Теорія інтегралів та застосування

Теорія інтегралів та застосування

Подано основні періоди розвитку поняття інтеграл: від першого його застосування до сучасного стану. Вагомий внесок у розвиток інтегралу зробили Лейбніц, брати Бернуллі, Ейлер, Ньютон, Коші, Ріман, Лебег та їх послідовники Лузін, Хінчін та інші. Сучасний символ інтегралу був введений Лейбніцом в 1675 році, який був утворений з букви S – скорочення слова сума (від лат. summa). Сам термін «інтеграл» був запропонований Иоганом Бернуллі, учнем Лейбніца. Символ визначеного інтегралу вперше використав Жан Батіст Жозеф Фур’є, приблизно в 1819-1920 рр. В статті розглянуто особливості вивчення теорії інтеграла. Досліджено фактори, що впливають на вивчення матеріалу. Ключові слова: міра, інтеграл Лебега, математика, інтеграл, історія, Лейбніц, Ейлер, Коші, Ріман

Постановка проблеми.

Поняття інтеграла пронизує всю сучасну математику. В науках фізичного і технічного циклів знаходять застосування різні варіації інтеграла. Варто розкрити книгу, що відноситься до точних наук, як зустрінеться знак інтеграла і речення, складовою частиною яких буде слово «інтеграл». Більш того, останнім часом увійшли до ужитку такі терміни, як, наприклад, «інтегральна схема», «економічна інтеграція», які прямого відношення до інтеграла не мають, але смислове навантаження зберігають і знаходять широке розповсюдження в літературі і розмовній мові. У скарбниці науки є ідеї, які, виникнувши в старовині, розвиваючись і удосконалюючись, пройшли через віки і успішно служать людству зараз. До них безумовно слід віднести ідею інтеграла в математиці.

Аналіз досліджень і публікацій [1-130]

Початки інтегральних методів простежуються в працях Архімеда, що користувався ними при вирішенні багатьох геометричних завдань і доведенні теорем. У книгах з історії математики відповідні розділи так і називаються – «Інтегральні методи Архімеда». Вдосконалення методів Архімеда, створення інтегрального числення та його розвиток здійснювалися в роботах Кеплера, Кавальері, Торрічеллі. Паскаля, Ферма, Валліса, Роберваля, Барроу, Ньютона, Лейбніца, братів Якоба і Іоганна Бернуллі, Ейлера, Коші, Рімана,Огірко. У певний період свого розвитку математика підійшла до такого рубежу, коли назріла необхідність вирішення насущних завдань, пов'язаних з фундаментальними відкриттями. Одними і тими ж завданнями займалися часто багато математиків, і встановити пріоритет, вказати, хто перший зробив те або інше відкриття, скрутно. Актуальність даної теми зумовлена тим, що тільки глибоке дослідження історичного розвитку теми уможливлює її найкраще осмислення, усвідомлення [1-6]. Метою статті стало визначення основних періодів інтенсивного розвитку, визначення вчених, чий вклад у розвиток інтегрального числення приніс потужні результати. У процесі досягнення мети ми розв’язували такі завдання: дослідження та аналіз джерел інформації; визначення вчених, які досліджували та розвивали цю сферу математики; визначення основних періодів розвитку поняття інтеграл. Інтегрування простежується ще в давньому Єгипті, приблизно в 1800 році до н. е., математичний папірус демонструє знання формули об'єму зрізаної піраміди. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н. э.), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомі. Архімед удосконалив метод вичерпання Евдокса і успішно користувався ним при доведенні багатьох теорем. За допомогою методу вичерпання Архімед оримав, наприклад, такі найважливіші результати: площа сегменту параболи рівна 4/3 площі вписаного в нього трикутника; об'єм кулі рівний збільшеному учетверо об'єму конуса, у якого основою служить великий круг кулі, а висотою його радіус; площа поверхні кулі рівна збільшеній учетверо площі великого круга. Архімед застосовував метод вичерпання не тільки для встановлення нових фактів, а і обґрунтування відомих раніше, але не доведених. Далі Архімед повідомив, що він опублікує цей метод, бажаючи здійснити колишні згадки про нього і з метою допомогти сучасним і майбутнім математикам в нових відкриттях. У праці «Про квадратуру параболи» Архімед при обчисленні площі параболічного сегменту розглядав його і відповідний трикутник як «суми відрізків», а об'єми — як «суми площ» Він встановив об'єми кулі і кульового сегменту, еліпсоїда обертання, параболоїда обертання, центрів тяжіння фігур і тіл; розглянув задачу про знаходження об'єму «циліндрового копита» — тіла, отриманого при перетині циліндра площиною, що проходить через діаметр основи, і «монастирського зведення» — частини простору, що висікається двома рівними циліндрами, осі яких перпендикулярні. Об'єм «циліндрового копита» Архімед знаходив за допомогою принципу важеля, після чого проводив геометричне доведення. Дуже важливим для становлення інтегрального числення було удосконалення Архімедом ідеї Демокріта про розбиття плоских фігур на елементарні смужки, що «заповнюють» фігури, і тіла на шари, що заповнюють їх. Таких елементарних частин могла бути нескінченна множина або скінченне число. Цими діями Архімед передував ідеям Кеплера і Кавальєрі у визначенні числових характеристик різних геометричних об'єктів. У Кавальєрі навіть деякі вирази співпадають з тими, які вживав Архімед: обидва говорили про всі лінії, що заповнюють плоску фігуру, і про всі плоскі перерізи, що заповнюють об'єм. Метод інтегральних сум розроблений Архімедом і застосований до обчислення площ і об'ємів в його творах «Про кулі та циліндри», «Про коноїди та сфероїди», «Про спіралі». У XIX книзі «Про коноїди та сфероїди» він видозмінив лему Евдокса і цією формою користувався згодом: «Якщо дано сегмент якогось із коноїдів, відсічений перпендикулярною до осі площиною, або ж сегмент якогось із сфероїдів, не більший половини цього сфероїда і точно так же відсічений, то можна вписати в нього тілесну фігуру і описати навколо нього іншу, що складається з циліндрів, які мають однакову висоту, і до того ж так, щоб описана фігура була більше вписаною на величину, меншу будь-якої заданої тілесної величини» [1-5]. Отже, вперше ідею інтегрування ми знаходимо в працях Архімеда. Вона виникла з потреб практики і ніяк не була вільним творінням розуму. У XVII ст. велика група математиків займалася такими основними завданнями: проведенням дотичної до кривої, що привело до виникнення диференціального числення, і обчисленням квадратури, що спричинило виникнення інтегрального числення. Заслуга Ньютона і Лейбніца полягала у відшуканні внутрішнього зв'язку між цими задачами, синтез яких і був основою для створення могутнього знаряддя науки і наукового природознавства. Користування теоремою про взаємну оберненість операцій диференціювання і інтегрування і знання похідних багатьох функцій дали Ньютону можливість за флюксіями отримувати флюєнти (функції), тобто інтегрувати. У «Методі флюксій» Ньютон помістив дві таблиці невизначених інтегралів; у одній з них містяться інтеграли, що алгебраїчно виражаються в кінцевому вигляді, в іншій – інтеграли, що виражаються через відомі. Досить часто і в повсякденній практиці використовуються математичні знання. І це не тільки прості математичні розрахунки, а й елементи вищої математики, теорії ймовірності. Таким чином, все більш широкий спектр математичних знань стає сьогодні обов’язковим елементом загальної культури сучасної людини. Поняття інтеграла пронизує всю сучасну математику. І не тільки в науках фізичного і технічного циклів знаходять застосування різні варіації інтеграла. Більш того, останнім часом увійшли до ужитку такі терміни, як, наприклад, «інтегральна схема», «економічна інтеграція», які прямого відношення до інтеграла не мають, але смислове навантаження зберігають і знаходять широке застосування. Мета дослідження – розглянути основні етапи розвитку поняття «інтеграл» та визначити вирішальні умови його виникнення та розвитку. Викладення основного матеріалу дослідження. Поняття інтеграла та інтегральне числення виникли з потреби обчислювати площі будь-яких фігур, поверхонь і об’єми довільних тіл. Інтегрування простежується ще в давньому Єгипті, приблизно в 1800 році до н. е., математичний папірус демонструє знання формули об’єму зрізаної піраміди. За 2000 років до н.е. жителі Єгипту і Вавилона вже вміли визначати наближено площу кола і знаходити правило об’єм зрізаної піраміди. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н. э.), який намагався знайти площі і об’єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об’єм вже відомі. Цей метод був підхоплений і розвинений Архімедом та використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі кола. Аналогічні методи були розроблені незалежно в Китаї в 3-му столітті н.е. Лю Хуейем, який використовував їх для знаходження площі кола. Цей метод був згодом використаний Дзю Чонгши для знаходження об’єму кулі. Дуже важливим для становлення інтегрального числення було удосконалення Архімедом ідеї Демокріта про розбиття плоских фігур на елементарні полоски, що «заповнюють» фігури, і тіла на шари, що заповнюють їх. Таких елементарних частин могло бути нескінченна множина або скінченне число. Цими діями Архімед передував ідеям Кеплера і Кавальєрі у визначенні числових характеристик різних геометричних об’єктів. У Кавальєрі навіть деякі вирази співпадають з тими, які вживав Архімед: обидва говорили про всі лінії, що заповнюють плоску фігуру і про всі плоскі перетини, що заповнюють об’єм [1-7]. У XVII ст. велика група математиків займалася наступними основними завданнями: проведенням дотичної до кривої, що привело до виникнення диференціального числення і обчисленням квадратури, що спричинило виникнення інтегрального числення. У «Методі флюксій» Ньютон помістив дві таблиці невизначених інтегралів; у одній з них містяться інтеграли, що алгебраїчно виражаються в кінцевому вигляді, в іншій – інтеграли, що виражаються через відомі.

