Математичне операторне програмування

Математичне операторне програмування

Запропоновано нові модифікації ітераційно-різницевих методів для розв’язування нелінійних рівнянь. На багатьох тестових задачах виконано числове дослідження цих модифікацій і відомих базових методів та зроблено порівняння отриманих результатів.

Ключові слова: нелінійне рівняння, ітераційно-різницевий метод, поділена різниця, ітерація, порядок збіжності.

Широко використовують ітераційно-різницеві методи. Перевагою цих методів є те, що в їхніх ітераційних формулах використовують тільки значення нелінійного оператора і не потрібно аналітично заданих похідних. Тому їх можна використати і для тих задач, для яких нелегко або й неможливо отримати похідні аналітично. Найпростішим методом такого типу є метод хорд. Дослідженню цього методу присвячено багато праць [2, 5, 6, 8, 12]. Метод хорд збігається до розв’язку зі швидкістю з порядком 1.618.... В. А. Курчатов запропонував метод лінійної інтерполяції і визначив його квадратичну швидкість збіжності. Обидва методи мають в ітераційних формулах значення оператора з двох попередніх ітерацій і, відповідно, потребують двох початкових наближень. Ф. А. Потра [5-9] досліджував різницевий метод з порядком збіжності 1.839..., у якому використовують значення оператора з трьох попередніх ітерацій, а, отже, потрібне задання трьох початкових наближень. У працях [1, 6, 13, 15] досліджено різницевий метод з порядком збіжності 1+ 2 , який також потребує двох початкових наближень. Усі згадані методи автори досліджували з різних підходів. Ми вивчили ці методи з єдиного погляду [8, 9, 13, 14] за схемою Ф.А. Потра [1-1], причому за слабших вимог до гладкості нелінійного оператора рівняння. Це дало нам змогу порівняти всі згадані методи за швидкістю збіжності та за областю збіжності (радіусом збіжності). Водночас числові експерименти свідчать, що нема універсального методу розв’язування нелінійних задач. Тому потреба у побудові нових, ефективніших у певному сенсі методів (зокрема, за кількістю обчислень, за кількістю ітерацій) не зникає. Нижче запропоновано нові методи для розв’язування нелінійних рівнянь і на низці відомих тестових задач виконано числове дослідження цих методів та відомих методів аналогічного класу.

Актуальнiсть теми.

Iз розвитком обчислювальної технiки виник новий напрям наукових дослiджень — комп’ютерне математичне моделювання, що передбачає побудову моделей дослiджуваного об’єкта та проведення серiй обчислювальних експерементiв. Бiльшiсть задач занадто складнi для отримання точних розв’язкiв, тому актуальною є розробка наближених методiв. Значний внесок у розвиток iтерацiйних методiв розв’язання операторних рiвнянь та оптимiзацiйних задач зробили вiтчизнянi вченi М. Я. Бартiш, Ю. М. Данилiн, Ю. М. Єрмольєв, Б. М. Пшеничний, П. I. Стецюк, С. М. Шахно, Н. З. Шор та iн. Варiацiйнi нерiвностi з монотонними операторами є максимально загальним класом задач з опуклою структурою. У цьому виглядi можна сформулювати задачi математичного операторного програмування. Є задачі математичного моделювання, лінійного та нелінійного програмування, варіаційного числення, чисельного диференціювання, теорії похибок, задач розв’язку операторних рівнянь. За останнi 50 рокiв теорiя варiацiйних нерiвностей сформувалася в потужний iнструмент прикладної математики, що дозволяє з єдиних позицiй вивчати багато проблем. Розробкою методiв дослiдження варiацiйних нерiвностей та методiв для їх розв’язання займалось багато вiдомих вчених (А. С. Антiпiн, А. Б. Бакушинський, Є. Г. Гольштейн, Ю. М. Данилiн, I. В. Коннов, Г. М. Корпелевич, А. С. Немировський, Ю. Є. Нестеров, Є. О. Нурмiнський, Л. Д. Попов, Б. М. Пшеничний, H. Brezis, F. Browder, R. E. Bruck, S. Dafermos, J. L. Lions, A. Nagurney, P. T. Harker, J.-S. Pang, G. B. Passty, R. T. Rockafellar, M. V. Solodov, W. Takahashi, P. Tseng, I. Yamada та iн.). Найбiльш популярними методами розв’язання варiацiйних нерiвностей є метод, запропонований Г. М. Корпелевич в 1970-х роках, та його модифiкацiї. Останнiм часом пожвавилася дослiдницька активнiсть, пов’язана з пiдвищенням ефективностi та унiверсальностi методiв (Ю. В. Малiцький, М. В. Меленьчук, А. С. Немировський, Ю. Є. Нестеров, В. В. Семенов, Y. Censor, A. Gibali, A. Iusem, S. Reich, M. V. Solodov, B. Svaiter та iн.). Задачi програмування є популярним роздiлом сучасного прикладного нелiнiйного аналiзу. Формулювання задачi було наведено ще в роботах Х. Нiкайдо та К. Iсоди, виконаних в 1950-х роках. Прiорiтетнi результати, повязанi з iтерацiйними методами програмування, належать А. С. Антiпiну.

