Course:ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ/ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ

ਬੁਨਿਆਦੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਬਾਰੇ ਸਾਰੀ ਮੁਢਲੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਮਿਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਪਾਠਕਾਂ/ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਇਸ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਦੋਹਰਾ ਕੇ ਪੜਨ ਦੀ ਸਲਾਹ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਸਮਝ ਕੇ ਹੀ ਅੱਗੇ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇ ਨੂੰ ਛੋਹਿਅ ਜਾ ਸਕੇਗਾ ।

ਅਸੀਂ ਅਨੰਤ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਤਰੰਗਾਂ ਬਾਰੇ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਹਿਸਾਬ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ (ਇਨਫਿਨਟੀ) ਜਾਂ ਅਸੀਮਤ ਚੀਜ਼ਾਂ ਮੁਸ਼ਕਿਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਮਤ ਦੀ ਜਗਹ ਸਪੇਸ ਦਾ ਕੁੱਝ ਸੀਮਤ ਹਿੱਸਾ ਲੈ ਕੇ ਸੀਮਤ ਸਿਸਟਮਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਿਖ ਕੇ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤੇ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਹੱਦ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ, ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ, ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਆਦਿ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗੱਲ ਮਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਨੰਤ ਵਰਗੀ ਹਰੇਕ ਚੀਜ਼ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਤਰਾਂ ਛੁਟਕਾਰਾ ਪਾ ਕੇ ਇਹ ਸੋਚਿਆ ਜਾਵੇ ਕਿ ਹਰੇਕ ਚੀਜ਼ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਕ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ (ਅਯਾਮ) ਵਿੱਚ ਤਰੰਗ ਗਤੀ ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਕਰੀਏ!

ਇਹ ਕੋਈ ਸਾਰੰਗੀ ਦੀ ਤਾਰ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਕੋਈ ਰੱਸੀ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਕਰਦੀ ਕਿਸੇ ਗਣਿਤਿਕ ਵੇਵ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਜਿਹੇ ਕਿਸੇ ਤਾਰ ਦੇ ਦੋ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ ਬੰਨ ਕੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਸਿਰੇ ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਤਰੰਗ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਦੂਜੇ ਸਿਰੇ ਤੇ ਪਹੁੰਚਣ ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਪੁੱਠੇ ਪਾਸੇ ਪਰਤ ਜਾਂਦੀ ਹੋਵੇ ਤੇ ਮੁੜ ਕੇ ਪਹਿਲੇ ਸਿਰੇ ਤੇ ਆ ਜਾਂਦੀ ਹੋਵੇ, ਤੇ ਇਸੇ ਤਰਾਂ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਗਤੀ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇ । ਮੰਨ ਲਓ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ L ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਸਿਰਿਆਂ ਤੇ ਬੰਨੇ ਜਾਣ ਵਾਲ਼ੀ ਹਾਲਤ ਨੂੰ ਬਾਊਂਡਰੀ ਕੰਡੀਸ਼ਨ (ਹੱਦ ਸ਼ਰਤ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦਰਮਿਆਨ ਤਰੰਗ ਡੋਲਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਗਤੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਉਲੰਘਣ ਕਰਦੀ ਨਜ਼ਰ ਆਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟਣ ਨਾਲ ਇਸਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ (ਜੋ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ) ਵੀ ਚਿੰਨ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ। ਪਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਚੁਸਤੀ ਵਾਲਾ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ: ਮੰਨ ਲਓ ਤਾਰਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਸਿਰੇ ਇੱਕੋ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹੋਣ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਤਾਰ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਈ ਸਿੱਧੀ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਹੋਣ ਦੀ ਥਾਂ ਬੰਦ ਲੂਪ (ਗੋਲ ਚੱਕਰ) ਹੋਵੇ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਸਿਰੇ ਤੇ ਪਹੁੰਚਣ ਤੇ ਮੁੜ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਪਰਤ ਆਵੇ !

ਇਸਤਰਾਂ ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਨੂੰ ਅੰਤ ਨਾਲ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਜੋੜ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਕਹਿਣ ਦੀ ਜਗਹ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਕਹਿਣਾ ਜਿਆਦਾ ਢੁਕਵਾਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਵਾਰ ਵਾਰ ਰਪੀਟ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਰਸਤੇ ਉੱਤੇ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਨਿਰੰਤਰ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਤੇ ਇਸਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਅਜਿਹੇ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਰਸਤੇ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਖਾਸ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਾਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਮੰਨ ਕੇ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਇਸਤਰਾਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ L ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਰਸਤੇ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਤਰੰਗ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਸਿਰੇ ਉੱਤੇ ਪਹੁੰਚਣ ਤੇ ਇਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਜਾਦੂਈ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਗਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਤਰੰਗ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵੱਲ ਹੀ ਗਤੀ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੀ ਹੈ ਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ ਤਰੰਗ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਗਤੀ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੇ ਸਦਕਾ ਸਾਨੂੰ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਅਨੰਤ ਤੋਂ ਛੁਟਕਾਰਾ ਮਿਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵੀ ਹੱਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਪਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੀਮਤ ਚੁਕਾਉਣੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਮੋਮੈਂਟਮ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ (ਨਿਰਧਾਰਿਤ) ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਰਥਾਤ ਮੋਮੈਂਟਮ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਅਨਿਰੰਤਰ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੋਮੈਂਟਮ ਦਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਹੋ ਜਾਣਾ ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਲਾਭਕਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ!