Інтеграл (від лат. integer — цілий) це узагальнення поняття суми нескінченного числа нескінченно малих доданків. Одне з найважливіших понять математичного аналізу, центральне поняття інтегрального числення, застосовується для розв'язання задач:обчислення площі під кривою;пройденого шляху за нерівномірного руху;маси неоднорідного тіла, і таке інше;відновлення функції за її похідною (невизначений інтеграл).

Інтеграція простежується ще в давньому Єгипті, приблизно в 1800 до н. е., математичний папірус представляє знання формули об'єму січної піраміди. Першим відомим способом для розрахунку інтегралів, є метод вичерпування Евдокса (приблизно 370 до н. е.), який намагався обчислити площі та об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм уже відомий. Цей метод був підхоплений і розвинутий Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Подібні способи були розроблені незалежно, в Китаї в 3-му столітті н. е Лю Хуейєм, який використовував їх для обчислення площі круга. Цей метод був згодом використаний Цзу Чунчжи для розрахунку об'єму сфери. Основне досягнення в галузі інтегрування відбулося в 17-му столітті з відкриттям фундаментальної теореми числення (відомої як формула Ньютона — Ляйбніца) Ньютоном і Ляйбніцом, незалежно один від одного. Теорема встановлює зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. Зокрема, основоположна теорема числення, дозволила розв'язувати ширший клас задач. Ньютон і Ляйбніц створили комплексну математичну теорію, що є не менш важливим. Ця теорія має назву — числення нескінченно малих величин, і дозволила здійснювати точний аналіз безперервних функцій. Ці засадничі роботи, зрештою стали сучасним численням, у якому була використана нотація для інтегралів, що безпосередньо спирається на роботи Лейбніца.

Знак інтеграла (∫) був уперше використаний Ляйбніцом наприкінці XVII століття. Це позначення, утворилося з букви ſ («довга s») — скорочення слова лат. ſumma (summa, сума). Восени 1675 року Лейбніц сформулював основні поняття диференціального і інтегрального числення. Він дав загальні правила розв’язання задач на квадратуру і дотичні, встановив зв'язок між задачами диференціювання і інтегрування, ввів символіку обох операцій, що збереглася понині. Дві роботи (1701 і 1703 рр.) Лейбніц присвятив інтегруванню раціональних дробів. Для інтегрування раціонального дробу він виділяв з нього цілу частину, після чого правильний раціональний дріб представляв у вигляді суми простіших. У зв’язку з інтегруванням раціональних дробів в аналіз увійшли комплексні числа і виникла суперечка про логарифми від’ємних чисел. Відкриття Ньютона і Лейбніца зробило переворот в математиці. Якщо раніше вона була доступна лише вузькому кругу фахівців, які розв’язували кожне окреме завдання придуманими ними методами, то після створення алгоритму диференціального і інтегрального числення, застосовного до широкого кола задач, математика стала інструментом в руках дослідників, які не володіють достатньо глибокими математичними знаннями. Творчість Коші і Романа протікало тоді, коли в суспільному житті, природознавстві і математиці відбулися істотні зміни, зросла роль математики в системі наук. Дослідженню спеціальних інтегралів присвятили свої праці Лагранж, Лаплас, Пуассон, Коші. Питання існування інтегралів в творчості Коші вперше обговорювалися в його мемуарі 1814 р., в якому були відмічені парадоксальні властивості деяких подвійних інтегралів. Таким чином, розвиток математики висував необхідність перегляду концепції інтеграла, і це було виконано Коші. Невизначений інтеграл Коші вів як частинний випадок визначеного, при змінній верхній межі. Він довів неперервність такого інтеграла по верхній межі і теорему про те, що похідна його по верхній межі рівна підінтегральній функції. Коші довів також справедливість формули Ньютона-Лейбніца. Він висловив положення, пов'язані з диференціюванням і інтегруванням по параметру. Здається, зовсім мало часу пройшло після введення Коші визначеного інтеграла, але знову виникають мотиви, що вимушують переглядати, уточнювати це поняття, і знову наполегливо працює розум математиків. І поставити останню крапку про «пригоди» ідеї інтеграла випало Ріману. Тільки не слід думати, що розвиток поняття інтеграла закінчився з роботами Рімана. Його творчістю завершився шлях до інтеграла і почався шлях інтеграла, не менш цікавий і істотний для науки. Як видно з попереднього, різні причини спонукали математиків займатися інтегралом. Для Рімана таким джерелом були тригонометричні ряди: визначений інтеграл з'явився у нього при розв’язанні задачі про розкладання довільної функції в тригонометричний ряд.

Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою

Визначений інтеграл — у математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральних функціях і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції. Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса, інтеграл Даніелла тощо. Історична довідка. Як відомо,Ньютон використовував у ролі інтеграла позначку квадрата(перед позначенням функції або навколо неї),але використовувати таке позначення було досить незручно. Сучасну позначку визначеного інтеграла ввів Лейбніц у 1675 році. Він утворив інтегральний символ ∫ з літери S – скорочення латинського слова summa. Сучасне поняття визначеного інтеграла з вказаними межами інтегрування були вперше запропоновані Жаном Батистом Фурье в 1819-20 роках. Процес обчислення інтеграла називається інтегрува́нням. Ця дія, зазвичай використовується під час обчислення таких величин як площа, об'єм, маса, зсув тощо, коли задана швидкість або розподіл змін цієї величини до деякої іншої величини (розташування, час тощо).

Визначений інтеграл - це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції. Числа a і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування. Існує декілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються в технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до даної функції, дадуть той самий підсумок.

Інтегрування — операція, обернена до диференціювання, див. основна теорема аналізу. У результаті невизначеного інтегрування виходить функція, яка називається первісною. Першим інтегралом є число (або, принаймні, незалежна від змінної інтегрування частина).

Існує багато способів формального визначення інтеграла, і не всі з них є еквівалентними один одному. Існують відмінності, що переважно пов'язані з різними особливими випадками, які можуть бути не інтегровані в межах якихось визначень. Найбільш поширеними й загальними визначеннями інтеграла є ітеграл Рімана та інтеграл Лебега. Ця формула називається формулою Ньютона — Ляйбніца, або основною формулою інтегрального числення. Вона дає прикладний і зручний спосіб обчислення визначеного інтеграла за значеннями первісної на кінцях відрізка інтегрування. Багатовимірні інтеграли обчислюються за допомогою теореми про зведення кратних інтегралів до повторного. Інтеграл Лебега — це узагальнення інтеграла Рімана на ширший клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої та інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, водночас в такому разі, обидва інтеграли однакові. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку й інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також, інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Задум побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми зі значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами, міри прообразів цих інтервалів. Важливо зазначити, що побудова інтеграла Лебега спирається на теорію міри Лебега. Одне з основних ускладнень у використанні відомого інтеграла Лебега полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної теорії міри.

Існує інший підхід, викладений Даніеллем у 1918 році в його статті «Загальний вигляд інтеграла» («Annals of Mathematics»), що не має цього недоліку і що має значні переваги під час узагальнення на простори вищих розмірностей і подальших узагальненнях (наприклад, у формі інтеграла Стілтьєса). Така побудова узагальненого інтеграла має деякі переваги перед методом Лебега, особливо у функціональному аналізі. Конструкції Лебега і Даніелла еквівалентні, якщо розглядати як елементарні східчасті функції, проте під час узагальнення поняття інтеграла на складніші об'єкти (наприклад, лінійні функціонали) виникають істотні складнощі в побудові інтеграла за Лебегом. За Даніеллем, інтеграл будується простіше.

