User:Hwangjy9/제1종 체비쇼프 다항식

Template:위키백과잇기 제1종 체비쇼프 다항식은 코사인의 n배각 공식과 관련되어 있기 때문에 고등학교 심화 강의로 다뤄볼 만 합니다.

정의

제1종 체비쇼프 다항식은 다음 점화식으로 정의된다.

$T_{0}(x)=1,T_{1}(x)=x,T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)$

공식

제1종 체비쇼프 다항식과 관련하여 다음과 같은 공식이 성립한다.

• (정리 1) $T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}$
• (정리 2) $T_{n}(\cos \theta )=\cos n\theta$

증명

두 성질은 모두 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.

정리 1의 증명

n=1일 때 $T_{2}(x)=2xT_{1}(x)-T_{0}(x)=2x^{2}-1$이므로

$T_{1}(x)^{2}-T_{0}(x)T_{2}(x)=x^{2}-(2x^{2}-1)=1-x^{2}$

이다.

n=k일 때 등식이 성립한다고 가정하자.

n=k+1일 때

정리 2의 증명

n=1일 때 $T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta$ 이므로 식이 성립한다.

n=k일 때 등식이 성립한다고 가정하자.

이때, 정리 1에 의해

$\{T_{n+1}(x)\}^{2}-T_{n}(x)T_{n+2}(x)=1-x^{2}$

가 됨을 안다. 이때 $T_{n}$의 점화식에 의해

$\{T_{n+1}(x)\}^{2}-T_{n}(x)(2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x))=1-x^{2}$

이고, $x=\cos \theta$를 대입하면

$\{T_{n+1}(\cos \theta )\}^{2}-(2\cos \theta \cos n\theta )T_{n+1}(\cos \theta )+\cos ^{2}n\theta +\cos ^{2}\theta -1=0$

가 된다. 그러면 근의 공식에 의해

$T_{n+1}(\cos \theta )=\cos \theta \cos n\theta \pm {\sqrt {\cos ^{2}\theta \cos ^{2}n\theta -(\cos ^{2}n\theta +\cos ^{2}\theta -1)}}=\cos \theta \cos n\theta \pm |\sin \theta \sin n\theta |$

가 된다. 따라서 $T_{n+1}(\cos \theta )=\cos(n+1)\theta$ 또는 $T_{n+1}(\cos \theta )=\cos(n-1)\theta$이다. 이때 $T_{n+1}(\cos \theta )=\cos(n-1)\theta$라 가정하자.