracció s'ha menjat realment respecte de la pizza unitat?

Si es representa clarament el mig és el mateix que dos quarts Per tant en comptes de ${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}$ el que realment tinc és ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}$ i que sumant dona ${\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {3}{4}}\\\hline \end{array}}$

3) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd?

El patró que es repeteix és el parell verd-carbassa; de dos triangles un és verd, per tant, ${\frac {1}{2}}$ del fris és de color verd.

4) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd i quina no és de color verd?

Doncs com que el patró que es repeteix és verd-carbassa-blau cel-carbassa; de quatre triangles un és verd, per tant, ${\frac {1}{4}}$ del fris és verd i ${\frac {3}{4}}$ del fris no és verd.

5) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd i quina no és de color verd?

Doncs com que el patró que es repeteix és verd-carbassa-carbassa; de tres triangles un és verd, per tant, ${\frac {1}{3}}$ del fris és verd i ${\frac {2}{3}}$ del fris no és verd.

Sumes i restes de fraccions enteres

$\,\,{\frac {a}{n}}+{\frac {b}{n}}={\frac {a+b}{n}}$	$\,\,{\frac {a}{n}}-{\frac {b}{n}}={\frac {a-b}{n}}$
$-{\frac {a}{n}}+{\frac {b}{n}}={\frac {-a+b}{n}}$	$-{\frac {a}{n}}-{\frac {b}{n}}={\frac {-a-b}{n}}$
Aquesta demostració val per tots, només cal repetir l'estratègia de interpretar la notació: ${\frac {a}{n}}+{\frac {b}{n}}$ $=\underbrace {\underbrace {{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}} _{a}+\underbrace {{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}} _{b}} _{a+b}$ $={\frac {a+b}{n}}$

Exercicis:

1) Quina és la quantitat total resultant a cada cas:

a) S'ha venut els formatges indicats: $4+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=$

b) S'han repartit els següents trossos de barres de pa de 2kg: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}=$

c) En una capsa tenim un pastís dividit en 35 trossos, per repartir-la entre els seus companys, Marta agafa 5, Josep n'agafa 10, Pere n'agafa 10 i Joan es menja 3. Quina fracció de pastís queda per repartir?

d) Un restaurador suma l'àrea les fraccions de rajoles restaurades, cada rajola té 1 metre quadrats que ha restaurat: ${\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{4}}=$

e*canviar) Un venedor de farines ven les següents quantitats en fraccions de kilograms: $4+{\frac {2}{10}}+{\frac {3}{100}}+{\frac {7}{1000}}=$

e) Volem saber quina és la fracció total de cada tipus de rajola de cadascun dels recobriments següents, pistes:

• Imaginem que els dibuixos són recobriments extensos i hem dibuixat un trosset petit de com es repeteix el dibuix.

• S'ha de prendre com a unitat un tros del dibuix, anomenat patró, amb el qual es pot fer o dibuixar tot el recobriment i deduir les fraccions de tot, només a partir d'aquest tros ben escollit.

c.1)	c.2)
c.3)	c.4)
c.5)	c.6)
c.7)

2) Calculeu la operació indicada:

a) ${\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{5}}=$	b) ${\frac {3}{5}}-{\frac {1}{5}}=$
c) ${\frac {8}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {2}{3}}=$	d) $-{\frac {6}{3}}+{\frac {5}{3}}=$
e) ${\frac {9}{10}}+{\frac {1}{10}}=$	f) ${\frac {5}{8}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {6}{8}}=$

Multiplicació de fraccions

${\frac {a\cdot c}{c\cdot d}}={\frac {a\cdot \color {red}{\cancel {c}}}{\color {red}{\cancel {c}}\color {black}\cdot d}}={\frac {a}{d}}$

${\frac {\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}$ $={\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$

Exemples

1) ${\frac {2}{5}}\cdot {\frac {3}{7}}={\frac {2\cdot 3}{5\cdot 7}}={\frac {6}{35}}$

2) ${\frac {2}{5}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {2\cdot 4}{5\cdot 3}}={\frac {8}{15}}$