ਓਪਰੋਕਤ L ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਸਪੇਸ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਗੱਲ ਸਪੱਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮਝ ਲੈਣੀ ਬਣਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੀ ਲੰਬਾਈ ਉੱਤੇ ਜਰੂਰ ਹੀ ਤਰੰਗ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਸੰਖਿਆ ਫਿੱਟ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਫਿਕਸ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀਆਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ (ਜਿਵੇਂ 1, 2, 3, … ਆਦਿ) ਨਾਲ ਅਜਿਹੀ ਲੰਬਾਈ L ਬਣਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਤੇ ਪੂਰੀਆਂ ਪੂਰੀਆਂ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈਆਂ ਫਿੱਟ ਹੋ ਜਾਣ ਤੋਂ ਬਾਦ ਬਿਲਕੁਲ ਵੀ ਕੋਈ ਸਪੇਸ ਬਾਕੀ ਨਹੀਂ ਬਚਣੀ ਚਾਹੀਦੀ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ ਤਰੰਗ ਮੁੜ ਓਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ ਪਰਤ ਸਕੇਗੀ (ਅਜਿਹਾ ਕਿਉਂ ਜਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?)।

ਇਸਨੂੰ ਇੰਝ ਵੀ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਸਪੇਸ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ L ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ N ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਤੇ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ λ ਮਿਲ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਅਰਥਾਤ;

λ= L/N

ਯਾਨਿ ਕਿ, ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ L/1, L/2, L/3, …

ਆਦਿ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਪਰ L/√2 ਆਦਿ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਤਾਂ ਤਰੰਗ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਦ ਮੂਲ ਤਰੰਗ ਵਾਲੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਏਗੀ ।

ਇਸਤਰਾਂ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ ਅਜਿਹੀਆਂ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਆਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ L/N ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ N ਨਾਮਕ ਪੂਰਕ ਸੰਖਿਆ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਤੇ ਧਿਆਨ ਦੇਈਏ, ਜਿਸ ਮੁਤਾਬਿਕ;

P = h/λ

ਓਪਰੋਕਤ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਅਯਾਮੀ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਸਪੇਸ ਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਫੋਟੋਨ ਆਦਿ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੁਆਂਟੇ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਮੋਮੈਂਟਾ ਵੀ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਆਉਂਦਾ ਹੈ;

P = N h/L

ਅਰਥਾਤ ਜਿੰਨੀ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਸਪੇਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ L ਜਿਆਦਾ ਹੋਵੇਗੀ, ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਉੰਨੀ ਹੀ ਸੂਖਮ ਹਿੱਸਿਆ ਤੱਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ L ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਸੂਖਮ ਹੋਣ ਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ h/L ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਕੁਆਂਟਿਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਅੰਤਰ ਵਿਸ਼ਾਲ ਹਿੱਸਿਆਂ ਤੱਕ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਹੋਵੇਗਾ । ਇਸਨੂੰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਾਤਰਾ N ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਪਹਿਚਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ h/L ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਵਾਲ਼ੇ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਅਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਜੇਕਰ ਤਰੰਗ ਮੁੜ ਕੇ ਵਾਪਿਸ ਮੂਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ ਪਰਤਦੀਆਂ ਤਾਂ ਅਚਾਨਕ ਜੰਪ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਖਰਚੀਲੀ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ, ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਨਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਚਾਨਕ ਜੰਪ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀਆਂ। ਫੀਲਡਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਤੇ ਅਚਾਨਕ ਜੰਪ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀਆਂ, ਪਰ ਕੁਆਂਟਾਂ ਅਚਾਨਕ ਜੰਪ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਕੋਈ ਵੀ ਪੈਕਟਬੱਧ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਤਰੰਗ ਕਈ ਹੋਰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾਂ (ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਜ਼ਾਈਨ ਤਰੰਗਾਂ) ਦਾ ਜੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇਸਤਰਾਂ ਦਾ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਵਾਲਾ ਗੁਣ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹੋਣ। ਇਸ ਨੂੰ ਫੋਰੀਅਰ ਐਨਾਲਸਿਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ R ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਤਾਰ ਉੱਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ P ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ! ਹੁਣ ਓਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਲੀ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਲੰਬਾਈ L ਦਾ ਮੁੱਲ ਚੱਕਰ ਦੇ ਘੇਰੇ 2πR ਜਿੰਨਾ ਬਣੇਗਾ, ਜਿਸ ਸਦਕਾ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