Геометричним змістом визначеного інтеграла є знаходження площі криволінійної трапеції. Інтегральне рівняння є лінійним, якщо невідома функція входить до нього лінійно. Обидва вищенаведені рівняння є лінійними. Якщо обидві границі інтегрування сталі, то рівняння називається інтегральним рівнянням Фредгольма. Рівняння, до якого невідома функція входить лише під знаком інтегралу, визначають як інтегральне рівняння першого роду. Перше з вищенаведених рівнянь є інтегральним рівнянням першого роду. Інтегральне рівняння другого роду - це рівняння, у якому невідома функція присутня як під знаком інтегралу, так і поза ним; друге з вищенаведених рівнянь - приклад такого рівняння. Якщо рівняння таке, що кожний член містить невідому функцію, то воно представляє собою однорідне інтегральне рівняння. Якщо у рівняння входить член, який не містить невідому функцію, то воно є неоднорідним. Друге з вищенаведених рівнянь є прикладом однорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Разом з диференціальним численням фундаментом математичного аналізу без особливого перебільшення також є поняття інтеграла. Саме поняття міри та її основні властивості зустрічаються ще у давніх греків, зараз поняття міри та інтеграла починають формуватися ще в шкільному курсі математики, саме тому при підготовці необхідно приділяти особливу увагу розділах аналізу і суміжних дисциплін, пов'язаних з теорією інтеграла. Восени 1675 року Лейбніц сформулював основні понятті диференціального і інтегрального числення. Він дав загальні правила розв’язування завдань на квадратуру і дотичні, встановив зв’язок між завданнями диференціювання і інтегрування, ввів символіку обох операцій, що збереглася понині. Дві роботи (1701 і 1703 рр.) Лейбніц присвятив інтегруванню раціональних дробів. Для інтегрування раціонального дробу він виділяв з нього цілу частину, після чого правильний раціональний дріб представляв у вигляді суми простіших. У зв’язку з інтегруванням раціональних дробів в аналіз увійшли комплексні числа. Після знаменного часу Ньютона і Лейбніца розвиток ідеї інтеграла пішов в двох напрямах: інтеграл, що трактувався як межа деякої суми, певний інтеграл, знаходив все більше і більше застосування в механіці, фізиці, проник в технічні науки і став інструментом у всіх галузях природничих наук; інтеграл як сімейство первісних, невизначений інтеграл, своїм розвитком викликав виникнення абсолютно нового розділу аналізу – методів інтегрування функцій, а це у свою чергу було пов’язано з появою функцій, не відомих раніше – клас інтегрованих функцій весь час поповнювався. Для подальших узагальнень інтеграла усередині самої математики повинні були дозріти умови, що допускають це. Такі умови створила розроблена в кінці XIX ст. і початку XX ст. теорія множин, з найважливішим поняттям міри множини [2-5]. Виникло нове поняття – інтеграл Лебега, узагальнений інтеграл Рімана. Лебег ввів дескриптивне визначення інтеграла: сформулював його властивості, що не містять вказівок на побудову. Він дав також конструктивне визначення інтеграла – аналітичне і геометричне. У 1930 р. А.І. Колмогоров (р. 1903) опублікував роботу, в якій охоплені всі інтеграли як межі різних інтегральних сум. Інтеграл Колмогорова знайшов застосування в математичній фізиці, при математичному обґрунтуванні квантової механіки.

Висновок

Інтеграл був, є і буде стрижньовим поняттям в математиці. Не випадково символом Міжнародного математичного конгресу в 1966 р. був знак інтеграла. Найважливіше застосування невизначеного інтеграла відноситься до інтегрування диференціальних рівнянь, складових могутнього апарату багатьох наук. Ріман встановив необхідний і достатній критерій інтегрованості функції. Дослідження інтеграла після Рімана не припинилися, а пішли прискореним темпом. Якби перерахувати лише математиків, що зробили значний внесок в теорію інтеграла в другій половині XIX і в XX ст., то це зайняло б багато місця. І книга, присвячена шляху інтеграла від Рімана, скажімо, до середини XX ст., вийшла б значною. Інтеграл був, є і буде стрижньовим поняттям в математиці. Для подальших узагальнень інтеграла усередині самої математики повинні були дозріти умови, що допускають це. Такі умови створила розроблена в кінці XIX ст. і початку XX ст. теорія множин, з найважливішим поняттям міри множини. Виникло нове поняття – інтеграл Лебега, узагальнений інтеграл Рімана. Лебег ввів дескриптивне визначення інтеграла: сформулював його властивості. Він дав також конструктивне визначення інтеграла – аналітичне і геометричне. Роботи Лебега послужили значним імпульсом для подальших досліджень в математиці. Теорія міри і інтеграл Лебега служать теоретичним інструментом в сучасній теорії диференціальних рівнянь, теоретичній і математичній фізиці, теорії узагальнених функцій, теорії лінійних операторів і спектральної теорії, теорії ймовірності, теорії випадкових процесів і інших розділах математики. Майже одночасно з Лебегом при рішенні задачі про розподіл маси на інтервалі узагальнення інтеграла Рімана здійснив Т. Стілтьєс. Введення інтеграла Стілтьєса (1856-1894) також привело до нових робіт, присвяченим його властивостям, різним застосуванням, з'ясуванню зв'язку інтеграла Стілтьєса з інтегралами Рімана і Лебега. У 1912 році з'явилося узагальнення інтеграла Лебега – інтеграл А. Данжуа (1884-1973), що викликав новий потік досліджень. У 1930 р. А.І. Колмогоров (р. 1903) опублікував роботу, в якій охоплені всі інтеграли як границі різних інтегральні сум. Інтеграл Колмогорова знайшов застосування в математичній фізиці, при математичному обґрунтуванні квантової механіки. У розвиток поняття інтеграла, окрім Колмогорова, внесли великий внесок і інші вітчизняні математики. Вони зробили першочергової важливості відкриття. Це П.Л. Чебишов, А.А. Марков (1856-1922), А.М. Ляпунов, II.Н. Лузін (1883-1950), А.Я. Хінчін (1894-1959). У теорії функцій А.Я. Хінчін одночасно з Данжуа створив теорію апроксимативних похідних і узагальнив поняття інтеграла. Свої дослідження з асимптотичних похідних Хінчін використовував (1916 р.) для узагальнення інтеграла Данжуа. Він знайшов необхідну і достатню умови для того, щоб інтеграл Данжуа був первісною функцією, а також зняв обмеження, накладене Данжуа на застосування свого інтегрального процесу, і в результаті отримав інтеграл, що дозволяє відновлювати елементарну функцію по її асимптотичній похідній. Трохи згодом сам Данжуа опублікував таке ж узагальнення, але пріоритет належить Хінчину, хоча в світовій літературі цей інтеграл носить ім'я Данжуа – Хінчина [2, 442].

Висновки та перспективи подальших пошуків у напрямі дослідження [50-130]

1. Розглянуто основні етапи розвитку поняття інтеграл та визначені вирішальні умови його виникнення та розвитку; 2. Детально описані найперші способи інтегрального числення: метод Евдокса та механічний метод Архімеда; 3. З’ясовано походження символу інтеграла, його перше вживання в літературі; 4. Описано основні ідеї та здобутки вчених в області інтегрального числення, що стали вирішальними та значущими для подальших досліджень; 5. Робота може бути корисною при вивченні теми «Інтеграл», при вивченні курсу «Історія математики», «Історія сучасної математики».

