פעולות בין קבוצות

שעור חמישי - פעולות בין קבוצות

שייכות, הכלה ושוויון הם יחסים בין קבוצות (קבוצה A יכולה להיות שייכת לקבוצה B או לא שייכת לה, מוכלת בקבוצה B או לא מוכלת בה, שווה לקבוצה B או שונה ממנה). כדאי להכיר גם כמה פעולות, היוצרות משתי קבוצות נתונות קבוצה חדשה.

הגדרה. האיחוד של שתי קבוצות A,B הוא הקבוצה שאבריה הם כל האברים השייכים ל-A או ל-B (או לשתיהן), ורק הם. את האיחוד מסמנים $\ A\cup B$.

הגדרה. החיתוך של שתי קבוצות A,B הוא הקבוצה שאבריה הם האברים השייכים ל-A וגם ל-B, ורק הם. את החיתוך מסמנים $\ A\cap B$.

תרגיל. האיחוד והחיתוך הם אידמפוטנטיים, קומוטטיביים ואסוציאטיביים, כלומר:

• $\ A\cap A=A\cup A=A$;
• $\ A\cap B=B\cap A$, $\ A\cup B=B\cup A$;
• $\ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$, $\ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$.

כרגיל, לקבוצה הריקה, יש תפקיד מיוחד ביחס לשתי הפעולות:

• $\ A\cup \emptyset =A$, $\ A\cap \emptyset =\emptyset$.

הדרך הקלה לבדוק יחסים אלה, ומסובכים מהם (כמו $\ (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$), היא באמצעות דיאגרמת וון, המקודדת את הקבוצות ותוצאות הפעולות עליהן באופן גרפי.

תרגיל. ציירו דיאגרמות וון שתתארנה את המצב הכללי ביותר שבו יכולות להמצא שתיים, שלוש או ארבע קבוצות. חפשו (איפה? באינטרנט) דיאגרמה לתאור של חמש קבוצות.

איחוד וחיתוך כלליים

בדיוק כפי שאפשר לאחד או לחתוך שתי קבוצות, אפשר לאחד ולחתוך אוסף כלשהו של קבוצות, סופי או אינסופי.

הגדרה. תהי $\ {\mathcal {A}}$ קבוצה של קבוצות. "האיחוד של $\ {\mathcal {A}}$", $\ \cup {\mathcal {A}}$, הוא קבוצה שאבריה הם כל האברים השייכים לאיבר כלשהו של $\ {\mathcal {A}}$, כלומר $\ x\in \cup {\mathcal {A}}$ אם ורק אם קיים $\ a\in {\mathcal {A}}$ כך ש- $\ x\in a$. באותו אופן, "החיתוך של $\ {\mathcal {A}}$", $\ \cap {\mathcal {A}}$, הוא קבוצה שאבריה הם כל האברים השייכים לכל האיברים של $\ {\mathcal {A}}$, כלומר $\ x\in \cap {\mathcal {A}}$ אם ורק אם לכל $\ a\in {\mathcal {A}}$ מתקיים $\ x\in a$.

לדוגמה, האיחוד של $\ \{A,B\}$ הוא האיחוד של שתי הקבוצות, $\ A\cup B$.

<< השיעור הקודם - תת-קבוצות והכלה

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - משלים וחוקי דה-מורגן >>