Sistemes d'equacions III

Els sistemes d'aquesta secció barregen equacions lineals i per tant no sortirà equacions amb potències més grans que 1.

Conté un petit recordatori i un anàlisi d'una equació amb 2 incògnites prèviament per connectar amb la representació.

Equacions amb dues incògnites

Per resumir i refrescar el tema d'equacions es fan les següents pinzellades:

Les equacions lineals amb una sola incògnita x poden tenir diversos tipus de solucions.

1) $2x+5=x+7$ $\;\;\Rightarrow \;\;2x-x=7-5$ $\;\;\Rightarrow \;\;x=2$ Per tant x té un valor com a única solució. 2) $x+5=x+7$ $\;\;\Rightarrow \;\;x-x=7-5$ $\;\;\Rightarrow \;\;0=2$ Per tant x no té cap valor com a solució. 3) $x+7=x+7$ $\;\;\Rightarrow \;\;x-x=7-7$ $\;\;\Rightarrow \;\;0=0$ Per tant x té qualsevol valor com a solució.

Ara les equacions són de dues incògnites unes trivials i d'altres no tant:

1)	$y=2+x$
	Existeixen molts valors de x i y que compleixen aquesta equació. Taula per analitzar els diferents valors de l'equació: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -1 0 1 2 3 4 5 6 Representació de la taula amb coordenades:
2)	$x^{2}+xy+y^{2}=1$
	Existeixen molts valors de x i y que compleixen aquesta equació. Taula per analitzar els diferents valors de l'equació: x -1 -1 0 0 1 1 y 1 0 1 -1 -1 0 Representació de la taula amb coordenades:

Definició
	Una equació lineal amb dues incògnites és una condició que informa algebraicament de quina és la relació entre x i y, i que determinen rectes al pla.

Per tant aquest tipus d'equació lliga el comportament de les seves incògnites.

Com es pot interpretar?

Es pot interpretar imaginant que les incògnites abans estaven lliures al pla i amb una equació no estan tan lliures i tenen un objectiu comú que es pot interpretar i visualitzar amb gràfics com: Un camí que apareix per alguna vora, continua en línia recta i desapareix per un altra vora. Si una incògnita es mou del seu valor, llavors l'altra incògnita es veu obligada a actuar en conseqüència. Un punt al pla en moviment. Les incògnites cooperen per fer dibuixos al pla. Abans teníem un objecte de dimensió 2, un pla (x,y), i amb l'equació ha passat a dimensió 1, una línia recta. Aquestes equacions s'agrupen dins d'un últim conjunt enorme d'equacions i són les equacions implícites. No es pot confondre equació amb funció.

Eines digitals d'ajuda per la representació.

GeoGebra Aplicació online. Aplicació intalable es recomana Clàssic 5. Symbolab online.

Sistemes d'equacions

Definició
	Un sistema d'equacions lineals amb dues incògnites és una agrupació de més d'una d'equació lineal i les solucions han de complir totes les equacions a la vegada.

Explicació del comportament d'un sistema de dos equacions amb dos incògnites de la forma:

${\begin{cases}y=2-x\\y=x+1\end{cases}}$

Taula de $y=2-x$ x -2 0 2 y 4 2 0

Taula de $y=x+1$ x -2 0 2 y -1 1 3

Representació conjunta

Interpretació

La primera equació ens diu que els valors x i y han de comportar-se dibuixant la recta taronja, és a dir, ens diu que els valors x i y han d'estar sobre la recta taronja.

La segona equació ens diu, que no!, que els valors x i y han de comportar-se com la recta blava, és a dir, ens diu que els valors x i y han d'estar sobre la recta blava.

Què és una solució d'aquesta baralla? Una solució es veure on estan d'acord les dues equacions i res més.

En resum, les dues equacions només estan d'acord en el punt on es tallen les dues rectes que és el punt ( 0'5, 1'5 ) que és el mateix que dir x = 0'5 i y = 1'5, que és la solució.

Exemples

1)${\begin{cases}y+x=0\\2y-x=0\end{cases}}$

2)${\begin{cases}y={\frac {1-x}{2}}\\y=x\end{cases}}$

3)${\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\\x+y=-1\end{cases}}$

Mètodes de resolució de sistemes

Els sistemes es poden resoldre principalment de 3 formes diferents. El menys utilitzat és d'igualació però és ocasionalment útil. El de substitució s'ha de tenir molt present ja que pot aparèixer en altres mètodes. El de reducció és el més treballat sobretot quan es tracten grans quantitats d'equacions lineals, els ordinadors tenen sistemes de càlcul molt especialitzats en aquestes equacions lineals ja que surten a totes les branques científiques i d'oci.