Список використаних джерел

1. Ріжняк Р.Я. Розвиток інформатики та інформаційних технологій у вищих навчальних закладах України у другій половині ХХ – на початку ХХІ століття. Кіровоград, Видавництво «Код», 2014, 436 с. 2. Третяк М.В. Основні методичні концепції вивчення теорії міри і інтеграла в університетах України / М.В. Третяк // Вісник Черкаського університету: Педагогічні науки – 2015. – Т. 20, № 353 – c. 10-14. 3. Березанський Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функціональний аналіз / Ю.М. Березанський, Г.Ф. Ус, З.Г. Шефтель – Львів: Видавець І.Е. Чижиков, 2014. – 559 с. 4. Колмогоров А.М., Фомін С.В. Елементи теорії функцій та функціонального аналізу / А.М. Колмогоров, С.В. Фомін – К.: Наукова думка, 1977. – 578 с. 5.Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. 6. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная (общая теория) / Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуревич – М: Наука, 1967. – 220 с. 7. Бевз В.Г. Історія математики / В. Г. Бевз. – К., 2007. – С. 135–137. 8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: в 2-х т. / Н.С. Пискунов. – М. : Наука, 1985. – Т. 1. – 432 с. 9. W. Wysoczansky, A. Oliejnik, I. Ohirko. MATHEMATICAL MODELLING OF DIFFUSION PROCESSES IN THE SHALE GAS PRODUCTION TECHNOLOGY. Instytut Budownictwa, PSW im. Papieża Jana-Pawła II. „TELECOTRON INTERNATIONAL”.WARSZAWA .2016. Pg. 22. 10. Огірко І. В. Цифрова безпека інформації як складова економічної безпеки. Всеукраїнськa науково-практичної конференція «Економічна безпека України: стан, проблеми та перспективи». 22 квітня 2016 р. у Львівському державному університеті внутрішніх справ. Львів. 2016.c. 4. 11. Огірко І.В., Огірко О.І., Крап-Спісак Н.П. Секвенційні алгоритми і проектування інформатизаційної мережі комп'ютерних систем. Управління розвитком складних систем. КНУБА. Київ, Україна, – 2016. – №25. – С. 127 – 132. 12. Огірко І. В. Штангрет А. М. ІТ у наукових дослідженнях. РОБОЧА ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ для здобувачів ступеня доктор філософії. УКРАЇНСЬКА АКАДЕМІЯ ДРУКАРСТВА.Львів–2016.C.12. 13. Огірко І. В. Штангрет А. М. Моделі і методи економічної динаміки. РОБОЧА ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ для здобувачів ступеня доктор філософії. УКРАЇНСЬКА АКАДЕМІЯ ДРУКАРСТВА.Львів–2016.C.12. 14. Ткаченко В . П ., Огірко І . В ., Огірко О . І . МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ОЦІНЮВАННЯ ЗАХИСТУ WEB-САЙТІВ.Сб.Полиграфические, мультимедийные и web‐технологии. Т1. – Харьков: ХНУРЭ, 2016. – с.98-101. 15. Ткаченко В . П ., Огірко І . В ., Пілат О . Ю ., Огірко О . І .МЕТОД ОЦІНЮВАННЯ ЯКОСТІ САЙТІВ . 1‐й Международ. науч.‐техн. конф. (16‐20 мая 2016). Полиграфические, мультимедийные и web‐технологии. /– Харьков: ХНУРЭ, 2016. – с. 96-97. 16. Огірко І. В. Теорія нечітких множин.Навчальна програма підготовки доктора філософії.Спеціальність «АВТОМАТИЗАЦІЯ І КОМП’ЮТЕРНО-ІНТЕГРОВАНІ ТЕХНОЛОГІЇ».Львів, УАД. 20 C. 17. Огірко І. В. Методи і техніка штучного інтелекту.Навчальна програма підготовки доктора філософії.Спеціальність «АВТОМАТИЗАЦІЯ І КОМП’ЮТЕРНО-ІНТЕГРОВАНІ ТЕХНОЛОГІЇ» .Львів, УАД. 20 C. 18. OHIRKO Igor, ZANIEWSKI Igor, OGIRKO Olga. Modelowanie i symulacja w naukach ekonomicznych. Czasopisma Autobusy z artykułami z Konferencji LogiTrans 2016, Uniwersytet Technologiczno-Humanistyczny im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu, Organizacja i zarządzanie. 6 / 2016 . S.1742-1747. 19. Огірко І. В. ,Панишко Ю.М. Ернест Резерфорд -до 145-річчя від дня народження. .Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. Зб.наук.праць. - вип.120 - с.65-66 - Львів , 2016. 20. Огірко І. В.,Панишко Ю.М. Майкл Фарадей-видатний англійський фізик і хімік 19 століття. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. - вип.121 - с.52-53.- Львів , 2016. . 21. D. P. Kucherov, I. V. Ogirko, O. I. Ogirko. Calculation of integrals by Monte Carlo in the illumination problem of synthesized objects. SCIENCE AND EDUCATION A NEW DIMENSION. Natural and Technical Sciences, IV (11), Issue: 96, BUDAPEST. 2016. 42-47 22. Юзевич В. М. , Огірко І. В., Огірко О. І. Нечітка економіко-математична модель інвестометрії // Наукові записки Львівського Університету бізнесу та права. Серія: економічні науки. – 2015. – Випуск № 14. Львів: СПОЛОМ, – С. 46-51. 23. Ohirko I. V. Ohirko O. I. Yasinska-Damri L. M. Yasinskyi M. F. Іnformation technologies and models of corrosion measurement for surface layers of metals. Scientific Papers Ukrainian Academy of Printing. 2016 .№ 1 (52) S.69-77. 24. Огірко І. В. ,Панишко Ю.М. Джеймс Чедвік. -До 125-річчя від дня народження. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. Зб.наук.праць. - вип.(56)122 - с.69-71. - Львів , 2016. 25. Огірко І. В., Романюк-Огірко О. П. МУЛЬТИМЕДІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ХІМІЇ . НАУКОВО-ТЕХНІЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ ПРОФЕСОРСЬКО-ВИКЛАДАЦЬКОГО СКЛАДУ, НАУКОВИХ ПРАЦІВНИКІВ І АСПІРАНТІВ (16–19 лютого 2016 р.). Українська академія друкарства.ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ .ЛЬВІВ. 2016. C.143. 26. Майкович І. В., Огірко І. В., Романюк- Огірко О. П.РОЗРОБЛЕННЯ МОДЕЛІ ПРОЦЕСУ КЛЕЙОВОГО СКРІПЛЕННЯ РЕСТАВРАЦІЙНИХ МАТЕРІАЛІВ.УКРАЇНСЬКА АКАДЕМІЯ ДРУКАРСТВА ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ СТУДЕНТСЬКОЇ НАУКОВОЇ КОНФЕРЕНЦІЇ (18–20 травня 2016 р.) ЛЬВІВ – 2016. C. 68. 27. Огірко І. В., Огірко О. І. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ОЦІНЮВАННЯ ЯКОСТІ ТА ЗАХИСТУ WEB – САЙТІВ . НАУКОВО-ТЕХНІЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ ПРОФЕСОРСЬКО-ВИКЛАДАЦЬКОГО СКЛАДУ, НАУКОВИХ ПРАЦІВНИКІВ І АСПІРАНТІВ (16–19 лютого 2016 р.). Українська академія друкарства.ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ .ЛЬВІВ. 2016. C. 133. 28. Огірко І ., Бритковський В ., Огірко О . Інформаційна технологія віброметрії машин. Теорія та практика раціонального проектування , виготовлення і експлуатації машинобудівних конструкцій . 5-а Міжнародна науково-технічна конференція. Матеріали конференції. Редакція журналу«Фізико-хімічна механіка матеріалів». м . Львів . 2016 .C.120-122. 29. Огірко І.,Огірко О. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ТА КІБЕРФІЗИЧНІ СИСТЕМИ ЗАХИСТУ ІНФОРМАЦІЇ І БЕЗПЕКОМЕТРІЇ ПІДПРИЄМСТВ ПОЛІГРАФІЇ. Збірник Формування стратегії соціально-економічного розвитку підприємницьких структур в Україні  : Мат. ІІ Всеукраїн. наук.-практ. конф. (23–25 листоп. 2016 р., м. Львів):Укр. акад. друкарства, 2016. с. 121-124. 30. Огірко I.B.,Огірко О.І.,Кащевська С.І.Інформаційні технології та інформаційне забезпечення фізичної культури та спорту. Збірник «ІННОВАЦІЙНІ ПІДХОДИ ДО ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ І СПОРТУ СТУДЕНТСЬКОЇ МОЛОДІ». ТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ГНАТЮКА. Збірник_ІІІ_науково-практичного семінару "Іноваційні підходи до фізичного виховання і спорту студентської молоді" 15-16 грудня 2016 р. C.90-93. 31. Панишко Ю.М., Кущ О.О.,Огірко І. В. - Моріс Хью Фредерік Уїлкінс. До 100-річчя від дня народження. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. Зб.наук.праць. - вип.(58)124 - с.53-55. - Львів , 2016. 32. Огірко І. В,Романюк О.П.AЛГЕБРАЇЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ДВОВИМІРНОГО ЯДЕРНОГО ПРОСТОРУ. АЛГЕБРА МЕНДЕЛЄЄВА – МАНІКІВСЬКОГО І ПЕРІОДИЧНА СИСТЕМА АТОМНИХ ЯДЕР Колективна монографія “ Моделювання та технології ”. .Інститут Східної Європи..Видавництво "Ліга-Прес". Львів. 2017 .С. 58-73. 33. Огірко І. В,Романюк О. П., Огірко О. І.ТЕРМОДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ ВОЛОДИМИРА ЮЗЕВИЧА ОПИСУ ФІЗИКО - МЕХАНІЧНИХ ПРОЦЕСІВ У ПОВЕРХНЕВИХ ШАРАХ ТВЕРДИХ ТІЛ .