Диференціальні рівняння в частинних похідних мають широке застосування в математичній фізиці, гідродинаміці, акустиці, техніці та інших галузях знань. Під час математичного моделювання стаціонарних процесів різної фізичної природи, серед яких можна назвати стаціонарний розподіл тепла, дифузію, електростатичні та електромагнітні явища, деформаційні процеси, часто виникає необхідність у розв'язанні крайових задач для еліптичних диференціальних рівнянь [1-3]. Задача розв’язання таких рівнянь у своїй більшості складніша порівняно із звичайними диференціальними рівняннями. Крім того, складність їх розв’язання породжена великою різноманітністю в постановці початкових та крайових умов, а також вимірністю задач. Тому серед таких рівнянь лише в окремих випадках вдається отримати точні розв’язки. Для розв'язання цих задач застосовуються різні наближені методи, серед яких вирізняють аналітичні та чисельні. Мета – створення та обґрунтування чисельних методів для розв’язування прямих і обернених еволюційних задач механіки та фізики на основі варіаційних, граничних інтегральних і нелінійних функціональних рівнянь, а також граничних статичних та динамічних задач теорії потенціалу в суттєво просторовій постановці. Важливi результати отриманi I. В. Конновим, P. L. Combettes, S. D. Flam, G. Mastroeni, A. Moudafi, J. J. Strodiot, W. Takahashi та iн.

Огірко Ігор Васильович у Львові захистив кандидатську дисертацію з математичних методів оптимізації та моделювання. Працював в Інституті прикладних проблем механіки та математики Академії наук України та Львівському державному університеті ім. Ів Франка. Також працював завідувачем відділу чисельних методів механіки. 1990 року в Казанському університеті захистив дисертацію. В роботі розробляв моделі нелінійної термопружності, використовував чисельні методи оптимізації. З 1992 р. професор завідувач кафедри прикладної математики Українського поліграфічного інституту ім. Ів. Федорова (зараз Українська академія друкарства). 15.05.1991 р. пройшов конкурс дійсного члена (академік) Академії інформатизації. за сукупністю наукових робіт за напрямком. Метод скінченних різниць є найбільш вживаним під час розв’язання крайових задач для еліптичних диференціальних рівнянь завдяки його універсальності та ефективності. Універсальність полягає у можливості застосування цього методу як для лінійних, так і для нелінійних крайових задач, для задач різної розмірності та з областями складної (неканонічної) форми.

Процес розв’язання диференціальних рівнянь скінченно-різницевим методом, як відомо, складається з таких етапів [1-18]: 1) заміна області неперервного змінювання аргументу областю дискретного його змінювання; 2) заміна диференціального оператора деяким різницевим оператором, а також формулювання різницевих аналогів для крайових і початкових умов; 3) перехід до системи різницевих (алгебраїчних) рівнянь; 4) розв’язання отриманої системи різницевих рівнянь. У роботах [4 - 5] викладені сучасні методи різницевого розв'язання задач математичної фізики та пов'язані з цим питання теорії різницевих схем. Під час дослідження цих питань для першої еліптичної крайової задачі з мішаними похідними докладніше розглянута монографія [3-9], що присвячена теорії різницевих схем для наближеного розв’язання диференціальних рівнянь в частинних похідних еліптичного типу. У ній викладаються різні методи побудови різницевих схем для типових задач математичної фізики. З 1999 по 2005рік — зав.кафедрою ПІ МАУП. З 2005 р. керівник міжнародного наукового семінару «Інформаційна енергометрія». Професор кафедри електронних видань Української академії друкарства. Викладає курси «Прикладна математика», «Інформатика для аспірантів», «Мережеві технології», «Управління проектами», «Моделювання та програмне забезпечення». Наукова діяльність Наукові напрямки досліджень;— нелінійні диференціальні рівняння термопружності та методи оптимізації.Кандидатська дисертація присвячена дослідженню термопружного стану оболонок з використанням чисельних математичних методів. Досліджувались оболонки та пластини з термочутливого матеріалу з врахуванням геометричної нелінійності.