Mètode d'igualació

Aquest mètode s'aplica per treure una incògnita repetida, aplicable a només dues equacions on la una mateixa incògnita es pot aïllar fàcilment de les dues equacions a la vegada.

Donat el sistema ${\begin{cases}3y=x\\y=2-x\end{cases}}$

$1^{r}$) Aïllament de les y.

Obtenim el comportaments de cada y en funció de x.

$\Rightarrow {\begin{cases}\color {red}y\color {black}={\frac {x}{3}}\\\color {red}y\color {black}=2-x\end{cases}}$

$2^{n}$) Igualació de les y.

S'igualen les expressions iguals a y, és com preguntar-li al sistema "quan els dos comportaments de y són iguals o coincideixen" i ella respondrà amb un valor concret de x.

En realitat es té que $\;\;{\frac {x}{3}}=\color {red}y\color {black}=2-x\;\;$ on els extrems han de ser iguals obligatòriament, per tant podem esborrar y.

${\frac {x}{3}}=2-x$

Es multipliquen els tres termes pels denominadors o idealment el m.c.m. d'ells.

$\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}3\color {black}\cdot {\frac {x}{3}}=\color {red}3\color {black}\cdot 2-\color {red}3\color {black}\cdot x$

$\;\;\;\Rightarrow \;\;\;1\cdot x=6-3\cdot x$

$\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x+3x=6$

$\;\;\;\Rightarrow \;\;\;4x=6$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x={\frac {6}{4}}$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}{\begin{array}{|c|}\hline \color {black}x={\frac {3}{2}}\color {red}\\\hline \end{array}}$

$3^{r}$) Càlcul de y:

Es substitueix la x trobada a una de les equacions on la y està aïllada, la primera equació per exemple.

${\frac {\;\;{\frac {a}{b}}\;\;}{\frac {c}{d}}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

$y={\frac {(x)}{3}}$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;y={\frac {({\frac {3}{2}})}{\frac {3}{1}}}$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}{\begin{array}{|c|}\hline \color {black}y={\frac {1}{2}}\color {red}\\\hline \end{array}}$

$4^{t}$) Comprovació.

Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los.

${\begin{cases}3\cdot ({\frac {1}{2}})=({\frac {3}{2}})\\({\frac {1}{2}})=2-({\frac {3}{2}})\end{cases}}$

Ja està acabat perquè el sistema original confirma que els valors trobats de x i y donen una igualtat certa.

Exemple 2:

Donat el sistema ${\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}}$

$1^{r}$) Aïllem les y que apareixen a cada equació.

Obtenim el comportament de una y en funció de x de les dues equacions.

${\begin{cases}\color {red}y\color {black}=3-x\\\color {red}y\color {black}=x-1\end{cases}}$

Com que la y és igual a les dues equacions, llavors vol dir que les dues equacions són iguals entre elles i per tant les pots igualar quedant una sola equació amb una sola incògnita que és la x.

$2^{n}$) Igualem les dues equacions entre si, desapareixent la y.

$3-x=x-1$ $\Leftrightarrow 3+1=x+x$ $\Leftrightarrow 4=2x$ $\Leftrightarrow {\frac {4}{2}}=x$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}{\begin{array}{|c|}\hline \color {black}x=2\color {red}\\\hline \end{array}}$

$3^{r}$) Càlcul de y.

Es substitueix la x=2 a qualsevol equació donant directament el valor de y.

$y=3-x$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;y=3-(2)$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}{\begin{array}{|c|}\hline \color {black}y=1\color {red}\\\hline \end{array}}$

$4^{t}$) Comprovació.

Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los.

${\begin{cases}(2)+(1)=3\\(2)-(1)=1\end{cases}}$

Els tutorial pels sistemes següents aquí, on aïllen primer les x però sortirà la mateixa solució, primer surt el valor de y i després el valor de x.

1)${\begin{cases}x+y=2\\x-y=6\end{cases}}$

2)${\begin{cases}x+2y=5\\4x+2y=14\end{cases}}$

Mètode de substitució

Aquest mètode s'aplica quan només es pot aïllar una incògnita a una equació i a l'altre no es pot aïllar per alguna raó.

Donat el sistema ${\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}}$

$1^{r}$) Aïllem una de les y.

Obtenim el comportament de una y en funció de x.

$\color {red}y\color {black}=3-x$

$2^{n}$) Substitució de y a la segona equació.

S'introdueix la primera equació dins l'altra, gràcies a que té la y aïllada, per tant obtenim una equació només amb x.

$x-\color {red}y\color {black}=1$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x-(3-x)=1$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x-3+x=1$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;2x=1+3$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x={\frac {4}{2}}$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}{\begin{array}{|c|}\hline \color {black}x=2\color {red}\\\hline \end{array}}$

$3^{r}$) Càlcul de y.