Reducció de fraccions

Tenim una fracció ${\frac {p}{q}}$ amb p i q divisibles per c, és a dir que p = a · c i q = b · c, llavors es compleix que:

${\frac {p}{q}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}={\frac {a\cdot {\cancel {c}}}{b\cdot {\cancel {c}}}}={\frac {a}{b}}$

Exemples

1) ${\frac {6}{15}}={\frac {2\cdot {\cancel {3}}}{5\cdot {\cancel {3}}}}={\frac {2}{3}}$

2) ${\frac {8}{6}}={\frac {4\cdot {\cancel {2}}}{3\cdot {\cancel {2}}}}={\frac {4}{3}}$

3) ${\frac {30}{70}}={\frac {10\cdot 3}{10\cdot 7}}$ $={\frac {{\cancel {10}}\cdot 3}{{\cancel {10}}\cdot 7}}$ $={\frac {3}{7}}$

4) ${\frac {49}{35}}={\frac {7\cdot 7}{5\cdot 7}}$ $={\frac {7\cdot {\cancel {7}}}{5\cdot {\cancel {7}}}}$ $={\frac {7}{5}}$

Exercicis de multiplicacions i divisions

1) ${\frac {5}{6}}\cdot {\frac {2}{5}}=$	2) ${\frac {8}{3}}\cdot {\frac {6}{4}}=$
3) ${\frac {4}{15}}\cdot {\frac {3}{12}}=$	4) ${\frac {100}{7}}\cdot {\frac {14}{200}}=$
5) ${\frac {\,\,{\frac {3}{4}}\,\,}{\frac {3}{4}}}=$	6) ${\frac {2}{5}}\div {\frac {4}{3}}=$
7) ${\frac {1}{3}}\div {\frac {4}{9}}=$	8) ${\frac {\,\,{\frac {25}{3}}\,\,}{\frac {5}{3}}}=$
9) ${\frac {{\frac {1}{5}}-{\frac {3}{5}}}{\frac {7}{5}}}=$

Exercicis de reducció

1) ${\frac {128}{8}}=$

2) ${\frac {60}{12}}=$

3) ${\frac {45}{18}}=$

4) Són equivalents les fraccions següents?

Nota: dues fraccions són equivalents quan en reduir-les surt la mateixa fracció. Aquest terme s'utilitza per evitar dir iguals ja que simbòlicament no ho són.

a)${\frac {500}{70}}$ i ${\frac {100}{14}}$

b)${\frac {42}{66}}$ i ${\frac {21}{11}}$

c)${\frac {128}{8}}$ i ${\frac {16}{1}}$

Sumes i restes de fraccions

Observació

${\frac {1}{3}}\rightarrow$		${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\rightarrow$	$\leftarrow 3\rightarrow$ ${\begin{matrix}\uparrow \\4\\\downarrow \end{matrix}}$	$={\frac {7}{12}}$
${\frac {1}{4}}\rightarrow$

Explicació de l'esquema: S'ha de veure que els terços casualment són divisions verticals, els quarts són divisions horitzontals i quan volem sumar tots dos l'únic que cal és fer les divisions una sobre l'altra. Es veu clarament que un terç són 4 quadradets i un quart són 3 quadradets de un total de 12, per tant el resultat és ${\frac {7}{12}}.$

Mètode de suma o resta en general

Sempre es pot fer aquests procediments i s'ha de reduir sempre que es pugui:

1r Mètode sense miraments:

${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}\pm {\frac {b\cdot c}{b\cdot d}}={\frac {a\cdot d\pm b\cdot c}{b\cdot d}}$

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}+{\frac {b\cdot c}{b\cdot d}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}}$ ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}-{\frac {b\cdot c}{b\cdot d}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}}$ $-{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}=-{\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}+{\frac {b\cdot c}{b\cdot d}}={\frac {-a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}}$ $-{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}=-{\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}-{\frac {b\cdot c}{b\cdot d}}={\frac {-a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}}$

2n Mètode eficient:

${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot {\frac {mcm}{b}}\pm c\cdot {\frac {mcm}{d}}}{mcm}}$ on mcm(b,d) és el mínim comú múltiple.