Колективна монографія “ Моделювання та технології ” .Інститут Східної Європи.Видавництво "Ліга-Прес". Львів. 2017 .С. 3-12. 34. Кунченко-Харченко В. І., Огірко І. В. Нелінійна статистична обробка негаусівських сигналів професора Юрія Петровича Кунченка та алгоритми оптимального оцінювання інформаційних параметрів сигналів. КВАЛІЛОГІЯ КНИГИ , ЗБІРНИК НАУКОВИХ ПРАЦЬ Української академії друкарства. Випуск № 2 (30) / 2016.С. 80-87. 35. Огірко О . І ., Огірко І . В . Інформаційні технології та технічні засоби у навчальному процесі. Збірник наукових статей ПРОБЛЕМИ ЗАСТОСУВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ, СПЕЦІАЛЬНИХ ТЕХНІЧНИХ ЗАСОБІВ У ДІЯЛЬНОСТІ ОВС ТА НАВЧАЛЬНОМУ ПРОЦЕСІ . За матеріалами доповідей учасників Всеукраїнської науково-практичної конференції .23 грудня 2016 р. Львів : ЛьвДУВС , С. 280-285. 36. Огірко І.B., Огірко О. І.ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ВІРТУАЛЬНОГО ОСВІТНЬОГО ПРОСТОРУ.V Міжнароднa науково-практичнa Інтернет-конференція «Віртуальний освітній простір: психологічні проблеми», 10 - 31 травня 2017 р. Лабораторія сучасних інформаційних технологій навчання Інституту психології імені Г.С. Костюка НАПН України.Київ.c.52-56. 37. Ткаченко В.П., Огірко І.В., Огірко О.І. ІНФОРМАЦІЙНА ГРІД ТЕХНОЛОГІЯ , Зб.: IІ Международная научно - техническая конференция « Полиграфические, мультимедийные и web - технологии». 16-22 мая 2017 года. Харьковский национальный университет радиоэлектроники ,Украинская академия печати (Украина) . C.60-66 38. Огірко І., Огірко О. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ТА МОДЕЛІ БЕЗПЕКОМЕТРІЇ І РИЗИКОМЕТРІЇ. Наукове видання «Економічна безпека держави та суб'єктів підприємницької діяльності в Україні: проблеми та шляхи їх вирішення : Мат. ІV Всеукраїн. наук.-практ. конф. (18–20 травня 2017 р., м. Львів): Укр. акад. друкарства, 2017.С. 125-128. 39. Огірко І. В., Огірко О.І. Математичні моделі та методи безпеки. Зб. «Актуальні проблеми економічної безпеки держави, регіону, підприємства». Всеукраїнськa науково-практичної конференція ,26 06 2017 р. у Львівському державному університеті внутрішніх справ. Львів. 2017.c. 173-175. 40. Юзевич В., Огірко О., Огірко І. Інформаційні технології та математичні моделі квалілогії для корозіометрії.…НАУКОВЕ ВИДАННЯ УПРАВЛІННЯ ЯКІСТЮ В ОСВІТІ ТА ПРОМИСЛОВОСТІ: ДОСВІД, ПРОБЛЕМИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ.…ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ III МІЖНАРОДНОЇ НАУКОВО-ПРАКТИЧНОЇ КОНФЕРЕНЦІЇ пам’яті професора Петра Столярчука. Львів, Видавництво Львівської політехніки.11–12 травня, 2017. С… 234-235. 41. Огірко І. В., Огірко О. І. БЕЗПЕКОМЕТРІЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ. Зб.:НАУКОВО-ТЕХНІЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ ПРОФЕСОРСЬКО-ВИКЛАДАЦЬКОГО СКЛАДУ, НАУКОВИХ ПРАЦІВНИКІВ І АСПІРАНТІВ (14–17 лютого 2017 р.). Українська академія друкарства.ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ .ЛЬВІВ. 2017. C. 143. 42. Огірко І. В.Математичні моделі квалілогії. Наукове видання. КВАЛІЛОГІЯ КНИГИ. IX Міжнародна науково-практична конференція . (26 травня 2017 р., м. Львів): Укр. акад. друкарства, 2017. -С. 79-82. 43. Огірко І. В.Комплекс навчальних видань для видавців. Рецензія на навчальний комплекс для видавців і редакторів. Науковий журнал «Українознавець». Видається Національним науково-дослідним інститутом українознавства МОН України. Львів-2016, вип.16.C.96-97. 44. Моргун К. О., Кучеров Д. П. ,Огірко І. В., ОгіркоО.І. Побудова поверхонь для тривимірних зображень. Зб:24 Міжнародна науково-практична конференція з проблем видавничо-поліграфічної галузі .Київ .2017. С. 59-61. 45. Огірко І. В., Романюк О. П., Огірко О. І. Інформаційні технології книгодрукування та експертизи якості.Научное издание Белорусского государственного технологического университета.СКОРИНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ 2017: КНИГА В МЕДИЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ, К 500-летию белорусского книгопечатания . Материалы III Международного форума:С.254-258. 46. Огірко І., Кащевська С. Дольова участь - методи та формула управління змінами.Зб «Українсько -польський симпозіум Громадське здоров’я та реабілітація – ІМПАКТ 2017 -Трускавець- 21.09.2017-23.09.2017. Львівський Національний Медичний Університет імені Данила Галицького- Польське Товариство Соціальної Медицини та Громадського Здоров’я. С.31. 47. Інформаційна технологія нечіткого кластерного аналізу складних систем / В. М. Юзевич, Р. М. Скриньковський, І. В. Огірко,О. І. Огірко // Наукові записки Львівського університету бізнесу та права. Серія: Економічна. – 2017. – Вип. 17.– С. 164–171. 48. Огірко І. В.,Панишко Ю.М. Ервін Рудольф Йозеф Александер Шредінгер-видатний фізик і математик. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. Зб.наук.праць. - вип.66-132 - с.56-59.- Львів , 2017. 49. Огірко І.В. Наукометрія вченого. Електpoннa пyблiкaцiя.Бібліографічний довідник До 70-ти ліття з дня народження. University “L’viv Stavropigion”. Друкується згідно рішення Вченої Ради Університету “ Львівський Ставропігіон ”, протокол No1 від 3 cічня 2017 р.”Журнал«Українознавець». .2017 р. С.2-4. 50. Огірко І.,Огірко О. Інформаційні технології поліграфічної діяльності І С Є. Міжнародної наукової конференції , листопад 2017 р, Інститут Східної Європи. 2017 р. 8 c, 51. Огірко І. В. Наукове товариство імені Шевченка в збереженні національної ідентичності і відродженні державності в Україні. В зб. УКРАЇНСЬКА НАЦІЯ У БОРОТЬБІ ЗА ЗБЕРЕЖЕННЯ ІДЕНТИЧНОСТІ Й ВІДРОДЖЕННЯ ДЕРЖАВНОСТІ . Міжнародна наукова конференція. 19 жовтня 2017 р. – К.: Вид-во НАЦІОНАЛЬНОГО ПЕДАГОГІЧНОГО УНІВЕРСИТЕТУ ІМЕНІ М.П. ДРАГОМАНОВА ,ІНСТИТУТУ ДОСЛІДЖЕНЬ ІМЕНІ І.Ф.КУРАСА НАН УКРАЇНИ, 2017. с.10-19 . 52. Серант А. Й., Огірко І. В., Огірко О. І. Інформаційна технологія та формула управління змінами. Serant А., Ohirko І., Ohirko О. Information technology and the change management formula. Academic papers collection.Printed specialized publication Lviv Regional Institute for Public Administration of the National Academy for Public Administration under the President of Ukraine. Збірник наукових праць ЕФЕКТИВНІСТЬ ДЕРЖАВНОГО УПРАВЛІННЯ. Друковане фахове видання Львівського регіонального інституту державного управління. Національної академії державного управління при Президентові України. 2017. Випуск 2 (51). 53. Огірко І.В., Огірко О.І. Інформаційні технології і системи в умовах інклюзії. НАУКОВЕ ВИДАННЯ «ІНКЛЮЗИВНА ОСВІТА: ДОСВІД І ПЕРСПЕКТИВИ». НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЗБІРНИК.МІЖНАРОДНА НАУКОВО-ПРАКТИЧНА КОНФЕРЕНЦІ«ІНКЛЮЗИВНА ОСВІТА: ДОСВІД І ПЕРСПЕКТИВИ». Відкритий міжнародний університет розвитку людини «Україна.2018 р., м. Вінниця. c.110-121 Michał Wardzyński , Ihor Ohirko. WYBRANE ASPEKTY ZASTOSOWANIA SYMULACJI KOMPUTEROWYCH W NANOTECHNOLOGII . Elektronická publikácia.Uniwersytet Technologiczno-Humanistyczny im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu . Październik 14, 2017. 54. Ihor Ohirko, Mateusz Grundo, Rafał Leszczyński.GENERATORY LICZB LOSOWYCH DLA INFORMATYKI. Uniwersytet Technologiczno-Humanistyczny im. K. Pułaskiego w Radomiu. Wydział Informatyki i Matematyki. Artykuł naukowy. Opublikowane e-publikácie. Październik 14, 2017. 55. Огірко І. В.,Огірко О. І. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ТА МОДЕЛІ ЛІНГВІСТИЧНОГО АНАЛІЗУ ТЕКСТУ ІНТЕЛЕКТУАЛЬНОЇ СИСТЕМИ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ. Міжнародна науково-технічній конференція “Інтелектуальні технології лінгвістичного аналізу”.Зб.Навчально-науковому інститут Комп’ютерних інформаційних технологій Національного авіаційного університету.24-25 жовтня 2017 року.