Jump to content

זוגות סדורים

From Wikiversity

שעור שמיני - זוגות סדורים[edit]

כשהגדרנו את השוויון בין קבוצות, הדגשנו שבתוך הקבוצה אין חשיבות לסדר בין האיברים: . עובדה זו באה לידי ביטוי בטענה הבאה, שאותה נוכיח בזהירות, כהכנה לשלבים הבאים בשעור זה.

טענה. אם ורק אם ( ו- ), או ( ו- ).

הוכחה. a הוא איבר בקבוצה שבאגף שמאל, ומכיוון שהקבוצות שוות, הוא איבר גם בזו שבאגף ימין, שיש לה (לכל היותר) שני אברים - c ו-d. ("לכל היותר", משום ש-c ו-d עשויים להיות שווים). אותה טענה נכונה גם לגבי b. אם a ו-b שווים לאותו איבר, אז הם שווים גם זה לזה, ולכן בקבוצה שבאגף שמאל יש רק איבר אחד; לכן גם בזו שבאגף ימין צריך להיות רק איבר אחד, ומכאן ש-c=d; במקרה כזה מתקיימים שני התנאים שהבטחנו. אחרת, a ו-b אינם שווים לאותו איבר, ואז אחד מהם שווה ל-c והשני שווה ל-d.

מאידך, במקרים רבים הסדר חשוב מאד (לדוגמא, לא היינו רוצים שדיירי דירה 2 ברח' הסנדלר 7 יקבלו מחצית מהמכתבים של דיירי דירה 7 בבית מספר 2 באותו רחוב). יכולנו להמציא סוג חדש של מבנים, שבהם תהיה חשיבות לסדר, אבל למרבה המזל תורת הקבוצות גמישה מספיק כדי שנוכל לבנות את הסוג החדש הזה במסגרתה: אין להרבות בישויות יותר מכפי הצורך.

הגדרה. הזוג הסדור מוגדר כקבוצה .

כדי שיהיה מוצדק לקרוא לקבוצה "זוג סדור", עלינו לוודא שאפשר לקרוא ממנה את הרכיב הראשון והרכיב השני, באופן חד-משמעי.

משפט. אם ורק אם ו- .

הוכחה. אם ו- אז ו- , ולכן . נראה שגם הכיוון ההפוך נכון. נתון ש- . לפי הטענה מתחילת השעור, יש שתי אפשרויות: ( ו- ), או ( ו- ). במקרה הראשון משום שכל אחד מהם הוא האיבר היחיד בקבוצה ; השוויון מראה (לפי אותה טענה) ש-( ו- ), או ( ו- ); אם האפשרות הראשונה נכונה - קיבלנו מה שרצינו לקבל, ואם השניה נכונה אז , ושוב קיבלנו מה שרצינו. במקרה השני, (שבו, כזכור, ו- ), מתברר ש- ולכן , וכך גם ; לכן ו- .

תרגיל. בדוק שאם אז הזוגות הסדורים שונים זה מזה.

תרגיל. אשר ש- .

תרגיל. חשב את (הקבוצה שהיא) הזוג הסדור . כמה איברים יש לו?

לאור ההצלחה המסחררת של ההגדרה הזו, טבעי לנסות ולבדוק כמה אפשרויות אחרות. כדי שלא לבלבל, נסמן את הזוגות שיופיעו בהגדרות המתחרות בסימון .

תרגיל. נגדיר . מצא זוג שבו או . לכן זו הגדרה גרועה לזוג סדור (ואיננו משתמשים בה).

תרגיל. נגדיר . מצא זוג שבו או .

תרגיל. הנח שלא יתכן שקבוצות x,y תקיימנה או , והוכח את המשפט ( אם ורק אם הרכיבים שווים בהתאמה) עבור ההגדרה (ההנחה בתרגיל זה נראית אולי מוזרה במסגרת שבה אנו עובדים, אבל בתורת הקבוצות האקסיומטית היא מופיעה באופו טבעי ומתבקש).

תרגיל. נגדיר . האם בהגדרה זו אפשר לקרוא באופן חד-משמעי את הרכיב הראשון והרכיב השני?

תרגיל. נגדיר . האם בהגדרה זו אפשר לקרוא באופן חד-משמעי את הרכיב הראשון והרכיב השני?

נחזור להגדרה הראשונה, שעבורה הוכחנו את המשפט. כפי שבנינו זוגות סדורים, היינו רוצים להגדיר גם שלשות סדורות (כלומר, מבנים שמהם אפשר לקרוא באופן חד-משמעי את הרכיב הראשון, הרכיב השני והרכיב השלישי), רביעיות סדורות, וכן הלאה. במקום להמציא פתרון נפרד לכל בעיה כזו, אנחנו פותרים את כולן באינדוקציה:

הגדרה. ה-n-יה הסדורה מוגדרת כזוג סדור, שרכיבו הראשון , ורכיבו השני .

תרגיל. הוכח ש- אם ורק אם .

תרגיל. כתוב במפורש (כקבוצה) את השלשה הסדורה . כתוב במפורש את השלשות , , .






<< השיעור הקודם - קבוצת החזקה דף הקורס - תורת הקבוצות השיעור הבא - מכפלה קרטזית >>