ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ ІГОР

ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ ІГОР

В роботі наведено результати дослідження застосування теорії ігор в оподаткуванні як можливість виявлення узгодження суспільних, в особі держави, та приватних, в особі платників податків, інтересів.

Постановка проблеми.

Теорія ігор - розділ прикладної математики, за допомогою якого вчені моделюють поведінку декількох суб'єктів, коли критерій прийняття рішення кожного залежить від рішень, прийнятих іншими. Найважливіший факт полягає в тому, що рішення ігрової задачі часто відрізняється від рішення оптимізаційної задачі: Як математична дисципліна, теорія ігор зародилась одночасно з теорією ймовірностей в 17 столітті, але протягом майже 300 років практично не розвивалась. Першою істотною роботою з теорії ігор слід вважати статтю Дж. фон Неймана «До теорії стратегічних ігор» (1928), а з виходом в світ монографії американських математиків Дж. фон Неймана та О. Моргенштерна «Теорія ігор і економічна поведінка» (1944), теорія ігор сформувалась як самостійна математична дисципліна. На відміну від інших галузей математики, які мають переважно фізичне, або фізико-технологічне походження, теорія ігор із самого початку свого розвитку була направлена на розв'язання задач, які виникають в економіці (а саме в конкурентній економіці). Існує кілька способів класифікувати ігрові задачі. Різниця між статичними і динамічними іграми обумовлено можливістю гравців спостерігати за діями один одного і реагувати на них. У статичних іграх гравці приймають рішення одночасно; прийняті рішення не підлягають перегляду. У динамічних іграх існує більш складний порядок ходів.

Надалі, ідеї, методи і результати теорії ігор почали застосовувати в інших галузях знань, які мають справу з конфліктами: в військовій справі, в питаннях моралі, при вивченні масової поведінки індивідів, які мають різні інтереси (наприклад, в питаннях міграції населення, або при розгляді біологічної боротьби за існування). Теоретико-ігрові методи прийняття оптимальних рішень в умовах невизначеності можуть мати широке застосування в медицині, в економічному і соціальному плануванні і прогнозуванні, в ряді питань науки та техніки. Іноді теорію ігор відносять до математичного апарату кібернетики, або теорії дослідження операцій.

Тео́рія і́гор — теорія математичних моделей прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту. Оскільки сторони, що беруть участь в більшості конфліктів, зацікавлені в тому, щоб приховати від супротивника власні наміри, прийняття рішень в умовах конфлікту, зазвичай, відбувається в умовах невизначеності. Навпаки, фактор невизначеності можна інтерпретувати як противника суб'єкта, який приймає рішення (тим самим прийняття рішень в умовах невизначеності можна розуміти як прийняття рішень в умовах конфлікту). Зокрема, багато тверджень математичної статистики природним чином формулюються як теоретико-ігрові.

Теорія ігор — розділ прикладної математики, точніше — дослідження операцій, який використовується в соціальних науках (найбільше в економіці), біології, політичних науках, комп'ютерних науках (головним чином для штучного інтелекту) і філософії. Теорія ігор намагається математично зафіксувати поведінку в стратегічних ситуаціях, в яких успіх суб'єкта, що робить вибір, залежить від вибору інших учасників. Якщо спочатку розвивався аналіз ігор, в яких один із супротивників виграє за рахунок інших (ігри з нульовою сумою), то згодом почали розглядати широкий клас взаємодій, які були класифіковані за певними критеріями. Сьогодні «теорія ігор щось на кшталт парасольки чи універсальної теорії для раціональної сторони соціальних наук, де соціальні можемо розуміти широко, включаючи як людських, так нелюдських гравців (комп'ютери, тварини, рослини)» (Роберт Ауманн, 1987).

Ця галузь математики отримала певне відображення в масовій культурі. 1998 року американська письменниця і журналістка Сильвія Назар опублікувала книгу[1] про життя Джона Неша, нобелівського лауреата з економіки за досягнення в теорії ігор, а в 2001 року за мотивами книжки зняли фільм «Ігри розуму». (Таким чином, теорія ігор — одна з небагатьох галузей математики, в якій можна отримати Нобелівську премію). Деякі американські телевізійні шоу, наприклад , Friend or Foe?, Alias чи NUMBERS періодично використовують у своїх випусках теорію ігор. Гра називається кооперативною, якщо гравці можуть об'єднуватися в групи, взявши на себе деякі зобов'язання перед іншими гравцями і координуючи свої дії. Цим вона відрізняється від некооперативних ігор, в яких кожен зобов'язаний грати за себе. Некооперативні ігри описують ситуації в найменших подробицях і видають точніші результати. Кооперативні розглядають процес гри в цілому. Гібридні ігри включають елементи кооперативних та некооперативних ігор. Наприклад, гравці можуть створювати групи, але гра буде проводитись в некооперативному стилі. Це означає, що кожен гравець буде переслідувати інтереси своєї групи, разом з тим досягти особистої вигоди.