С.17. 56. Самойленко С. М., Кунченко-Харченко В. І., Огірко І. В. Прикладна криптологія. Електpoннa пyблiкaцiя. Чеpкaський деpжaвний технoлoгiчний yнiвеpситет. Кaфедpa iнфopмaтики, iнфopмaцiйнoї безпеки тa дoкyментoзнaвствa. 23.10.2017. С.4. 57. Вaлентинa Кyнченкo-Хapченкo,Iгop Oгipкo, Влaд Кoзленкo.Метoди i зaсoби зaхистy кpиптoвaлют. Електpoннa пyблiкaцiя. Чеpкaський деpжaвний технoлoгiчний yнiвеpситет. Кaфедpa iнфopмaтики, iнфopмaцiйнoї безпеки тa дoкyментoзнaвствa. 23.10.2017. С.9. 58. Валентина Кyнченкo-Хapченкo, Демиденкo Дмитpo, Ігор Огірко, Владіслав Козленко. Сyчaснa криптографія. Симетpичне шифpyвaння. Електpoннa пyблiкaцiя .Черкаський деpжaвний технoлoгiчний yнiвеpситет.Кафедра iнфopмaтики, iнфopмaцiйнoї безпеки тa дoкyментoзнaвствa. 24.10.2017. С.11. 59. Ігор Огірко Андрій Іванченко Валентина Кунченко-Харченко. Мeтoди тa зaсoби зaхистy вiд хaкeрських aтaк.Черкаський деpжaвний технoлoгiчний yнiвеpситет. Кафедра iнфopмaтики, iнфopмaцiйнoї безпеки тa дoкyментoзнaвствa. Електронна публікація. 26.10.2017. С.9. 60. Валентина Кунченко-Харченко, Ігор Огірко, Білоус Олександр Історія виникнення та застосування шифрування. Черкаський деpжaвний технoлoгiчний університет Кафедра iнфopмaтики, iнфopмaцiйнoї безпеки тa дoкyментознавства Електpoннa пyблiкaцiя .27.10.2017. С.11. 61. Климентий Юрій , Огірко Ігор . Інформаційні технології інтелектуальних систем опрацювання інформаційних ресурсів в електронній комерції . Електронна публікація. Українська академія друкарства . Кафедра комп’ютерних наук та інформаційних технологій. 29.10.2017 р, C.11. 62. Климентий Юрій , Огірко Ігор . Систематизація інформаційних ресурсів. Електронна публікація . Українська академія друкарства. Кафедра комп’ютерних наук та інформаційних технологій. 23.10.2017. р,.10. 63. Огірко І. В. ,Панишко Ю.М. Ірен Жоліо-Кюрі. До 120-річчя від дня народження. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. Зб.наук.праць. - вип.67(133) - с.72-73.- Львів , 2017. 64. Ihor Ohirko, Mateusz Grundo, Rafał Leszczyński. Probability and mathematical statistics. E-publication.University of Technology and Humanities in name of K. Pułaskiego w Radomiu. Department of Computer Science and Mathematics. 4.11. 2017 .s.10. 65. Michal Wardzynski, Igor Ohirko. Probability theory.E-publication. Kazimierz Pułaski University of Technology and Humanities in Radom. Department of Computer Science and Mathematics.https://uthradanaliza2016.wordpress.com/ 4.11. 2017 .s.10. 66. Urban Paulina, Ihor Ohirko .Time-Based Optical Modeling Methods.E-publication. Kazimierz Pułaski University of Technology and Humanities in Radom. Department of Computer Science and Mathematics. .11.11.2017. 9 S. 67. Ihor Ohirko, Karolina Urbańczyk, Klaudia Wieczorek. Artykuł naukowy. Opublikowane e-Publikácia. Podstawy użytkowania baz danych dla matematyków. Uniwersytet Technologiczno-Humanistyczny im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu. 13 października 2017.9 S. 68. Огірко І.В. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ТА МОДЕЛІ ФІНАНСОВО-КРЕДИТНИХ ВІДНОСИН. Збірник матеріалів: Трансформація національної моделі фінансово-кредитних відносин: виклики глобалізації та регіональні аспекти: збірник матеріалів ІІ Всеукраїнської науково-практичної конференції (м. Ужгород, 23 листопада 2017 р.). — Ужгород: Видавництво ДВНЗ «Ужгородський національний університет». 2017.с.65-72. 69. Огірко І.,Огірко О. ІНФОРМАЦІЙНА ТЕХНОЛОГІЯ ТА МОДЕЛІ БЕЗПЕКОМЕТРІЇ ПІДПРИЄМНИЦЬКИХ СТРУКТУР .Наукове видання Матеріали ІІІ Всеукраїнської науково-практичної конференції «ФОРМУВАННЯ СТРАТЕГІЇ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНОГО РОЗВИТКУ ПІДПРИЄМНИЦЬКИХ СТРУКТУР В УКРАЇНІ».Українська академія друкарства Львівський державний університет внутрішніх справ МВС України Академія економічних наук України. 23–25 листопада 2017 р., м. Львів.c.234-236. 70. Огірко І.В., Огірко О.І. Інформаційні технології і системи в умовах інклюзії. «Відкритий міжнародний університет розвитку людини «Україна». ІV МІЖНАРОДНОЇ НАУКОВО-ПРАКТИЧНОЇ КОНФЕРЕНЦІЇ «ІНКЛЮЗИВНА ОСВІТА: ДОСВІД І ПЕРСПЕКТИВИ». м. Вінниця, 23 листопада 2017 року.c.24-30. 71. Огірко І.В., Огірко О.І. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ХМАРНИХ ОБЧИСЛЕНЬ. Матеріали конференції. «Інформаційні технології в освітньому процесі 2017». Чернігівський Державний педагогічний університет імені Т.Г. Шевченка: 11-17 грудня 2017 року.c.61-72. 72. Horbonos, F., Skrynkovskyy, R., Protsiuk, T., Ogirko, I. (2017). Improvement of the Toolkit for Diagnosing the Enterprise's Production Program. Path of Science, 3(12), 4015-4022.International Scientific Journal. 73. ОГІРКО І. В., ОГІРКО О. І. ТЕОРЕТИЧНЕ ОБГРУНТУВАННЯ ОСНОВНИХ НАПРЯМІВ І МОЖЛИВОСТЕЙ ВИКОРИСТАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ В ОЛІМПІЙСЬКОМУ РУСІ. Олімпійський рух на теренах Західної України –минуле та сьогодення .ТЕРНОПІЛЬСКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ГНАТЮКА.// Матеріали ІІ регіонального науково - методичного семінару / За заг.ред.Огнистого А.В. Тернопіль : ТНПУ ім.В.Гнатюка, 2017. 22-23 грудня 2017.В - во СМТ «Вектор», 2017. С.100-104. ІГОР ОГІРКО. Інформаційні системи та технології безпеки Української держави. Візія України. IV Всеукраїнська наукова конференція :візія майбутнього України. Київ, 24 грудня 2017 р. НАУКОВО-ДОСЛІДНИЙ ІНСТИТУТ УКРАЇНОЗНАВСТВА.C.89-97. 74. Валентина Кyнченкo-Хapченкo, Ігор Огірко. Феномен вченого у творчій діяльності .Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. Зб.наук.праць. - вип.70(136) - с.14-18.- Львів , 2017. 75. .Кунченко-Харченко В., Огірко І., Огірко О. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ПРОГНОЗУВАННЯ ТА МОДЕЛЮВАННЯ КІБЕРБЕЗПЕКИ. Зб. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И БЕЗОПАСНОСТЬ.Інститут проблем реєстрації інформації Національна академії наук України. Материали XVII Міжнародна науково-практична конференція «Інформаційні технології і безпека» (ІТБ-2017)." 30 листопада 2017 р. Київ. Вип. 17. c.139-148. 76. Fedir Horbonos, Ruslan Skrynkovskyy, Tetiana Protsiuk, Igor Ogirko. Improvement of the Toolkit for Diagnosing the Enterprise's Production Program .Traektoriâ Nauki = Path of Science . 2017. Vol. 3, No12.Path of Science Published: 2017 S.4015-4022.Удосконалення інструментарію діагностики виробничої програми підприємства. Федір Горбонос , Руслан Скриньковський , Тетяна Процюк , Ігор Огірко. Огірко І. В. Українська академія математики імені Михайла Кравчука. Науковий журнал «Українознавець». Видається Національним науково-дослідним інститутом українознавства МОН України. Львів-2018, вип.18.C.52-56. 77. Ihor Ohirko. Matematyka stosowanana dla matematyków. Uniwersytet Technologiczno-Humanistyczny im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu . Opublikowane e-Publikácia.Institute of EasternEurope. 13.02.2018. 69 S. 78. Ihor Ohirko.APPLIED MATHEMATICS FOR MATHEMATICS.Kazimierz Pułaski University of Technology and Humanities in Radom. E-publication. Institute of Eastern Europe. 14.02.2018. 59 S. 79. Ihor Ohirko. Matematyka stosowanana dla matematyków. Uniwersytet Technologiczno-Humanistyczny im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu . Opublikowane e-Publikácia.Institute of Eastern Europe. 13.02.2018. 69 S. 80. Ihor Ohirko.APPLIED MATHEMATICS FOR MATHEMATICS.Kazimierz Pułaski University of Technology and Humanities in Radom. E-publication. Institute of Eastern Europe. 14.02.2018. 59 S. 81. Ihor Ohirko.APPLIED MATHEMATICS FOR MATHEMATICS.Kazimierz Pułaski University of Technology and Humanities in Radom. E-publication. Institute of Eastern Europe. 14.02.2018. 