Arrels IV

En aquesta secció es tracta un tema especific d'arrels i com es combinen.

Arrels

Aquest és un tema suficientment conegut com per fer una exposició oberta de tots els tipus d'arrels, orientat com a recordatori, però que servirà per reforçar els possibles oblits respecte aquest contingut.

Arrels quadrades

Presentació: ${\sqrt {a}}$ = arrel quadrada de a.

Definició: L'arrel quadrada de a és un valor real positiu r que compleix que $r^{2}=a.$

Observació:

${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{+}&\xrightarrow {\sqrt {\,\,\bullet \,\,}} &\mathbb {R} ^{+}\\0&&{\sqrt {0}}=&0\\1&&{\sqrt {1}}=&1\\4&&{\sqrt {4}}=&2\\100&&{\sqrt {100}}=&10\\0,01&&{\sqrt {0,01}}=&0,1\\250\,000&&{\sqrt {250\,000}}=&500\end{matrix}}$

Arrels cúbiques

Presentació: ${\sqrt[{3}]{a}}$ = arrel cúbica de a.

Definició: L'arrel cúbica de a és un valor real r, que compleix que $r^{3}=a.$

Observació:

${\begin{matrix}\mathbb {R} &\xrightarrow {\sqrt[{3}]{\,\,\bullet \,\,}} &\mathbb {R} \\0&&{\sqrt[{3}]{0}}=&0\\1&&{\sqrt[{3}]{1}}=&1\\-1&&{\sqrt[{3}]{-1}}=&-1\\8&&{\sqrt[{3}]{8}}=&2\\-8&&{\sqrt[{3}]{-8}}=&-2\\-1000&&{\sqrt[{3}]{-1000}}=&10\\0,001&&{\sqrt[{3}]{0,001}}=&0,1\\-8000&&{\sqrt[{3}]{-8000}}=&20\end{matrix}}$

Arrels en general

Presentació: ${\sqrt[{n}]{a}}$ = arrel n-èsima de a.

Definició: L'arrel n-èsima de a és un valor real r si compleix que $r^{n}=a.$

{\sqrt[{n}]{a}}={\begin{cases}{\sqrt[{n}]{a}}=x&{\text{ si }}a>0\\{\sqrt[{n}]{a}}=x&{\text{ si }}n{\text{ és imparell }}\\\nexists ={\text{ No existeix}}&{\text{ a la resta de casos }}\end{cases}}

Observació: L'arrel n-èsima r, si existeix, té el mateix signe de a.

${\begin{matrix}\mathbb {R} &\xrightarrow {\sqrt[{n}]{\,\,\bullet \,\,}} &\mathbb {R} \\a&&x\end{matrix}}$

Exemples

1). ${\sqrt[{100}]{1}}=1$

3). ${\sqrt[{4}]{10000}}=10$

4). ${\sqrt[{7}]{-1}}=-1$

Lèxic

${\sqrt[{{\text{Índex}}\rightarrow n}]{a}}_{\leftarrow {\text{Radicand}}}^{\swarrow {\text{Radical}}}=x\leftarrow {\text{arrel}}$

Exercicis

1). ${\sqrt[{3}]{-27}}=$	2). ${\sqrt[{4}]{16}}=$	3). ${\sqrt {{\sqrt {16}}\;}}=$
4). ${\sqrt[{5}]{32}}=$	5). ${\sqrt[{6}]{64}}=$	6). ${\sqrt[{3}]{{\sqrt {64}}\;}}=$
7). ${\sqrt[{8}]{100\,000\,000}}=$	8). ${\sqrt[{3}]{-125}}=$	9). ${\sqrt[{7}]{10^{7}}}=$
10). ${\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {100\,000\,000}}\;}}\;}}=$	11). ${\sqrt {0,01}}=$	12). ${\sqrt {0,0001}}=$
13). ${\sqrt[{3}]{\sqrt {64\,000\,000}}}=$	14). ${\sqrt[{7}]{10^{14}}}=$

Propietats

Per poder treballar directament sobre les propietats suposarem que no es pot reduir l'ultim quadrat de ${\sqrt {\,(-a)^{2}\,}}=a$ si a > 0 perquè no dona el resultat correcte, ni de ${\sqrt {\,-a\,}}^{\,2}$ amb a > 0 perquè inicialment no existeix, aquesta darrera en cursos superiors es podrà fer contextualment.

Notació

${\sqrt[{n}]{\,a\,}}=a^{\frac {1}{n}}$

${\sqrt[{n}]{\,a\,}}^{\,m}$ $=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}$ $=a^{\frac {m}{n}}$

${\sqrt[{n}]{\,\,a^{m}\,\,}}$ $=\left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}$ $=a^{\frac {m}{n}}$

I la fracció ${\tfrac {m}{n}}$ de l'exponent es pot reduir si cal.

${\sqrt[{n}]{\,a\,}}^{\,n}$ $={\sqrt[{n}]{\,\,a^{n}\,\,}}$ $=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a.$

${\sqrt[{n}]{\,{\sqrt[{m}]{\,a\,}}\,}}$ $=\left(a^{\frac {1}{m}}\right)^{\frac {1}{n}}$ $=a^{{\frac {1}{m}}\cdot {\frac {1}{n}}}$ $=a^{\frac {1}{n\cdot m}}$ $={\sqrt[{n\cdot m}]{\,a\,}}.$