В докторській дисертації досліджувався напружено-деформований стан конструкції під дією силових та температурних факторів. Розроблено метод операторного програмування [1-8]. Використовувались ітераційні та комп'ютерні методи розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь. Математичне операторне програмування — це прикладна математична дисципліна, яка досліджує екстремум функції (задачі пошуку максимуму або мінімуму) і розробляє методи їх розв'язання. Такі задачі ще називають оптимізаційними[1]. Класифікація галузей математичного програмування Залежно від виду цільової функції та системи обмежень, галузі математичного програмування поділяють на: Лінійне програмування – цільова функція і функції обмежень, що входять в систему обмежень є лінійними (рівняння першого порядку) Нелінійне програмування – цільова функція або одна із функцій обмежень, що входять в систему обмежень є нелінійними (рівняння вищих порядків)

Цілочисельне (дискретне) програмування — якщо на хоча б одну змінну накладена умова цілочисельності Динамічне програмування — якщо параметри цільової функції і/або система обмежень змінюються в часі або цільова функція має адитивний/мультиплікативний вигляд чи сам процес прийняття рішення має багатокроковий характер. Залежно чи відома вся інформація про процес заздалегідь, галузі математичного програмування поділяють на: Стохастичне програмування — відома не вся інформація про процес заздалегідь: параметри що входять в цільову функцію або в функцію обмежень є випадковими або доводиться приймати рішення в умовах ризику

Залежно від кількості цільових функцій, задачі поділяють на:

1. Однокритеріальні 2. Багатокритеріальні За властивостями системи обмежень і цільової функції задачі оптимізації класифікують наступним чином[3]: 1. Задачі безумовної оптимізації або задачі без обмежень — в них не накладаються обмеження на кількісні змінні. 2. Задачі умовної оптимізації або задачі з обмеженнями — в цих задачах на кількісні змінні накладаються обмеження. 3. Задачі оптимізації при неповних даних — в них функція цілі або система обмежень залежать від деякого параметру р (числового, векторного), значення якого повністю невизначено на момент розв'язання задачі.

Оператор— спеціальний символ, який повідомляє про те, що потрібно виконати операцію з деякими операндами. Зазвичай, мови програмування мають набір операторів, подібних до операторів у математиці: в певному розумінні, оператори є спеціальними функціями. Окрім арифметичних, оператори можуть виконувати операції на логічних значеннях, з рядками та перевірки рівності двох значень. На відміну від функцій, оператори є базовими діями мови програмування, їх позначення коротші та містять спеціальні символи. Під оператором розуміють операцію, оператор вказує на те, яку операцію потрібно здійснити. Цьому сприяли відмінності в термінології різних мов програмування. Функціональний аналіз - потужний засіб для вирішення математичний завдань, що виникають в реальних ситуаціях, він має безліч додатків в різних галузях математики, його методи проникають в суміжні технічні дисципліни.Багато задач математичної фізики, теорії пружності, гідродинаміки зводяться до відшукання рішення диференціального рівняння лінійного, що, у свою чергу, приводить до задачі відшукання рішення рівняння Аx = y з лінійним оператором А. Розглянуті два методи рішення операторних рівнянь. Розглянути основи теорії лінійних операторів і методи розв'язання операторних рівнянь, показати застосування цих методів до розв'язання задач.

Вивчивши наявний матеріал з даної теми, поставили наступні завдання: 1. розкрити деякі основи теорії лінійних операторів, необхідні для освоєння методів розв'язання операторних рівнянь; 2. проілюструвати на конкретних прикладах способи вирішення операторних рівнянь і дати пояснення по ходу вирішення конкретних завдань.