Оподаткування, як сфера взаємодії суспільних і приватних інтересів представляє собою багатогранний процес зі складним механізмом управління. Складність процесу оподаткування обумовлена саме антагоністичними інтересами учасників суб’єктів податкових відносин – суспільства в особі держави як його уповноваженого інституту і платників податків. З одного боку, зростання державних витрат вимагає найбільшою мірою усуспільнення фінансових ресурсів країни через податки, з іншого – податковий тягар має верхню межу, що визначається фінансовими можливостями платника податків. Тому будь-які зміни в податковому законодавстві так чи інакше зводяться до вирішення проблеми взаємодії держави і платника податків. Дослідження антагоністичних інтересів та можливість їх узгодження – запорука сталого розвитку податкової системи та держави в цілому.

Аналіз джерел.

Гра буде симетричною тоді, коли відповідні стратегії у гравців будуть рівними, тобто вони матимуть однакові платежі. Інакше кажучи, якщо гравці поміняються місцями і при цьому їх виграші за ті ж самі ходи не зміняться. Логічною основою теорії ігор є формалізація трьох понять, які входять в її визначення і є фундаментальними для всієї теорії:Конфлікт;Прийняття рішення в конфлікті;Оптимальність прийнятого рішення.

Ці поняття розглядаються в теорії ігор у найширшому сенсі. Їхні формалізації відповідають змістовним уявленням про відповідні об'єкти. Змістовно, конфліктом можна вважати будь-яке явище, відносно якого можна казати про його учасників, про їхні дії, про результати явищ, до яких призводять ці дії, про сторони, які так чи інакше зацікавлені в таких наслідках, і про сутність цієї зацікавленості. Якщо назвати учасників конфлікту коаліціями дії (позначивши їхню множину як ℜD, можливі дії кожної із коаліцій дії — її стратегіями (множина всіх стратегій коаліції дії K позначається як S), результати конфлікту — ситуаціями (множина всіх ситуацій позначається як S; вважається, що кожна ситуація складається внаслідок вибору кожної із коаліцій дії деякої своєї стратегії Ігри з нульовою сумою — це особливий різновид ігор з постійною сумою, тобто таких, де гравці не можуть збільшити або зменшити ресурси або фонд гри, що в них є. Прикладом є гра покер, де один виграє всі ставки інших. В іграх з ненульовою сумою виграш якогось гравця не обов'язково означає програш іншого, і навпаки. Результат такої гри може бути як менше, так і більше нуля. В паралельних іграх гравці ходять одночасно, або вони не знають про ходи інших гравців, поки всі не зроблять свій хід. В послідовних іграх гравці можуть робити ходи в напередодні визначеному порядку, але при цьому вони отримують деяку інформацію про ходи інших. Ця інформація може бути неповною, наприклад, гравець може дізнатися, що його опонент із десяти стратегій точно не вибрав п'яту, нічого не знаючи про інші. У грі з повною інформацією (шахи, «хрестики-нулики») гравці знають всі ходи, зроблені до поточного моменту, а також можливі стратегії противників, що дозволяє їм деякою мірою передбачити подальший плин гри. Більшість ігор, які вивчає математика, є іграми з неповною інформацією. Ігри в реальному світі або ті, що вивчаються економікою, як правило, тривають в скінченну кількість ходів. Математика не так обмежена, зокрема, в теорії множин розглядаються ігри, які можуть продовжуватись нескінченно довго. При чому переможець та його виграш не визначені до завершення всіх ходів. Задача, яка зазвичай ставиться в цьому випадку, полягає не в пошуці оптимального рішення, а в пошуці хоча б виграшної стратегії. Використовуючи аксіому вибору, можна довести, що інколи навіть для ігор з повною інформацією і двома результатами — виграв або не виграв — жоден з гравців не має такої стратегії. Існування виграшних стратегій для деяких особливо сконструйованих ігор має важливу роль в дескриптивній теорії множин. Більшість ігор — дискретні: в них скінчена кількість гравців, ходів, подій, результатів і т. д. Проте ці компоненти можуть бути розширеними на множину дійсних чисел. Такі ігри часто називаються диференціальними. Вони пов'язані з прямою дійсних чисел, хоча події, що відбуваються, можуть бути дискретними по своїй природі. Розв'язок диференціальних рівнянь із частковими похідними щодо в'язкості — це математична концепція, яка не існувала до 1980-х років і пропонує унікальну лінію міркувань щодо розв'язку рівняння Гамільтона-Якобі-Айзекса. Зараз добре відомо, що ця концепція актуальна для міркувань про оптимальне управління та проблеми теорії ігор.

