User:Hwangjy9/일변수함수의 미분 공식 증명

다음 공식들은 고등학교 수학 Ⅱ 과정에서 배우게 되는 미분 공식들을 모아놓은 것입니다.

다항함수의 미분

• $(x^{n})'=nx^{n-1}$ (단, n은 자연수)

증명

• $(x^{n})'=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h-x)((x+h)^{n-1}+x(x+h)^{n-2}+\cdots +x^{n-2}(x+h)+x^{n-1})}{h}}=nx^{n-1}$

삼각함수의 미분

• $(\sin x)'=\cos x$
• $(\cos x)'=-\sin x$

증명

• $(\sin x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2\cos(x+{\frac {h}{2}})\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=\cos x$
• $(\cos x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-2\sin(x+{\frac {h}{2}})\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=-\sin x$

지수함수의 미분

• $(e^{x})'=e^{x}$
• $(a^{x})'=a^{x}\cdot \ln a$

증명

• $(e^{x})'=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x}(e^{h}-1)}{h}}=e^{x}$
• $(a^{x})'=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\cdot \ln a$

로그함수의 미분

• $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$
• $(\log x)'={\frac {1}{x\ln a}}$

증명

• $(\ln x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+{\frac {h}{x}})}{{\frac {h}{x}}\cdot x}}={\frac {1}{x}}$
• $(\log x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\log(x+h)-\log x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\log(1+{\frac {h}{x}})}{{\frac {h}{x}}\cdot x}}={\frac {1}{x\ln a}}$