Так як виділення з функціонального аналізу його прикладної частини, яка містить конструктивні методи отримання рішень завдань, переслідує методичну мету - зробити ці методи доступніше тим, хто займається додатками математики. Робота розділена на два розділи, в першій містяться необхідні теоретичні обгрунтування способів вирішення операторних рівнянь і суть обох методів, а в другій - рішення конкретних завдань.

Операційне числення використовується при вивченні теоретичних основ електротехніки та радіотехніки, електроніки та теорії автоматичного регулювання, інших спеціальних дисциплін майбутніх електромеханіків, а також при дослідженнях в різних інженерно-технічних задачах.

Операційне (символічне) числення застосовується для розв’язку звичайних лінійних диференціальних рівнянь і рівнянь з частинними похідними, диференціально-різницевих та інтегральних рівнянь типу згортки, до яких зводяться задачі головним чином з перехідних процесів лінійних фізичних систем електротехніки, радіотехніки, імпульсної техніки, теорії автоматичного регулювання та інших галузей науки і техніки. Вчений у галузі теорії коливань та автоматичного керування показано, що операційне числення є азбукою сучасної автоматики та телемеханіки. В залежності від виду цільової функції та системи обмежень методи математичного програмування поділяють на: Лінійне програмування – цільова функція і функції обмежень, що входять в систему обмежень є лінійними (рівняння першого порядку) Нелінійне програмування – цільова функція або одна із функцій обмежень, що входять в систему обмежень є нелінійними (рівняння вищих порядків)

Цілочисельне(дискретне) програмування – якщо на хоча б одну змінну xi наложена умова цілочисельності Динамічне програмування – якщо параметри цільової функції і/або система обмежень змінюються в часі або цільова функція має адитивний/мультиплікативний вигляд чи сам процес прийняття рішення має багатокроковий характер. В залежності чи відома вся інформація про процес заздалегідь методи математичного програмування поділяють на:Стохастичне програмування – відома не вся інформація про процес заздалегідь: параметри що входять в цільову функцію або в функцію обмежень є випадковими або доводиться приймати рішення в умовах ризику.Детерміноване програмування – відома вся інформація про процес заздалегідь.В залежності від кількості цільових функцій задачі поділяють на:однокритеріальні та багатокритеріальні.

Функціональним рівнянням називають рівняння, що виражає зв'язок між значенням функції (або функцій) в одній точці з її значеннями в інших точках. Багато які з властивостей функцій можливо визначити, досліджуючи функціональні рівняння, яким ці функції задовольняють. Термін «функціональне рівняння» зазвичай використовують для рівнянь, що не зводяться простими способами до алгебраїчних рівнянь. Цю особливість найчастіше зумовлено тим, що аргументами невідомої функції у рівняннях є не самі невідомі змінні, а деякі відомі функції від них. Операційне або символічне числення є ефективним методом дослідження багатьох теоретичних і прикладних задач у різних областях науки і техніки, зокрема, фізики, математики, механіки, теорії автоматичного регулювання, електротехніки (дослідження перехідних режимів електричних ланцюгів), радіотехніки, телемеханіки та ін. Особливо значна його роль при розв’язанні лінійних диференціальних рівнянь (звичайних та у частинних похідних), інтегральних, інтегро-диференціальних та інших рівнянь.

Модель задачі математичного операторного програмування включає:

Сукупність невідомих величин (які потрібно знайти, для вирішення поставленої задачі). Впливаючи на ці невідомі величини систему можна вдосконалювати. Їх також називають планом задачі, вектором управління, стратегії, поведінка Цільова функція (функція цілі). Цільова функція дозволяє вибрати найкращий варіант з множини можливих. Найкращим варіантом є екстремум цільової функції. Цільова функція позначається Z=z(x). Приклад цільової функції: прибуток, об’єм випуску і реалізації, рівень обслуговування і дефіциту і т. д. Умови (обмеження), що накладаються на незалежні величини. Ці умови можуть бути матеріальні, фінансові, трудові, технічні, технологічні та інші. Математичні обмеження виражаються у вигляді рівнянь та нерівностей. Їх сукупність формує область допустимих значень.

