User:Hwangjy9/고등학교/확률 문제

이 문서에서는 고등학교 과정에서 풀 만한 확률 문제를 수집하고 있습니다.

첫 번째 문제: 확률과 수열의 점화식

문제

$n$명의 사람이 가위바위보를 한 번 할 때, 승패가 결정될 확률을 구하시오.

풀이

문제에서 구하는 확률을 $P_{n}$이라 하자. 그러면 $P_{2}={\frac {2}{3}}$ 임은 자명하다. $n\geq 3$일 때의 확률을 구하자.

$n\;(n\geq 3)$ 명의 사람이 가위바위보를 한 번 할 때, 승패가 결정되거나, 또는 결정되지 않는다. 또, 승패가 결정되는 경우는 사람들이 가위, 바위, 보 중에서 두 종류만 냈을 때이고, 승패가 결정되지 않는 경우는 모든 사람이 같은 종류를 내거나 세 종류가 모두 나왔을 때이다. 이때 한 명의 사람이 추가되어, 가위, 바위, 보 중의 하나를 낸다고 하자. 그러면 $n$ 명의 사람의 승부가 결정되었을 때에는 이미 나온 두 종류 중의 하나를 내어야 승부가 결정된다. 또 승부가 결정되지 않았을 때, 가위, 바위, 보가 모두 나온 경우는 추가된 사람이 아무 것이나 내어도 여전히 승부가 결정이 안 되고, 세 종류 중 하나만 나온 경우는 추가된 사람이 그 하나를 제외한 두 종류를 내면 승부가 결정된다. 따라서 $P_{n}$의 점화식은

$P_{n+1}={\frac {2}{3}}P_{n}+{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3^{n-1}}}$

이다. 양변에 $3^{n+1}$을 곱하면

$3^{n+1}P_{n+1}=2\cdot 3^{n}P_{n}+6$

이 된다. 이때 $Q_{n}=3^{n}P_{n}$로 두면

$Q_{n+1}=2Q_{n}+6$

가 된다. 양변에 6을 더한 다음 정리하면

$Q_{n+1}+6=2(Q_{n}+6)$

이므로 $\{Q_{n}+6\}$은 공비가 2이고 첫째항이 $27\cdot {\frac {2}{3}}+6=24$인 등비수열이다. 따라서

$Q_{n}+6=24\cdot 2^{n-3}=3\cdot 2^{n}$

이다. 따라서

$3^{n}P_{n}=3\cdot 2^{n}-6$

이고 정리하면 원하는 결론을 얻는다.

답

$P_{n}={\begin{cases}{\frac {2}{3}}&(n=2)\\{\frac {3\cdot 2^{n}-6}{3^{n}}}&(n\geq 3)\end{cases}}$