Es substitueix la x=2 a l'equació on la y està aïllada.

$y=3-x$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;y=3-(2)$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}{\begin{array}{|c|}\hline \color {black}y=1\color {red}\\\hline \end{array}}$

$4^{t}$) Comprovació.

Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los.

${\begin{cases}(2)+(1)=3\\(2)-(1)=1\end{cases}}$

Ja està acabat perquè el sistema original confirma que els valors trobats de x i y donen una igualtat certa.

Els tutorial pels sistemes següents aquí, on aïllen primer les x, només mireu el primer sistema de Susi, el segon sistema de Susi excedeix el nostre nivell.

1)${\begin{cases}x+3y=4\\2x-y=1\end{cases}}$

2)${\begin{cases}x-2y=-4\\3x+y=9\end{cases}}$ tutorial aquí

3)${\begin{cases}2x-5y=12\\3x+4y=-5\end{cases}}$ tutorial aquí, en català

4)${\begin{cases}x+6y=27\\7x-3y=9\end{cases}}$ tutorial aquí

Mètode de reducció

Aquest mètode s'utilitza molt per a grans sistemes d'equacions, sembla una divisió perquè busca múltiples d'equacions i extreure'ls fent zeros sota el primer terme de cada equació successiva.

Donat el sistema ${\begin{cases}\color {blue}2\color {black}x+3y=1\\\color {red}3\color {black}x-2y=1\end{cases}}$

$1^{r}$) Es fa coincidir les quantitats de x de les dues equacions.

Multipliquem entre elles el valor de x, però de vegades només cal multiplicar-ne o dividir-ne només una sense que surtin fraccions i surt ràpidament, assegureu-vos que queden iguals les quantitats de x.

Generalitzant es multipliquen les equacions pel número de x de l'altra equació.

${\begin{cases}\color {red}3\color {black}\cdot 2x+\color {red}3\color {black}\cdot 3y=\color {red}3\color {black}\cdot 1\\\color {blue}2\color {black}\cdot 3x-\color {blue}2\color {black}\cdot 2y=\color {blue}2\color {black}\cdot 1\end{cases}}$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;{\begin{cases}6x+9y=3\\6x-4y=2\end{cases}}$

$2^{n}$) Es resta una equació de l'altra.

Es converteix la resta en suma canviant el signe del la equació restadora(subtrahend). Es pot restar directament però ens podem equivocar. La resta ha de donar un 0x altrament ens hem equivocat.

${\begin{array}{ccc}&6x&+9y&=3\\{\begin{array}{|c|}\hline -\\\hline \end{array}}&6x&-4y&=2\\\hline &&?\end{array}}$ $\Rightarrow \;\;{\begin{array}{ccc}&6x&+9y&=3\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&-6x&+4y&=-2\\\hline &\color {red}0x\color {black}&+13y&=1\\\end{array}}$ $\Rightarrow \;\;13y=1$ $\Rightarrow \;\;y={\frac {1}{13}}$

$3^{r}$) Càlcul de x.

Es substitueix la y trobada a una de les equacions, la primera equació per exemple.

$6x-4(y)=2$ $\;\;\Rightarrow \;\;6x-4({\frac {1}{13}})=2$

Es multiplica per 13.

$13\cdot 6x-13\cdot 4({\frac {1}{13}})=13\cdot 2$ $\;\;\Rightarrow \;\;78x-4=26$ $\;\;\Rightarrow \;\;78x=26+4$ $\;\;\Rightarrow \;\;78x=30$ $\;\;\Rightarrow \;\;x={\frac {30}{78}}$ $\;\;\Rightarrow \;\;x={\frac {5}{13}}$

$4^{t}$) Comprovació.

Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los.

${\begin{cases}2({\frac {5}{13}})+3({\frac {1}{13}})=1\\3({\frac {5}{13}})-2({\frac {1}{13}})=1\end{cases}}$

Ja està acabat perquè el sistema original confirma que els valors trobats de x i y donen una igualtat certa.

Els tutorial pels sistemes següents aquí, al (1) i (3) redueixen Y però sortirà la mateixa solució, primer surt el valor de x i després el valor de y, i al (2) ho fan al invers.

1)${\begin{cases}4x+y=-3\\-3x+y=11\end{cases}}$

2)${\begin{cases}3x-2y=12\\x+5y=38\end{cases}}$

3)${\begin{cases}2x+3y=19\\5x-2y=0\end{cases}}$

Curiositat

Analitzem els sistemes estèrils

${\begin{cases}5x+y=1\\5x+y=1\end{cases}}$