תת-קבוצות והכלה

שעור רביעי - תת-קבוצות והכלה

האברים שיש לקבוצה מאפיינים אותה באופן מלא, והתנאי לשוויון בין קבוצות הוא, כזכור, שכל איבר של זו יהיה איבר בזו, וגם להיפך. אם כך, אפשר לפרק את תכונת השוויון לשני חלקים: A שווה ל-B אם כל איבר של A הוא גם איבר של B, ובנוסף לזה כל איבר של B הוא גם איבר של A. למחצית אחת של הקשר הזה קוראים הכלה:

• הקבוצה A מוכלת בקבוצה B אם כל איבר של A הוא איבר B (בניסוח פורמלי אפשר לומר: לכל $\ x\in A$ מתקיים $\ x\in B$).

את הקשר "A מוכלת ב-B" מסמנים כך: $\ A\subseteq B$. אם רוצים להדגיש ש-A היא תת-קבוצה של B אבל שונה ממנה (בדומה להבחנה בין "קטן מ-" לבין "קטן או שווה ל-") מסמנים $\ A\subset B$; במקרה כזה כל איבר של A הוא איבר של B, אבל יש לפחות איבר אחד של B שאינו שייך ל-A.

כמובטח, ההכלה מפרקת את יחס השוויון לשני תנאים סימטריים:

תרגיל. A=B אם ורק אם ($\ A\subseteq B$ וגם $\ B\subseteq A$).

תכונה חשובה אחרת של ההכלה היא ה"טרנזיטיביות" שלה:

תרגיל. אם $\ A\subseteq B$ ו- $\ B\subseteq C$ אז $\ A\subseteq C$.

הקבוצה הריקה היא הקבוצה הקטנה ביותר, ביחס להכלה. פירושו של דבר:

תרגיל. כל קבוצה מכילה את הקבוצה הריקה. אף קבוצה שאינה ריקה אינה מוכלת בקבוצה הריקה.

קבוצה המוכלת ב-B נקראת תת-קבוצה שלה. אחת הדרכים הנוחות לבנות קבוצה חדשה, היא בתור תת-קבוצה של קבוצה קיימת. למשל, $\ \{x\in \mathbb {N} :x<19\}$ היא קבוצה של מספרים בקבוצת המספרים הטבעיים $\ \mathbb {N}$ (בהגדרה מפורשת: קבוצת כל המספרים הטבעיים הקטנים מ-19). באופן כללי אפשר לתאר תת-קבוצה באמצעות תנאי, כך: $\ \{x\in A:\varphi (x)\}$ כאשר $\ \varphi$ הוא פסוק (פסוק הוא ביטוי סופי שאפשר לפענח באופן חד-משמעי). למעשה, תורת הקבוצות האקסיומטית (שאיננה חלק מקורס זה) מעדיפה תאורים כאלה; היא מספקת קבוצה אינסופית אחת ודרך אחת לבנות קבוצה "גדולה" מקבוצה נתונה. היא אינה מאפשרת לאסוף איברים לקבוצה באופן חופשי, אלא רק כתת-קבוצות של קבוצה קיימת, וגם זאת רק כשאפשר להגדיר את האברים בתת-הקבוצה באמצעות פסוק מתאים.

הגדרת ההכלה מתבססת על מושג השייכות אך שני היחסים אינם זהים. לדוגמא, קבוצת המדינות ששמן העברי מתחיל בריש מוכלת בקבוצת כל המדינות, אבל בעצמה היא אינה מדינה, ולכן אינה שייכת לקבוצת המדינות. אפילו אם נבחר קריטריון המבודד מדינה אחת, כמו קבוצת המדינות ששמן מתחיל ב"רומנ", נקבל תת-קבוצה של קבוצת המדינות, $\ \}$רומניה$\ \{$, ולא מדינה. הקבוצה $\ \}$רומניה$\ \{$ מוכלת בקבוצת המדינות, אבל אינה שייכת לה. להלן כמה דוגמאות נוספות:

• הקבוצה הריקה $\ \emptyset$ מוכלת בעצמה, אבל אינה שייכת לעצמה;
• לעומת זאת, הקבוצה הריקה $\ \emptyset$ מוכלת בקבוצה $\ \{\emptyset \}$ ושייכת לה;
• הקבוצה $\ \{\emptyset \}$ שייכת לקבוצה $\ B=\{\{\emptyset \}\}$ אבל אינה מוכלת בה (משום ש-$\ \emptyset \not \in B$).
• הקבוצה $\ \{\emptyset \}$ אינה מוכלת בקבוצה הריקה ואינה שייכת לה.

תרגיל. תן דוגמא נוספת לכל אחת מהאפשרויות לעיל.

<< השיעור הקודם - שוויון קבוצות

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - פעולות בין קבוצות >>