В квітні 2023 року, в журналі «IEEE Transactions on Automatic Control», було повідомлено, що впродовж багатьох років Деян Мілутінович, професор електротехніки та комп'ютерної інженерії Каліфорнійського університету в Санта-Крузі (UCSC, University of California Santa Cruz), співпрацював із колегами-дослідниками у складній підгрупі теорії ігор, відомої як диференціальні ігри. Це поле стосувалося гравців у русі. Серед цих ігор є гра переслідування стіни, яка пропонує відносно нескладну структуру для сценарію, коли швидший переслідувач прагне захопити повільнішого втікача, який обмежений рухом уздовж стіни. Оскільки ця гра була вперше описана майже 60 років тому, у грі виникла дилема — набір позицій, для яких вважалося, що оптимального рішення гри не існує. Але тепер Мілутінович і його колеги довели, що цієї давньої дилеми насправді не існує, і запровадили новий метод аналізу, який доводить, що завжди існує детерміноване рішення стіни. Це відкриття дало можливість вирішувати інші схожі проблеми, які існують у сфері диференціальних ігор, і дозволяє краще міркувати про автономні системи, такі як безпілотні транспортні засоби. Вчені зацікавлені в дослідженні інших проблем теорії ігор із сингулярними поверхнями.

Теорія ігор широко використовує різноманітні математичні методи й результати теорії ймовірностей, класичного аналізу, функціонального аналізу (особливо важливими є теореми про нерухомі точки), комбінаторної топології, теорії диференціальних та інтегральних рівнянь та інші. Специфіка теорії ігор сприяє розробці різноманітних математичних напрямів (наприклад, теорія опуклих множин, лінійне програмування і так далі).

Прийняттям рішення в теорії ігор вважається вибір коаліцією дії, або, зокрема, вибір гравцем деякої своєї стратегії. Цей вибір можна уявити собі у вигляді одноразової дії та зводити формально до вибору елемента із множини. Ігри з таким розумінням вибору стратегій називаються іграми в нормальній формі. Їм протиставляються динамічні ігри, в яких вибір стратегії є процесом, який відбувається протягом деякого часу, який супроводжується розширенням і звуженням можливостей, отриманням та втратою інформації про поточний стан справ і тому подібне. Формально, стратегією в такій грі є функція, визначена на множині всіх інформаційних станів суб'єкта, який приймає рішення. Некритичне використання «свободи вибору» стратегій може призводити до парадоксальних явищ.

Оптимальність та розв'язки

Питання про формалізацію поняття оптимальності є досить складним. Єдине уявлення про оптимальність в теорії ігор відсутнє, тому доводиться розглядати декілька принципів оптимальності. Область можливості застосування кожного із принципів оптимальності, які використовуються в теорії ігор, обмежується порівняно вузькими класами ігор, або ж стосується обмежених аспектів їхнього розгляду.

В основі кожного із цих принципів лежать деякі інтуїтивні уявлення про оптимум, як про щось «стійке», або «справедливе». Формалізація цих уявлень дає вимоги, які висуваються до оптимуму і які мають характер аксіом. Серед цих вимог можуть опинитись такі, які суперечать одна одній (наприклад, можна показати конфлікти, в яких сторони вимушені задовольнитись малими виграшами, оскільки великих виграшів можна досягти лише в умовах невизначених ситуацій); тому в теорії ігор не може бути сформульований єдиний принцип оптимальності.