59 S. 82. Ihor Ohirko.APPLIED MATHEMATICS FOR MATHEMATICS.Kazimierz Pułaski University of Technology and Humanities in Radom. E-publication. Institute of Eastern Europe. 14.02.2018. 59 S. 83. Ihor Ohirko.APPLIED MATHEMATICS FOR MATHEMATICS. Physics and Mathematical Journal . No3. Institute of Eastern Europe . - Lviv, 2018 . 14.03.2018. 33 S. 84. Ruslana Karneienko, Ihor Ohirko. Everything Project Managment. Ukrainian Academy of Printing PUBLISHING AND PRINTING INFORMATION TECHNOLOGY FACULTY. 24.04.2018. 85. Маєвський І. І , Огірко І. В. Електронна книга з дисципліни: Управління проектами . Українська академія друкарства.Кафедра комп’ютерних наук та інформаційних технологій. Львів. 2018. 86. Огірко І. В. ІНФОРМАЦІЙНІ МОДЕЛІ ТА ТЕХНОЛОГІЇ УПРАВЛІННЯ ПРОЕКТАМИ В ПОЛІГРАФІЇ. Зб. Сучасні тенденції розвитку додрукарських систем: матеріали Всеукраїнської науково-практичної кон-ференції, 19 квітня 2018 року. – Львів: УАД, 2018. –с. 74-76 87. Сельменська З. М., Грик Ю. В., Огірко І. В. Аналіз моделей захисту поліграфічної продукції . ЗБІРНИК НАУКОВИХ ПРАЦЬ.КВАЛІЛОГІЯ КНИГИ * 2017 / 2 (32).С.97—102. 88. Климентий Ю. М., Огірко І. В., Огірко О. І.ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИХ СИСТЕМ ОПРАЦЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ РЕСУРСІВ .. НАУКОВО-ТЕХНІЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ ПРОФЕСОРСЬКО-ВИКЛАДАЦЬКОГО СКЛАДУ,НАУКОВИХ ПРАЦІВНИКІВ І АСПІРАНТІВ (27 лютого – 2 березня 2018 р.) ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ. С. 130-131. 89. Огірко І. В., Гладун Д. В.ПРОЕКТУВАННЯ, МАКЕТУВАННЯ ТА РОЗРОБКА ФУНКЦІОНАЛЬНОГО ВЕБ САЙТУ НА БАЗІ ТЕХНОЛОГІЇ MVC .НАУКОВО-ТЕХНІЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ ПРОФЕСОРСЬКО-ВИКЛАДАЦЬКОГО СКЛАДУ,НАУКОВИХ ПРАЦІВНИКІВ І АСПІРАНТІВ (27 лютого – 2 березня 2018 р.) ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ. С.140- 141. 90. Огірко І. В., Жмихов Я. Ю.РОЗРОБКА ДИЗАЙН-МАКЕТІВ МОБІЛЬНОГО ДОДАТКУ ДЛЯ ПЛАТФОРМИ ANDROID .НАУКОВО-ТЕХНІЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ ПРОФЕСОРСЬКО-ВИКЛАДАЦЬКОГО СКЛАДУ,НАУКОВИХ ПРАЦІВНИКІВ І АСПІРАНТІВ (27 лютого – 2 березня 2018 р.) ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ. С. 141- 142. 91. Коробчинський М.В., Огірко І.В., Огірко О.І., Руденко М.М.ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ДЛЯ ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ НА ОСНОВІ НЕЧІТКИХ МОДЕЛЕЙ .INTELLECTUAL SYSTEMS FOR DECISION MAKING AND PROBLEMS OF COMPUTATIONAL INTELLIGENCE. Наукове видання ІНТЕЛЕКТУАЛЬНІ СИСТЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І ПРОБЛЕМИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОГО ІНТЕЛЕКТУ.ISDMCI’2018. Матеріали міжнародної наукової конференції. С.169- 171. Intellectual Systems for Decision Making and Problems of Computational Intelligence: Conference Proceedings.– Kherson: PP Vyshemirsky V. S., 2018. –322 pp. 92. Грик Ю.В., Сельменська З.М., Огірко І.В. АНАЛІЗ МОДЕЛЕЙ ЗАХИСТУ ПОЛІГРАФІЧНОЇ ПРОДУКЦІЇ .INTELLECTUAL SYSTEMS FOR DECISION MAKING AND PROBLEMS OF COMPUTATIONAL INTELLIGENCE. Наукове видання ІНТЕЛЕКТУАЛЬНІ СИСТЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І ПРОБЛЕМИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОГО ІНТЕЛЕКТУ.ISDMCI’2018. Матеріали міжнародної наукової конференції. С.51- 52.Intellectual Systems for Decision Making and Problems of Computational Intelligence: Conference Proceedings.– Kherson: PP Vyshemirsky V. S., 2018. –322 pp. 93. Yakubovska Mary S., Igor Ogirko. Archetype of the philosophy of modern education yak paradigm of the form of the professional competence of the daily student of the VNS: from the pedagogical dossier of the rector of the UAD prof. Durnyak B. V. // Scitechnology.– 2018.– № 9.– с. 50 – 52. 94. Огірко Ігор. Професор Інституту Східної Європи ,Університету “Львівський Ставропігіон”. В книзі Енциклопедія Львівської Ставропігії члена Національної спілки письменників України, історика Богдана Івановича Сушинського. Університет “Львівський Ставропігіон”.2018. С.239. 95. Огірко І.В.,Кащевська С.І., Огірко О.І. ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ У МЕДИЦИНІ Інститут Міжнародної Академічної і Наукової Співпраці,POLISH-UKRAINIAN FOUNDATION «THE INSTITUTE OF INTERNATIONAL ACADEMIC AND SCIENTIFIC COOPERATION» Materials of the international scientific and practical medical conference Rzeszow, Poland. 2018. C.137-143. 96. Огірко І. В.,Панишко Ю.М. Віктор Франц Гесс видатний фізик. До 135-річчя від дня народження. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. Зб.наук.праць. - вип.76(142) - с.61-63.- Львів , 2018. 97. Огірко І. В.Кардинал Йосип Сліпий- видатний український вчений, почесний член Наукового товариства ім. Т.Шевченка. Українська академія друкарства. 5-а науково-технічна конференція. Матеріали конференції.ЛЬВІВ. 2018. с.71-76. 98. Ігор Огірко,Ольга Огірко. Інформаційні технології цифрової економіки. Information technology of digital economy, VIII International Scientific Conference «INFORMATION SOCIETY: THE STATE AND DEVELOPMENT DIRECTIONS, INCLUDING REGIONAL CONDITIONS». September, 26-28, 2018. Rzeszow, PolandLviv, Ukraine c.165-169. 99. ЯКУБОВСЬКА М.С. ОГІРКО І.В. ДАНЬШОВА В.А. ПЕДАГОГІЧНІ МЕТОДИ –МИСТЕЦТВО ВЗАЄМОДІЇ .ADVANCES OF SCIENCE Proceedings of articles the international scientific conference Czech Republic, Karlovy Vary – Ukraine, Kyiv, 28 September 2018 ADVANCES OF SCIENCE: Proceedings of articles the international scientific conference.Czech Republic,– Czech Republic: MCNIP, 2018. С.1869—1879. 100. Климентий Ю. М., Огірко І. В.ІНТЕЛЕКТУАЛЬНЕ ОПРАЦЮВАННЯ ДАНИХ У СУЧАСНИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ СИСТЕМАХ. Матеріяли ІІІ Міжнародної науково-технічної конференції«Поліграфічні, мультимедійні та Web-технології» (PMW–2018). Українська академія друкарства.17–19 жовтня 2018 р. м.Львів, Україна.c.128-130. 101. Огірко І. В., Ясінський М. Ф., Ясінська Дамрі Л. М., Огірко О. І. ІНФОРМАЦІЙНІ, МУЛЬТИМЕДІЙНІ ТА WEB ТЕХНОЛОГІЇ В ПОЛІГРАФІЇ Матеріяли ІІІ Міжнародної науково-технічної конференції«Поліграфічні, мультимедійні та Web-технології» (PMW–2018). Українська академія друкарства.17–19 жовтня 2018 р. м.Львів, Україна.c.211-216. 102. I.V. Ogirko, T.S. Holubnyk, O.I. Ogirko, M.M. Dubnevych and N.S. Pysanchyn. Information Technology to Determine the Effectiveness of Advertising Communication.2018,International Scientific-Practical Conference Problems of Infocommunications Science and Technology Kharkiv National University of Radio ElectronicsPIC S&T`2018~ 2~October 9-12, 2018 Kharkiv, Ukraine.Page 1. 2018 International Scientific-Practical Conference Problems of Infocommunications Science and Technology PIC S&T`2018 ~ 2 ~ October 9-12,2018 Kharkiv, Ukraine. ORGANIZED BY Ministry of Education and Science . 103. І. В. Огірко, М. Ф. Ясінський, Л. М. Ясінська-Дамрі, О. І. Огірко Інформаційні технології, моделювання та алгоритмізації . УКРАЇНСЬКА АКАДЕМІЯ ДРУКАРСТВА VII міжнародна науково-технічна конференція ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ДРУКАРСТВА АЛГОРИТМИ, СИГНАЛИ, СИСТЕМИ ДРУКОТЕХН-2018. Львів .15-16 листопада 2018 р.С.64- 70. 104. С. М. Комар, З. М. Сельменська, І. В. Огірко Алгоритм оптимізації проектування друкованих видань . УКРАЇНСЬКА АКАДЕМІЯ ДРУКАРСТВА VII міжнародна науково-технічна конференція ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ДРУКАРСТВА АЛГОРИТМИ, СИГНАЛИ, СИСТЕМИ ДРУКОТЕХН-2018. Львів .15-16 листопада 2018 р. С. 84-89. 105. Цуца Н. М., Огірко І. В. КОМП’ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ КОНСЕРВАЦІЇ ТА РЕСТАВРАЦІЇ КНИГ, ДОКУМЕНТІВ, ТВОРІВ МИСТЕЦТВА НА ПЕРГАМЕНТНІЙ ОСНОВІ. СУЧАСНІ ПРОБЛЕМИ КОНСЕРВАЦІЇ І РЕСТАВРАЦІЇ ПАМ’ЯТОК МИСТЕЦТВА ТА ПИСЕМНОЇ КУЛЬТУРИ НА ПЕРГАМЕНТНІЙ І ПАПЕРОВІЙ ОСНОВАХ. ПЕРША МІЖНАРОДНА НАУКОВО- ПРАКТИЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ. Львів, 23 листопада 2018 р. Українська академія друкарства (Львів, Україна)с.13-22. 