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot {\frac {mcm}{b}}+c\cdot {\frac {mcm}{d}}}{mcm}}$ ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot {\frac {mcm}{b}}-c\cdot {\frac {mcm}{d}}}{mcm}}$

3r Mètode del espavilat:

Es tracta de fer expressament que tots els denominadors siguin iguals multiplicant pel numerador i denominador per un número. Si es veu difícil apliqueu l'anterior i segur que està bé.

${\frac {3}{4}}+{\frac {3}{8}}-{\frac {5}{16}}={\frac {3\cdot 4}{4\cdot 4}}+{\frac {3\cdot 2}{8\cdot 2}}-{\frac {5}{16}}={\frac {12}{16}}+{\frac {6}{16}}-{\frac {5}{16}}={\frac {13}{16}}$

Es veu els denominadors 4, 8 i 16. Es pot veure que el 4 l'he de multiplicar per 4 per arribar a 16. Es pot veure que el 8 només l'he de multiplicar per 2 per arribar a 16. Ja està! és el que s'ha de fer com indica l'enunciat, he de multiplicar a numerador i denominador a la vegada per aquests nombres. Finalment es fa la suma normal.

Observacions

• $a\div n\times (b+c)={\dfrac {a\times b}{n}}+{\dfrac {a\times c}{n}}$ anomenada propietat distributiva respecte la suma.

Exemple

1) ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}=$	${\frac {1\cdot 3+2\cdot 1}{2\cdot 3}}$ $={\frac {3+2}{6}}$ $={\frac {5}{6}}$
2) ${\frac {5}{6}}+{\frac {1}{4}}=$	${\frac {5\cdot 4+6\cdot 1}{6\cdot 4}}$ $={\frac {20+6}{24}}$ $={\frac {26}{24}}_{\;\div 2}^{\;\div 2}$ $={\frac {13}{12}}$
3) ${\frac {3}{7}}+{\frac {4}{3}}=$	${\frac {3\cdot 3+4\cdot 7}{3\cdot 7}}$ $={\frac {9+28}{21}}$ $={\frac {37}{21}}$
4) ${\frac {2}{6}}+{\frac {3}{2}}=$	${\frac {2\cdot 2+6\cdot 3}{6\cdot 2}}$ $={\frac {4+18}{12}}$ $={\frac {22}{12}}_{\;\div 2}^{\;\div 2}$ $={\frac {11}{6}}$
5) ${\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}=$	${\frac {3\cdot 6-4\cdot 1}{4\cdot 6}}$ $={\frac {18-4}{24}}$ $={\frac {14}{24}}_{\;\div 2}^{\;\div 2}$ $={\frac {7}{12}}$
6) ${\frac {4}{5}}-{\frac {1}{20}}=$	${\frac {4\cdot 20-5\cdot 1}{5\cdot 20}}$ $={\frac {80-5}{100}}$ $={\frac {75}{100}}_{\;\div 5}^{\;\div 5}$ $={\frac {15}{20}}_{\;\div 5}^{\;\div 5}$ $={\frac {3}{4}}$
7) ${\frac {5}{4}}-{\frac {2}{25}}=$	${\frac {5\cdot 25-4\cdot 2}{4\cdot 25}}$ $={\frac {125-8}{100}}$ $={\frac {117}{100}}$
8) $-{\frac {7}{8}}+{\frac {3}{4}}=$	${\frac {-7\cdot 4+8\cdot 3}{8\cdot 4}}$ $={\frac {-28+24}{32}}$ $={\frac {-4}{32}}_{\;\div 4}^{\;\div 4}$ $=-{\frac {1}{8}}$

Exercicis

Recull d'exercicis de tots els apartats.

1) Reparteix esbrinant el valor que toca a cadascú.

a) Un formatge de 800 grams repartit per a 8 persones.

b) 21 metres quadrats repartits per a 7 persones.

c) 60 maons repartits per a 4 persones.

2) Indica el valor de cada fracció...