Ситуації (або множини ситуацій), які задовольняють в деякій грі ті або інші вимоги оптимальності, називаються розв'язками цієї гри. Так як уявлення про оптимальність не є однозначними, можна говорити про розв'язки ігор в різних сенсах. Створення визначень розв'язків ігор, доведення їхнього існування і розробка шляхів їхнього фактичного пошуку — три основні питання сучасної теорії ігор. Близькими до них є питання про одиничність розв'язків ігор, про існування в тих чи інших класах ігор розв'язків, які мають деякі наперед визначені властивості.

Дослідженням інтересів економічних агентів, їх ролі в суспільстві та їх взаємодії досліджувалися в роботах таких видатних вчених як Г. Гегель, І. Кант, А. Сміта, П. А. Гольбах, Дж. С. Мілль, Н. Маккіавелі, Т. Гоббс, Дж. Локк, Р. Коуз, А. Лернер, А. Пігу. Багато уваги вивченню взаємодії суспільних і приватних інтересів приділяють сучасні дослідники – Л. Абалкін, В. Агеєв, В. Вернадський, Б. Гершкович, Р. Євстігнєєв, А. Здравомислов, Г. Зінченко, В. Радаєв, та інші. Вітчизняні ж науковці пішли далі у вивченні взаємовідносин між суспільними і приватними інтересами. Якщо науковці-основоположники досліджували антагонізм інтересів економічних агентів, то науковці сучасники приділяють увагу можливості та шляхи узгодження суспільних і приватних інтересів. Так А.Данілов і Т.Паєнтко [1-4] розглядають оподаткування як сферу взаємовідносин суспільних та приватних інтересів в якості гри з можливістю досягнення узгодженого рішення. Для досягнення узгодженості науковцями пропонується використати теорію ігор. Використання теорії ігор з метою аналізу взаємовідносин держави, як уповноваженого інституту суспільних відносин і суб’єктів господарювання дозволяє виявити їх нові якості як гравців і властиві їх взаємовідносинам тенденції. Взаємовідносини держави та бізнесу - це свого роду різні види ігор, які здійснюються ними в різних сферах взаємодії: сфері виробництва, обігу, в реальному і монетарному секторах економіки, в галузях і на рівнях господарювання, на національних і світових ринках. В світовій практиці застосування теорії ігор до економічних ситуацій, в яких прийняття господарських рішень здійснюється в умовах невизначеності, вивчали Фон Нейман Дж, О. Моргенштерн [2-4], Д. Норт, Дж. Стиглиц, О. Уильямсон, Дж.Неш та багато інших науковців. За словами А.Шиян, теорія ігор застосовується в економіці не тільки до моделювання задач організації промисловості, але і взагалі практично до кожного завдання. Так, сьогодні на мікрорівні – це математичні моделі торгів і аукціонів, виробнича поведінка фірм тощо, а на макрорівні – моделі конкуренції країн і торгова політика держав, монетарна політика [3-5], податкові відносини. У вітчизняній практиці дослідження прикладного характеру методології проблем податкових відносин носять поодинокий характер (А.Шиян, Ю. Іванов, І. Майбуров [4-9], А. Чухно [5-8]) і залишають широке поле для дослідження.

Виклад основного матеріалу.

Податкові відносини представляють собою активну, динамічну систему, яка змінюється в часі. Учасниками цієї системи висувають активні агенти, які мають власні інтереси, здатність до формулювання цілей та вибору способу їх досягнення, виходячи з відповідних обставин та наявних ресурсів. Тобто, агент веде себе стратегічно: може навмисне передавати спотворену інформацію іншим агентам, ухилятися від виконання певних небажаних дій, пропонувати іншим агентам компенсацію за виконання вигідних для нього стратегій. Одній грі можуть бути притаманні декілька ознак. Наприклад, одна гра може бути послідовною, з повною інформацією, нескінченною кількістю кроків і бути дискретною. Так само і одну й ту ж саму соціально-економічну задачу часто можна представити у вигляді різних ігор. Задачею дослідника у цьому випадку є перш за все обґрунтування форми представлення гри, а вже потім концепції її рішення. Для формулювання завдання в ігровій постановці необхідно послідовно розробити і реалізувати наступні етапи:

1. Визначити учасників гри і їх стратегій. На цьому етапі аналізується умова задачі (наприклад, оптимізація оподаткування), виділяються учасники гри, і розкривається суть взаємин між ними (конфліктів або взаємного партнерства, співпраці). Визначення стратегій гравців вважається в теорії ігор процесом багато в чому неформальним. Для виділення стратегій кожного гравця необхідно знати його кінцеві цілі і способи їх досягнення. Якщо мова йде про конфлікти гравців (антагоністичні гри), то мети їх протилежні і виграш одного означає програш іншого, тобто це матричні гри з нульовою сумою.

