שעור שביעי - קבוצת החזקה[edit]
הגדרה. תהי
קבוצה. קבוצת החזקה של
היא הקבוצה שאבריה הם תת-הקבוצות של
. את קבוצת החזקה של
מסמנים ב-
.
כלומר, קבוצה
שייכת ל-
, אם ורק אם
. מכיוון שהקבוצה
תמיד מוכלת בעצמה,
. גם הקבוצה הריקה מוכלת ב-
, ולכן
.
דוגמא. האברים בקבוצת החזקה של
הם הקבוצות
.
תרגיל. קבוצת החזקה של כל קבוצה
מכילה את
ואת הקבוצה הריקה. מצא דוגמה נגדית לטענה (השגויה) "בכל קבוצת חזקה יש לפחות שני אברים".
תרגיל. כתוב את כל האברים של
.
תרגיל. קבע האם
הוא איבר בקבוצת החזקה
.
תרגיל. הוכח (באינדוקציה) שאם בקבוצה
יש בדיוק
אברים שונים, אז בקבוצה
יש
אברים שונים.
תרגיל. אם
אז
.
תרגיל. א. הוכח או הפרך:
. ב. הוכח או הפרך:
.