ВИСНОВКИ

Математичне операторне програмування – область математики, що розробляє теорію і чисельні методи рішення багатовимірних граничних задач з обмеженнями. Це задачі на пошуки екстремумів функцій багатьох змінних з обмеженням на область варіювання цих змінних.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1.Бурак Я. І., Огірко І. В. Застосування методу нелінійної релаксації до оптимізації нагріву оболонок обертання / / Тез. докл. VІІ науч. конф. по застосуванню ЕОМ в механіці деформ. тв. тіла (Ташкент, 30 сент. — 2 жовтня. 1975 р.). — Ташкент, 1975. — Ч. ІІІ. — С.5.

2.Бурак Я. І., Огірко І. В. Про визначення термопружності стану оболонки екрану кінескоп з урахуванням температурної залежності характеристик матеріалу / / Якість, міцність, надійність і технологічність електровакуумних приладів. — Київ: Наук. думка, 1976. — С.59-62. 3.Бурак Я. І., Огірко І. В. Оптимальний нагрів циліндричної оболонки з залежними від температури характеристиками матеріалу / / Мат. методи і фіз.-мех. поля. — 1977. — Вип. 5. — С.26-30

4.Огірко І. В. Раціональний розподіл температури по поверхні термочуттєвого тіла … стор 332 / / Інженерно-фізичний журнал Том 47, Номер 2 (серпень, 1984) Оптимальне по напрузі температурне поле в локальній області гнучкої конструкції / / Інститут проблем міцності,, 1986, N2. — C.69-72.

5.Ogirko I.V., Irkha B.E. A study of the elastic deformations in a thermoelastic inhomogeneous solid of revolution / / Journal of Mathematical Sciences. Volume 79, Issue 6, 1996, Pages 1469—1471.

6.Ogirko I.V., Zapotochnyi V.I. The stress-strain state of screen photopolymer plates / / Soviet Materials Science 22 (6), 1987, pp. 640—643.

7.Ogirko I.V. Temperature field, optimum with regard to stresses, in a local region of a flexible structure / / Strength of Materials 18 (2), 1986, pp. 209—213.

8.Ogirko I.V. Stress-Optimal Temperature Field in the Local Region of a Flexible Structure / / Problemy Prochnosti (2), 1986, pp. 69-72

9.Білогурова Г. В., Самойленко М. І. Математичне програмування : Конспект лекцій (для студентів денної і заочної форми навчання освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр у галузі знань «Менеджмент»). — Х.: ХНАМГ, 2009. — 72 с.

10.Гончаренко Я. В. Математичне програмування — К.: НПУ імені М. П. Драгоманова, 2010. — 184 с.

11.Кононенко А. І., Храповицький І. С., Щелкунова Л. І. Математичне програмування: Тексти лекцій — Харків, ХДТУБА, 2010. — 114 с.

12.Наконечний С. І., Савіна С. С. Математичне програмування: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2003. — 452 с.

13.Математичне програмування : навч. посіб. / Г. Г. Цегелик ; Львів. нац. ун-т ім. Івана Франка. - Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2011. - 337 с. : рис., табл. - ISBN 978-966-613-875-3

14.Математичне програмування : Навч. посіб. / М. М. Глушик, І. М. Копич, О. С. Пенцак, В. М. Сороківський; Укоопспілка, Львів. комерц. акад. - Л. : Видавництво Львівської комерційної академії, 2004. - 238 с. - ISBN 966-8561-16-3

15.Математичне програмування: теорія та практикум : навч. посібн. / М. Л. Вдовин, Л. Г. Данилюк. – Львів : “Новий Світ-2000”, 2015. – 160 с. – ISBN 978‐966‐418‐100‐3

16.Баранецький Я.О. , Бушмакін В. П, Каленюк П.І. Гранична задача для диференціально-операторного рівняння з наростаючою кратністю спектра і двома операторами в граничних умовах. // Вісн. Нац. ун-ту «Львів. політехніка» ПМ. 1999. – 364. – С.232 – 238.

17.Баранецький Я.О., Баша А.А. Нелокальна багатоточкова задача для диференціально-операторних рівнянь порядку 2n. // Мат. методи та фіз. мех. поля, 2014. –57. –3. – С. 37– 44.

18.Баранецький Я.О. Крайова задача з нерегулярними умовами для диференцiально-операторних рiвнянь // Буковинський математичний журнал / Чернівецький нац. ун-т. – Чернівці, 2015. – Т. 3, № 3–4. –С. 33-40.

Для студентів старших років навчання та аспірантів . Основною метою є ознайомлення студентів з основами проведення наукових досліджень. Огірко І.В.