2. Визначення виграшів гравців при використанні кожної стратегії. Тут важливим є те, що виграші (платежі) мають кількісне вираження і є показниками ступеня досягнення цілей відповідного гравця. Розміри виграшів визначаються при поєднанні різних стратегій гравців. Як приклад розглядаються взаємини держави і платників податків при виборі оптимального варіанту оподаткування.

3. Подання матриці виграшів (платежів) в нормальній формі. Подання здійснюється шляхом внесення знайдених значень виграшів (платежів) в матрицю.

Аналізуючи можливість застосування теорії ігор в оподаткування, потрібно дослідити, яка саме форма гри підходить для аналізу впливу зміни ставки певного податку. Держава являється монополістом державних послуг і зацікавлена в збільшенні прибутку. Платники податків – зацікавлені в отриманні державних послуг і, в більшості своїй, не можуть від них відмовитися. При цьому платники податків схильні до економії, збільшення своїх прибутків та зменшення або ухилення від оподаткування. Аналогічно обґрунтуємо форму представлення гри для розрахунку податкового тягаря та моделювання поведінки платника податку. По відношенню до держави платник податку заходиться в полі неповної інформації. Це не кооперативна гра, так як мова йде про розрахунок для конкретного платника податку. Це не симетрична гра, так як гравці виконують різні дії. Це гра, на відміну від попередньої, не з нульовою сумою, тому що весь виграш може пропасти. Це паралельна гра, платник податку не обізнаний про вибір держави до тих пір, поки вона не зробить свій хід. Це гра з неповною інформацією, так як платник податків не володіє повною інформацію про дії держави та не може на них вплинути. Це гра з не нескінченною кількістю кроків. Це дискретна гра, тому що число дій обмежено. Результатом кожного розрахунку є знаходження сідлової точки. Тобто, якщо верхня і нижня ціна гри однакова, то вважається, що матрична гра має сідлову точку. Вірно і зворотне твердження: якщо матрична гра має сідлову точку, то верхня і нижня ціни матричної гри однакові. Відповідний елемент одночасно є найменшим в рядку і найбільшим в стовпчику і дорівнює ціні гри. Наявність або відсутність сідлової точки дає підстави робити висновки про узгодження суспільних і приватних інтересів. Висновки/ Сучасний стан розвитку суспільних і економічних відносин потребує узгодження інтересів економічних агентів. Застосування теорії ігор в моделюванні економічних процесів і, зокрема, в податкових відносинах дає можливість оцінити тенденції і напрямки розвитку гармонізації суспільних і приватних інтересів, що є запорукою сталого розвитку держави.

Література

1. Данілов А.Д., Паєнтко Т.В. Теорія ігор в методології дослідження // Бізнесінформ. – 2011. - № 7(2). С.126-128

2. Шиян А.А. Теорія ігор: основи та застосування в економіці та менеджменті /А.А. Шиян // Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 2009. – 164 с.

3. J.C.C. McKinsey. To the theory of games. – The RAND Corporation, NY, 1952. 2. J. Osborne, A. Rubinstein. A Course in Game Theory. – The MIT Press, Cambridge, Massachusetts; London, England, 1994.

4. V. Mazalov. Mathematical Game Theory and Applications. – John Wiley & Sons Ltd, UK, 2014.

5. R. Isaacs. Differential Games. – Dover Publications, NY, 1999.

6. Chikrii A.A. Conflict-Controlled Processes. – Springer Science & Business Media, 2013. 6. R. Gibbons. Game theory for applied economists. – Princeton Univ. Press, 1992.

7. H. Moulen. Game Theory for the Social Sciences, NYU Press, 1986.

8. Барановська Л.В., Медведєв М.Г. Ігрові методи моделювання економічних систем. Навч.посібник. – К.: Вид-во Європ.ун-ту, 2002. – 116 с.

9. Akerlof, George A. "The market for “lemons”: Quality uncertainty and the market mechanism." Uncertainty in Economics. 1978. 235-251.

Для студентів старших років навчання. Основною метою є ознайомлення студентів з основами проведення наукових досліджень. Огірко І.В.