P = N h/2πR ਹੁਣ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਮੁਤਾਬਿਕ

ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ l = P R

(ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨੂੰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ L ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ L ਨੂੰ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਸਪੇਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਵਰਤ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਇਸਲਈ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਲਈ ਕੋਈ ਹੋਰ ਨਵਾਂ ਚਿੰਨ (ਜਿਵੇਂ l ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ)

L = N h/2π

ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ h/2π ਦੀ ਜਗਹ ਪਲੈਂਕ ਦਾ ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਸਥਿਰਾਂਕ ℏ (ਉੱਚਾਰਣ: ਐੱਚ ਬਾਰ) ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਲਈ

l = N ℏ

ਜਿਵੇਂ ਮੋਮੈਂਟਮ P ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਸਪੇਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰਾਂ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਿਰਫ ਪਲੈਂਕ ਕੌਂਸਟੈਂਟ ℏ ਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ (ਨਿਰਧਾਰਿਤ) ਹੋਇਆ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਦੇ ਸਰਲਤਮ ਮਾਮਲੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਕਣ ਦੇ ਕੁਆਂਟੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ ਹੀ ਕਿਉਂ? ਕਿਉਂਕਿ ਤਰੰਗਾਂ ਔਸੀਲੇਸ਼ਨ (ਡੋਲਨ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਨੂੰ ਕੋਈ ਤਰੰਗ ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਤਰੰਗ ਗੁਜ਼ਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਔਸੀਲੇਟ ਕਰਦੇ ਅਨੁਭਵ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੀਲਡ ਔਸੀਲੇਸ਼ਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿਣਾ ਬਰਾਬਰ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੀਲਡ ਇੱਕ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਵੀ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।

ਕੋਈ ਤਰੰਗ ਕਈ ਹੋਰ ਤਰੰਗਾਂ ਦਾ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਸੱਤ ਤਰਾਂ ਦੀਆਂ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀਆਂ ਵਾਲ਼ੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕੁੱਝ ਏਸਤਰਾਂ ਵੀ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ 1000 ਰੁਪਏ ਦਾ ਇੱਕੋ ਨੋਟ ਅਲੱਗ ਅਲੱਗ ਇੱਕ ਰੁਪਏ ਦੇ 1000 ਨੋਟਾਂ ਦੇ ਢੇਰ ਦੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜੋੜ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ 1000 ਦੇ ਨੋਟ ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ 10 ਰੁਪਏ ਦੇ 100 ਨੋਟਾਂ ਦੇ ਢੇਰ ਵਾਲੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੀ 1000 ਰੁਪਏ ਦੇ ਨੋਟ ਦਾ ਅਨੁਭਵ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਬੇਸ਼ੱਕ 1000, 100, 10 ਅਤੇ 1 ਰੁਪਏ ਦੇ ਨੋਟਾਂ ਦੀ ਵਿਆਕਤੀਗਤ ਬਣਾਵਟ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਪਰ ਸਭ ਦੇ ਮੇਲ ਨਾਲ ਹੋ ਨੋਟਾਂ ਦਾ ਆਪਸੀ ਸਬੰਧ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਧਿਆਨ ਦੇਣਯੋਗ ਗੱਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ 1000 ਰੁਪਏ ਦੇ ਨੋਟ ਦੀ ਹੋਂਦ ਨੂੰ 10 ਰੁਪਏ ਦੇ 100 ਨੋਟਾਂ ਦੀ ਹੋਂਦ ਸਮਾਨ ਸਮਝਿਆ ਜਾਣ ਤੇ ਅਤੇ 10 ਰੁਪਏ ਦੇ ਨੋਟਾਂ ਦੇ ਢੇਰ ਵਾਲੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੋਂਦ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਹੋਂਦ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਕੁ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?

ਇਸੇ ਤਰਾਂ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਤਰੰਗ ਅਪਣੀ ਵੱਖਰੀ ਤਰੰਗ ਲੰਬਾਈ, ਵੱਖਰੀ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਅਤੇ ਵੱਖਰਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਕਿਸੇ ਅਜਿਹੀ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਵੱਖਰਿਆਂ ਕੁਆਂਟਿਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਦੀ ਵੱਖਰੀ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਵੱਖਰੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਕੁਆਂਟੇ ਦੀ ਅਪਣੀ ਅਪਣੀ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਅਪਣੀ ਅਪਣੀ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤੇ ਵੱਖਰਾ ਵੱਖਰਾ ਡੋਲਨ (ਔਸੀਲੇਸ਼ਨ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਤਰੰਗ ਕਈ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰਾਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲਤਮ ਸਾਈਨ ਤੇ ਕੋਜ਼ਾਈਨ ਟ੍ਰਿਗਨੋਮੈਟ੍ਰਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਪਏਗਾ ।