Trong lượng giác , định lý sin (hay định luật sin , công thức sin ) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\!}
trong đó a , b , c là chiều dài các cạnh, và A , B , C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo :
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}.\!}
Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°
Theo định lý sin ta có
sin
A
20
=
sin
40
∘
24
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.}
A
=
arcsin
(
20
sin
40
∘
24
)
≈
32.39
∘
.
{\displaystyle A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}
Một ví dụ khác:
Nếu hai cạnh của một tam giác có chiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:
∠
A
=
∠
B
=
180
∘
−
∠
C
2
=
90
−
∠
C
2
{\displaystyle \angle A=\angle B={\frac {180^{\circ }-\angle C}{2}}=90-{\frac {\angle C}{2}}\!}
và
R
sin
A
=
c
sin
C
v
R
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle {R \over \sin A}={{\mbox{c}} \over \sin C}{\text{ v }}{R \over \sin B}={{\mbox{c}} \over \sin C}\,\!}
c
sin
A
sin
C
=
R
v
c
sin
B
sin
C
=
R
.
{\displaystyle {{\mbox{c}}\,\sin A \over \sin C}=R{\text{ v }}{{\mbox{c}}\,\sin B \over \sin C}=R.\!}