106. Огірко І. В. Інформаційні технології та моделі фінансометрії. МАТЕРІАЛИ І Міжнародної науково-практичної конференції "Фінансовий бізнес в Україні та світі: стан, проблеми і перспективи розвитку". FINANCIAL BUSINESS IN UKRAINE AND THE WORLD: CONDITION, PROBLEMS AND DEVELOPMENT MATERIALS of the 1st International Scientific and Practical Conference.October, 26, 2018, Ivan Franko Lviv National University.Lviv, Ukraine.с.193-196. 107. І. Огірко , З. Партико. ТЕОРІЯ ПОВІДОМЛЕНЬ В КОМП'ЮТЕРНІЙ ТЕХНОЛОГІЇ ДРУКАРСТВА. Українська академія друкарства. КОМП’ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ ДРУКАРСТВА. 2023/1(49).c 90- 106. 108. Ihor Ohirko, Zinovii Partyko THEORY OF MESSAGES IN COMPUTER PRINTING TECHNOLOGY, COMPUTER TECHNOLOGIES OF PRINTING. Ukrainian Academy of Printing, Lviv, Ukraine . 2023/1(49).c 90- 106 109. Огірко І.В. , М. А. Смолинець, А. В. Черненко. ЗАСТОСУВАННЯ DEVOPS ТА FINOPS ПРАКТИК В АНАЛІЗІ ВИТРАТ ХМАРНОГО СЕРЕДОВИЩА. Українська академія друкарства. КОМП’ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ ДРУКАРСТВА. 2023/1(49).c 41-54. 110. D. Kucherov, T. Shmelova, O. Poshyvailo, V. Tkachenko, I. Miroshnichenko and I. Ogirko, "Mathematical Model of Damping of UAV Oscillations in the Cargo Delivery Problem," 2023 IEEE 4th KhPI Week on Advanced Technology (KhPIWeek), Kharkiv, Ukraine, 2023, pp. 1-6, 111. Ogirko Igor V., Kmit Yaroslav M., Blank Sofiya, Mykolyshyn Alina I. Kirlianometry of «Augmented reality» confirmed by Kirlian images to the world - through science Proceedings of the 6th International Scientific and Practical Conference «Scientific Trends and Trends in the Context of Globalization» (September 19-20, 2023). # 171. Umeå, Kingdom of Sweden DOI 10.51582/interconf.19-20.09.2023.015 s.190 222. 112. Огірко Ігор В., Кміть Ярослав М., Бланк Софія, Миколишин Аліна І. Кірліанометрія «доповненої реальності», підтверджена світом зображеннями Кірліана - через науку Матеріали 6 Міжнар. наук.-практ Конференція «Наукові тенденції та тренди в умовах глобалізації» (19-20 вересня 2023 р.). # 171. Умео, Королівство Швеція 113. І. В. Огірко , М. Ф. Ясінський, В. П.Ткаченко , Л. М. Ясінська-Дамрі , А. О. Шевчук , О. І. Огірко , А. М. Куза.РОЗВИТОК ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ТА ЇХНЄ ВПРОВАДЖЕННЯ В МЕДІАКОМУНІКАЦІЇ ТА ПОЛІГРАФІЮ. Українська академія друкарства. КОМП’ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ ДРУКАРСТВА. 2022/1 (47). C.200- 210. 114. І. В. Огірко. З. В. Партико. Математика для гуманітаріїв. Підручник. Львів. Клуб прикладної математики. Ставропігійське наукове академічне товариство.2023.105с. Математика_для_гуманітаріїв 115. Ogirko Igor V. , Kmit Yaroslav M. , Blank Sofiya , Mykolyshyn Alina I.Kirlianometry of «Augmented reality» confirmed by Kirlian images to the world - through science. PHILOSOPHY AND COGNITION. Proceedings of the 6th International Scientific and Practical Conference «Scientific Trends and Trends in the Context of Globalization» (September 19-20, 2023). Umeå, Kingdom of Sweden. No 171. P. 190-222. This work is distributed under the terms of the Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International License 116. Iurii Teslia, Nataliia Yehorchenkova, Oleksii Yehorchenkov, Iulia Khlevna, Yevheniia Kataieva, Ľubomír Jamečný, Andrii Khlevnyi, Tatiana Latysheva, Vitalii Veretelnyk, Ihor Ohirko. DEVELOPMENT OF THE CONCEPT OF BUILDING A CORPORATE STANDARD OF PORTFOLIO MANAGEMENT IN THE COURSE OF TERRITORY RESTORATION PLANNING IN THE CONTEXT OF MAKING-CITY PROJECT . Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. Vol. 4 No. 3 (124) (2023) P.6-18. 117. Огірко І. В., ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОІЇ ТА КІБЕРБЕЗПЕКА . Інформаційні технології в освіті та практиці : матеріали Науково-практичної конференції (Львів) . – Львів : ЛьвДУВС, 2023.С. 51- 52 118. Огірко І.В.,Ткаченко В.П.,ІНТЕЛЕКТУАЛЬНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ПОЛІГРАФІЇ. Наукове видання, УАД. VIІІ Міжнародна науково-технічна конференція «Поліграфічні, мультимедійні та web-технології» м. Харків. 2023.С.60-63. ТЕЗИ ДОПОВІДЕЙ VIII Міжнародної науково-технічної конференції «Поліграфічні, мультимедійні та web-технології» (PMW-2023) Том 1 16-20 травня 2023 р. м. Харків, Україна 119. Огірко Ігор, Кміт Ярослав , Бланк Софія, Миколишин Аліна. Кірліанометрія додаткової реальності, підтверджена кирліанівськими знімками. До світу через науку. PHILOSOPHY AND COGNITION. Proceedings of the 5th International Scientific and Practical Conference «Scientific Goals and Purposes in XXI Century» (August 19-20, 2023). Seattle, USANo 167. C. 184-213. 120. Огірко І. В.,Панишко Ю.М., Довбуш Р. Т., Ервін Ру́дольф Йозеф Александер Шредінгер -видатний австрійський фізик. До 135-річчя від дня народження. Зб.наук.праць. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. - вип.106(172) - с.121-124.- Львів , 2023. 121. Огірко І. В.,Панишко Ю.М., Довбуш Р. Т., Ірен Жоліо-Кюрі-видатна французька вчена- фізик. До 120-річчя від дня народження. Зб.наук.праць. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. - вип.106(172) - с.169-171.- Львів , 2023. 122. Огірко І. В.,Кащевський В.О.Кібергігієна. Зб.наук.праць. Західний центр енергоінформаційних наук, Українська Міжнародна академія ПМ НТШ. - вип.108(174) - с.32-38.- Львів , 2023. 123. Огірко І.,Кокольська В., Толок А. Педагог, організатор, вчений.ШОФАР: Видання Львіського товариства ЄК. № 7 (380). 2023 р. с. 9. 124. Огірко І.В., Ясінський М.Ф., Ясінська-Дамрі Л.М., Огірко О.І. ДУДИК Р. О., Інформаційні технології та кібербезпека. Тези доповідей наук.-тех. конф. професорсько-викладацького складу , наукових працівників і аспірантів . ( 06 – 10 лютого 2023 р. ) –Львів: УАД, 2023р., С.12. 125. Огірко І.В., Ясінський М.Ф.,Ткаченко В.П., Ясінська-Дамрі Л.М., Огірко О.І. Управлінські інформаційні системи і технології підприємства. ( 06 – 10 лютого 2023 р. ). – Львів: УАД, 2023р., С.13. 126. Огірко І.В., Ясінський М.Ф., Ясінська-Дамрі Л.М., Огірко О.І., Яремко Я.В.,Карпа Р.І.,Управлінські інформаційні системи і технології.Тези доповідей наук.-тех. конф. професорсько-викладацького складу , наукових працівників і аспірантів( 06 – 10 лютого 2023 р. ) . – Львів: УАД, 2023р., С.14. 127. Ясінська-Дамрі Л.М., Кащевська С.І. Біомеханіка фітнесу. Тези доповідей наук.-тех. конф. професорсько-викладацького складу , наукових працівників і аспірантів ( 06 – 10 лютого 2023 р. ). – Львів: УАД, 2023р., С. 22. 128. Ясінська-Дамрі Л.М., Огірко І.В., Огірко О.І., Кащевська С.І.,Ясінський М.Ф. Біомеханіка фізичних вправ фітнесу. Тези доповідей наук.-тех. конф. професорсько-викладацького складу , наукових працівників і аспірантів ( 06 – 10 лютого 2023 р. ). – Львів: УАД, 2023р.,С. 23. 129. D. Kucherov, T. Shmelova, O. Poshyvailo, V. Tkachenko, I. Miroshnichenko and I. Ogirko, "Mathematical Model of Damping of UAV Oscillations in the Cargo Delivery Problem,", Kharkiv, Ukraine, 2023, pp. 1-6, 130. ШУЛЬЖИК Юрій, ОГІРКО Ігор ПОЛІТИКА АНТИКРИЗОВОГО УПРАВЛІННЯ ОБОРОТНИМИ АКТИВАМИ ПІДПРИЄМСТВА ЗБІРНИК наукових праць за матеріалами ІІІ Всеукраїнської науково-практичної конференції«ПРОБЛЕМИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ РОЗВИТКУ ОСВІТИ, НАУКИ ТА ТЕХНОЛОГІЙ В УКРАЇНІ ТА СВІТІ». м. Бережани, 15 листопада 2023. Бережани: ВСП «Бережанський фаховий коледж НУБіП України», 2023. 449 с. ‒ 2023.C. 148-154

Для студентів старших років навчання. Основною метою є ознайомлення студентів з основами проведення наукових досліджень. Підготував Огірко Олег Васильович. Огірко І.В.